Ableitung

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Ableitung oder Differentiation

Die Begriffe Ableitung und Differentiation sind synonym, bedeuten also das gleiche! Sie beschreiben eine mathematische Operation, die man mit Funktionen durchführen kann. Man drückt das durch den Differentialoperator $\frac {df}{dx}$ oder einfach durch einen Strich an der Funktion $f'(x)$ aus. Beide Schreibweisen bedeuten: "Leite die Funktion f nach der Größe x ab!", oder: "Differenziere die Funktion f nach der Größe x!". Darin können sowohl f als auch x beliebige physikalische Größen sein, d.h. x muss nicht zwangsläufig ein Ort sein! Zum Beispiel ist x sehr häufig die Zeit t. Für diese besonders wichtige Ableitung gibt es in der Physik ein eigenes Symbol, nämlich den Punkt! Ein Punkt über einer Größe steht für die Ableitung nach der Zeit: $\dot f=\frac {df}{dt}$.

Anwendung der Ableitung in der Physik

Die Ableitung und ihre Umkehrung, die Integration, ist so ziemlich der wichtigste Zusammenhang zwischen physikalischen Größen, den man sich denken kann. Die meisten allgemeingültigen Zusammenhänge enthalten eine Ableitung! Wichtige Beispiele sind die Zusammenhänge zwischen Geschwindigkeit und Ort $\vec v =\frac {d\vec r}{dt}$ sowie Beschleunigung und Geschwindigkeit $\vec a =\frac {d\vec v}{dt}$ oder zwischen Leistung und Arbeit $P =\frac {dW}{dt}$ oder Kraft und potenzieller Energie $F_x =-\frac {dV}{dx}$. Auch viele physikalischen Grundgesetze enthalten eine Ableitung! Beispiele sind das zweite Newtonsche Axiom $\vec F =\frac {d\vec p}{dt}$ oder das Induktionsgesetz $\oint \vec E \cdot d\vec s =-\frac {d\Phi_B}{dt}$, welches zudem ein geschlossenes Wegintegral enthält. An der Differentiation und der Integration kommt man deshalb in der Physik auf keinen Fall vorbei! Beide Zusammenhänge lassen sich jedoch anschaulich verstehen.

Welche Bedeutung hat die Ableitung?

Eine Funktion $f(x)$ ist eine Kurve. Ihre Ableitung $f'(x)$ erzeugt aus der ursprünlichen Funktionskurve eine neue Kurve. Diese neue Kurve ("Steigungskurve") zeigt die Steigung der ursprünglichen Kurve für jeden Punkt an. Die Steigungskurve $f'(x)$ am Punkt x sagt uns, wie sich die Funktion f(x) ändert, wenn wir x um ein kleines bisschen dx vergrößern. Sie ändert sich dann nämlich um $df =f'(x)\cdot dx$. Die Funktion f(x) wird also um df größer, wenn die Steigung bei x positiv ist und um df kleiner, wenn die Steigung bei x negativ ist. Sie bleibt gleich, wenn die Steigung bei x Null ist!

Steigung

Die Steigung einer Kurve in der Mathematik ist völlig identisch mit der Alltagsbedeutung der Wortes "Steigung"! Man muss sich die Kurve einfach als Höhenprofil eines Weges vorstellen, den man mit dem Fahrrad fährt! Wenn man einen Berg hinauf fährt, steigt der Weg an, die Steigung ist positiv. Wenn es steiler hinauf geht, wird auch die Steigung größer! Wenn man auf horizontaler Strecke fährt, ist die Steigung Null! Wenn es bergab geht, also ein Gefälle da ist, dann ist die Steigung negativ. Je steiler der Weg nach unten wird, umso größer wird der Betrag der Steigung, sie bleibt aber negativ!

Besondere Stellen einer Funktion

Eine Funktion kann besondere Stellen haben:

  • Nullstellen sind die Werte von x, bei denen f(x)=0 ist.
  • Extremstellen sind die Werte von x, bei denen die Funktion lokale oder globale Maxima oder Minima hat.
  • Wendepunkte sind die Werte von x, bei denen sich die Krümmung der Funktion ändert. Um dies zu verstehen, stellt man sich am besten vor, dass die Funktionskurve in einer horizontalen Ebene liegt und eine Art Slalomkurs darstellt. Wenn man die Kurve mit dem Fahhrad entlang fährt, muss der Lenker mal rechts und mal links eingeschlagen werden. Wie stark man nach rechts oder nach links lenken muss, ist ein Maß für die Krümmung der Kurve. Wenn man von einer Linkskurve in eine Rechtskurve oder umgekehrt wechselt, ist der Lenker dazwischen kurzzeitig gerade. Diese Orte bilden Wendepunkte der Funktion!
  • Sattelpunkte sind die Werte von x, an denen die Kurve horizontal verläuft, ohne das ein Extremum vorliegt. Sattelpunkte sind immer auch Wendepunkte.

Das Bild rechts zeigt Beispiele! Wir fahren die Kurve in die positive t-Richtung entlang, d.h. von links nach rechts in der Grafik:

Besondere Punkte einer Funktion
  • Punkt A ist ein lokales Extremum, genauer ein lokales Maximum. Dort ändert sich die Kurve als Höhenprofil betrachtet von "bergauf" nach "bergab".
  • Punkt B ist ein Wendepunkt. Dort ändert sich die Kurve als Slalom betrachtet von "Rechtskurve" auf "Linkskurve".
  • Punkt C ist ein lokales Extremum, genauer ein lokales Minimum. Dort ändert sich die Kurve als Höhenprofil betrachtet von "bergab" nach "bergauf".
  • Punkt D ist eine Nullstelle. Der Funktionswert ist Null. Wird die Kurve als Höhenprofil betrachtet, sind wir auf Höhe des Meeresspiegels. Punkt D ist auch ein Wendepunkt. Dort ändert sich die Kurve als Slalom betrachtet von "Linkskurve" auf "Rechtskurve".
  • Punkt E ist ein globales Extremum, genauer ein globales Maximum. Dort ändert sich die Kurve als Höhenprofil betrachtet von "bergauf" nach "bergab". Gleichzeitig ist es der höchste Punkt der Kurve.
  • Punkt F ist ein Wendepunkt. Dort ändert sich die Kurve als Slalom betrachtet von "Rechtskurve" auf "Linkskurve".
  • Punkt G ist eine Nullstelle. Der Funktionswert ist Null. Wird die Kurve als Höhenprofil betrachtet, sind wir wieder auf Höhe des Meeresspiegels.

PhysKi Ableitungen3.jpg

Kontrollfragen

Wie viele Nullstellen hat die rechts gezeigte Funktion im dargestellten Ausschnitt und wo (d.h. bei welchen t-Werten) liegen sie in etwa? (Antwort zeigen/verbergen)
Die Funktion hat eine Nullstelle bei t = 0,6.
Wie viele Extrema hat die rechts gezeigte Funktion im dargestellten Ausschnitt und wo (d.h. bei welchen t-Werten) liegen sie in etwa? (Antwort zeigen/verbergen)
Die Funktion hat zwei Extrema: Ein Minimum bei t ≈ -1,0 und ein Maximum bei t ≈ -0,1.
Wie viele Wendepunkte hat die rechts gezeigte Funktion im dargestellten Ausschnitt und wo (d.h. bei welchen t-Werten) liegen sie in etwa? (Antwort zeigen/verbergen)
Die Funktion hat vier Wendepunkte (t ≈ -1,5, t ≈ -0,5, t ≈ 0,5, t ≈ 1,5 ).
Wie viele Sattelpunkte hat die rechts gezeigte Funktion im dargestellten Ausschnitt und wo (d.h. bei welchen t-Werten) liegen sie in etwa? (Antwort zeigen/verbergen)
Die Funktion hat einen Sattelpunkt bei t ≈ 1,5.

Die Steigung an besonderen Stellen einer Funktion

  • An Nullstellen der Funktion kann die Steigung beliebig sein, denn eine Funktion kann die x-Achse in einem beliebigen Winkel schneiden!
  • An Extremstellen der Funktion verläuft die Funktionskurve immer horizontal, d.h. die Steigung ist dort Null. Extremstellen von f(x) sind Nullstellen von f' (x)!
  • An Wendepunkten der Funktion ändert sich die Steigung von zunehmend zu abnehmend oder umgekehrt. Daher liegen dort Extremstellen der Ableitung.

Der Zusammenhang zwischen dem Verlauf einer Funktion und ihrer "Steigungskurve"

Eine Funktion (schwarz) und ihre Steigungskurve (Ableitung, blau)

An sich ist der Zusammenhang zwischen der Funktion und ihrer Steigungskurve nicht kompliziert. Man muss nur erkennen, dass man nicht die Funktionswerte selbst abzulesen hat, sondern statt dessen, ob die Funktionswerte größer oder kleiner werden, wenn man die Funktionskurve von links nach rechts in der Grafik entlangfährt. Dort, wo eine Funktion als Höhenprofil betrachtet bergauf geht, ist die Steigungskurve positiv. Sie hat umso größere Werte, je steiler die Funktion bergauf geht. Zwischen einem Minimum und einem Maximum der Funktion geht es logischerweise bergauf. Dort muss also die Steigungskurve positive Werte haben. Nach einem Maximum geht es logischerweise bergab. Dort muss die Steigungskurve negative Werte haben. An jedem Extremum der Funktion (egal ob Maximum oder Minimum) muss daher das Vorzeichen der Steigungswerte wechseln. Also muss die Steigungskurve dort Nullstellen haben. Übertragen wir den "Slalomkurs" der Funktion in ein Höhenprofil, bedeutet ein Wendepunkt einen Wechsel von "es wird immer steiler" zu "es wird wieder flacher" oder umgekehrt. Wendepunkte der Funktion bilden deshalb Extrema der Steigungskurve.



Abb.A
Abb.B

Kontrollfragen

Wo (d.h. bei welchen t-Werten) ist die Steigung der in Abb.A gezeigten Funktion Null? (Antwort zeigen/verbergen)
Die Steigung ist Null bei t ≈ -1,0 und t ≈ -0,1 und t ≈ 1,5.
Wo (d.h. in welchen t-Bereichen) ist die Steigung der in Abb.A gezeigten Funktion positiv? (Antwort zeigen/verbergen)
Dort, wo die Funktionskurve bergauf geht, d.h. zwischen t ≈ -1,0 und t ≈ -0,1.
Wo (d.h. in welchen t-Bereichen) ist die Steigung der in Abb.A gezeigten Funktion negativ? (Antwort zeigen/verbergen)
Dort, wo die Funktionskurve bergab geht, d.h. für t < -1,0 und t > -0,1.
Wo (d.h. bei welchem(n) t-Wert(en)) ist die in Abb.A gezeigte Funktion am steilsten, d.h. der Betrag der Steigung am größten? (Antwort zeigen/verbergen)
Die Funktion ist am steilsten beim Abfall nach dem Maximum bei t ≈ 0,5.
Welche der Kurven in Abb.B könnte die Steigungskurve (d.h. die Ableitung) der in Abb.A gezeigten Funktion sein? (Antwort zeigen/verbergen)
Bei allen Funktionen stimmen die Nullstellen. Doch es kann nur die rote Funktion sein. Denn die blaue Funktion ist in den falschen Bereichen positiv bzw. negativ. Die schwarze Kurve hat ihr Maximum nicht dort, wo die Funktion am steilsten ist (bei t ≈ 0,5).

Ableitungen berechnen

Ableitungen einfacher Funktionen sollte man im Kopf wissen! Die wichtigsten sind :

  • Polynome $f(x)= x^n~\to~f'(x)= n x^{n-1}$
  • Trigonometrische Funktionen $f(x)= \sin x ~\to~f'(x)=\cos x\qquad f(x)= \cos x ~\to~f'(x)=-\sin x$
  • Exponentialfunktion $f(x)= e^{x} ~\to~f'(x)= e^{x}$
  • Logarithmusfunktion $f(x)= \ln{x} ~\to~f'(x)=\frac 1 x$

Komplizierte Funktionen ergeben sich daraus dann durch einige Ableitungsregeln. Die wichtigsten sind:

  • Summenregel $\frac {d}{dx}(f + g)= \frac {df}{dx} + \frac {dg}{dx} $
  • Produktregel $\frac {d}{dx}(f \cdot g)= f \frac {dg}{dx} + g \frac {df}{dx} $
  • Kettenregel $\frac {d}{dx} f(g(x))=\frac {dg}{dx}\cdot\frac {df}{dg}$

Beispiel: a, b und c sind Konstanten: $f(x) = a x \cdot e^{-b x^2}+ c x^2$

$f'(x) = a \cdot e^{-b x^2}+a x \cdot (-2 b x) e^{-b x^2}+ 2 c x= a \cdot e^{-b x^2}(1- 2 b x^2)+2 c x $

Umkehrung der Ableitung

Die Umkehrung der Ableitung ist die Integration.