Antiteilchen

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Was ist ein Antiteilchen?

Nach heutiger Erkenntnis hat jedes Elementarteilchen ein zugehöriges Antiteilchen. Materie, die aus Antiteilchen besteht, nennt man Antimaterie.

Antiteilchen unterscheiden sich von ihrem Teilchen durch eine entgegengesetzt gleiche Ladung und ein entgegengesetzt gleiches magnetisches Moment. Alle übrigen Eigenschaften wie z.B. Ruhemasse und Spin sind identisch. Antiteilchen macht man in der Regel durch einen Querstrich über dem Teilchenkürzel deutlich. Neutrale Teilchen, d.h. ungeladene Teilchen, können ihr eigenes Antiteilchen sein, müssen aber nicht. Das hängt von der inneren Struktur ab. Beispielweise ist das neutrale π0-Meson mit der inneren Struktur $\frac 1{\sqrt{2\pi}}(u\bar u-d\bar d)$ sein eigenes Antiteilchen. Dagegen ist das Neutron n mit der inneren Struktur ($ddu$) nicht mit dem Antineutron $\bar n$ mit der inneren Struktur ($\bar d \bar d \bar u$) identisch.


Beispiele:

Teilchen Antiteilchen
Elektron e- Positron e+
Proton p Antiproton $\bar p$
Pi-Meson π+ Pi-Meson π-
Pi-Meson π0 Pi-Meson π0

Warum gibt es Antiteilchen?

Die Möglichkeit der Existenz von Antiteilchen folgt bereits aus der mathematischen Gestalt der relativistischen Formulierung der Schrödingergleichung. Eine relativistische Gleichung, die Teilchen und Antiteilchen mit Spin korrekt beschreibt, ist die Dirac-Gleichung. Eine Vorstufe davon ist die Klein-Gordon-Gleichung. Sie ist eine relativistische zeitabhängige Schrödiger-Gleichung für Teilchen ohne Spin. Beide Gleichungen beinhalten zusätzliche Eigenschaften von Teilchen, die in der nichtrelativistischen Schrödinger-Gleichung nicht enthalten sind. Denn es treten Lösungen mit negativen Energien auf, die man heute als Antiteilchen interpretiert. Wir untersuchen jetzt die einfachste Form der Klein-Gordon-Gleichung, nämlich für ein freies Teilchen. Als erstes werden wir die Gleichung herleiten und dann zeigen, wie aus der mathematischen Gestalt die Existenz von Antiteilchen folgt.

Herleitung der Klein-Gordon-Gleichung

Um eine relativistische Schrödingergleichung aufzustellen, geht man von der relativistischen Energie-Impuls-Beziehung $E^2=p^2c^2+m^2c^4\qquad\qquad\text{(1)}$
aus. Wir beschränken uns auf ein freies Teilchen, so dass keine potenzielle Energie auftritt. Auf (1) wenden wir nun die übliche Methode zum Aufstellen einer Schrödinger-Gleichung an, wobei wir diesmal eine zeitabhängige Schrödinger-Gleichung aufstellen. Wir ersetzen Ort, Impuls und Energie durch ihre Operatoren und lassen diese auf eine Wellenfunktion wirken:
$c^2\hat p^2\Psi (x,t)+m^2c^4\Psi (x,t)=\hat E^2\Psi (x,t)\qquad\qquad\text{(2)}$.
Nun wenden wir explizit die Ersetzungsregeln für Operatoren $\hat x=x$, $\hat p=-i\hbar \frac{\partial }{\partial x}$ und $\hat E=i\hbar \frac{\partial }{\partial t}$ an. Einsetzen in (2) ergibt die

Klein-Gordon-Gleichung $-c^2\hbar ^2\frac{\partial ^2}{\partial x^2}\Psi (x,t)+m^2c^4\Psi (x,t)=-\hbar ^2\frac{\partial ^2}{\partial t^2}\Psi (x,t)\qquad\qquad\text{(3)}$

Lösungen mit negativen Energien

Wenn man in (3) als Lösung eine ebene Welle $\Psi(x,t)=e^{i(\omega t-k x)}$ einsetzt und darin die De-Broglie-Beziehungen verwendet, so dass $\Psi(x,t)=e^{i(Et-px)/\hbar}$ ist, ergibt sich mit den Ableitungen $\frac{\partial ^2}{\partial x^2}\Psi=(-\frac{p^2}{\hbar^2})\Psi$ und $\frac{\partial ^2}{\partial t^2}\Psi=(-\frac{E^2}{\hbar^2})\Psi$ der Zusammenhang
$-c^2\hbar^2(-\frac{p^2}{\hbar^2})\Psi+m^2c^4\Psi=-\hbar^2(-\frac{E^2}{\hbar^2})\Psi\quad\Rightarrow\qquad c^2p^2+m^2c^4=E^2$.
Anders als in der nichtrelativistischen Schrödingergleichung tritt jetzt die Energie quadratisch auf. Das beinhaltet unmittelbar auch die zuerst einmal rein mathematische Möglichkeit, negative Werte für die Gesamtenergie anzunehmen, denn $E=\pm \sqrt{E^2}=\pm \sqrt{c^2p^2+m^2c^4}$. Die Gleichung erlaubt auch für freie Teilchen eine negative Gesamtenergie![1]

Bedeutung der Wellenfunktionen

Ein weiteres Problem der Gleichung ist der nicht so einfach zu erklärende Sachverhalt, dass |𝜓|2 nicht mehr als Aufenhaltswahrscheinlichkeitsdichte P des Teilchens interpretiert werden kann. In der nichtrelativistischen Quantenmechanik fordert man die Normierbarkeit von 𝜓, weil das Teilchen ja stets irgendwo sein muss. Das Teilchen, bzw. genauer seine Masse kann nicht verloren gehen. Für P kann man deshalb eine Bilanzgleichung, die Kontinuitätsgleichung aufstellen: $\frac{\partial P}{\partial t}-\nabla\cdot \vec j =0$. Darin ist $\vec j$ die Teilchenstromdichte.

In der Relativitätstheorie sind Energie und Masse entsprechend $E=mc^2$ äquivalent. Es wäre daher nicht verwunderlich, dass Teilchen bzw. ihre Masse in einer relativistischen Quantentheorie auch "verloren gehen" können, indem sie in Energie umgesetzt werden. Eine normierbare relatvistische Wellenfunktion, die etwas beschreibt, was erhalten bleibt, kann daher nicht die Aufenthaltswahrscheinlichkeit von Teilchen bzw. eine Teilchendichte beschreiben. Was aber statt dessen? Eine Analyse der Gleichung (3) zeigt, dass die Wellenfunktionen die Bedeutung einer Ladungsdichte haben und sich aus ihnen die Erhaltung der Ladung ableiten lässt. Man kann ebenfalls eine Kontinuitätsgleichunng ableiten. Darin ist dann $\vec j$ die elektrische Stromdichte.

Berechnung zeigen/verbergen

Die Klein-Gordon-Gleichung ist anders als die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung eine Differentialgleichung zweiter Ordnung in der Zeit. Um allgemein die Lösung $x(t)$ einer Differentialgleichung zweiter Ordnung in der Zeit eindeutig festzulegen, benötigt man zwei Anfangsbedingungen, z.B. $x(t_0)$ und $\dot x(t_0)$.[2] Analog muss man, um 𝜓(x,t) eindeutig zu beliebigen Zeitpunkten festzulegen, sowohl 𝜓(x,t0) als auch $\dot {\psi}(x,t_0)$ zu einem bestimmten Zeitpunkt t0 kennen. Oder anders ausgedrückt: Der Zustand eines Teilchens ist nicht mehr allein durch eine Funktion bestimmt, sondern wir benötigen dazu zwei Funktionen, nämlich 𝜓 selbst und die Zeitableitung $\dfrac {\partial \psi}{\partial t}$[3].

Allgemeiner kann man sagen: Wir benötigen zwei Funktionen $\phi$ und $\chi$, um 𝜓 festzulegen. Man bildet $\psi=\phi+\chi$. Damit $\phi$ und $\chi$ eindeutig bestimmt sind, verlangt man außerdem $i\hbar\dfrac {\partial \psi}{\partial t}=mc^2(\phi-\chi)$[3][4]. Dann beschreibt $\phi$ Teichen mit positiver und $\chi$ mit negativer Energie. Mit diesem Ansatz und der zweikomponentigen Wellenfunktion $\Psi=\left(\begin{matrix}\phi\\\chi\end{matrix}\right)$ erreicht man, dass (3) in zwei Differentialgleichungen zerfällt, die linear in der Zeit sind und $\Psi(x,t=t_0)$ den Zustand für alle Zeiten festlegt. Nun lässt sich mit Hilfe von 𝜓 aus (3) ebenfalls eine Kontinuitätsgleichung ableiten[4]. Die darin enthaltene Aufenhaltswahrscheinlichkeitsdichte hat die Gestalt $P(\vec r,t)=\phi^*\phi-\chi^*\chi$[4]. Sie kann positive und negative Werte annehmen und daher keine Teilchendichte mehr sein. Man muss sie als Ladungsdichte auffassen, denn diese kann positiv und negativ sein. Die Klein-Gordon-Gleichung beinhaltet damit also nur noch die Erhaltung der Ladung, jedoch nicht mehr der Teilchen(Masse). Daher können Teilchen auch verschwinden. Und $\phi$ beschreibt positive und $\chi$ negative Ladungen.

Interpretation der Lösungen mit negativer Energie als Antiteilchen

Eine von Diracs Leistungen bestand darin, die Lösungen mit negativer Energie nicht als physikalisch unsinnig abzutun wie andere vor ihm, sondern sie als Antiteilchen zu interpretieren. Er schlug die Existenz eines Antielektrons, des Positrons, vor[5], das auch 1932 entdeckt wurde[6].

Dirac-See

Abb. 1 Nach Dirac sind Antiteilchen Löcher in der Antiwelt

Dirac hat eine skurrile Modellvorstellung zur Erklärung der Antiteilchen, speziell des Positrons, gegeben: Jedes Teilchen, das wir beobachten können, entspricht einem Zustand des Teilchens mit positiver Energie $E=E_0 + E_{kin}$ in unserer beobachtbaren Welt. Daneben gibt es aber auch eine für uns nicht beobachtbare Antiwelt. In ihr gibt es nur Zustände mit negativen Energien $E=-(E_0 + E_{kin})$, die vollständig mit Teilchen besetzt sind. Warum geht z.B. ein Elektron der positven Energiewelt nicht durch Energieabgabe in den "günstigeren"`Zustand der negativen Energiewelt über? Das kann es nicht, weil dort alle Zustände besetzt sind und es aufgrund des Pauli-Prinzips keinen besetzten Platz einnehmen kann. Die Elektronen auf negativen Energiezuständen bilden den Dirac-See, der das Vakuum vollständig ausfüllt. Elektronen auf diesen Zuständen können wir nicht beobachten. Wenn wir aber ein Elektron von einem Zustand negativer Energie in einen Zustand mit positiver Energie heben, dann entsteht ein Loch in der Antiwelt, das beobachtbar ist. Dieses Loch bezeichnen wir als Antiteilchen des Elektrons, also als Positron. Die Energie kann durch Absorption eines Photons bereitgestellt werden. Trifft eine Elektron auf solch ein Loch, dann fällt es hinein und verschwindet. Die Energiedifferenz wird als Strahlung frei. Diesen Prozess bezeichnet man als Annihilation: Tifft ein Teilchen auf sein Antiteilchen, dann vernichten sie sich gegenseitig und setzen dabei Strahlung frei. Die Theorie des Dirac-Sees zur Erklärung der Paarbildung gilt heute als überholt. Denn sie würde bedeuten, dass es im Vakuum eine unendlich große Masse gäbe, ohne dass diese sich durch ihre Gravitation bemerkbar machen würde.

Feynman-Stückelberg-Interpretation und CPT-Theorem

Heute interpretiert man Antiteilchen anders: Die modern Interpretation geht zurück auf Feynman und Stückelberg. Der vorhergehende Abschnitt hat gezeigt, dass es eine Korrelation zwischen dem Vorzeichen der Ladungsdichte und der Energie gibt. Heute wissen wir: Eine Lösung mit negativer Energie beschreibt dasselbe Teilchen wie dasjenige aus der Lösung mit positiver Energie, jedoch haben alle seine Ladungen das entgegengesetzte Vorzeichen: Es ist das Antiteilchen.

Nach der Feynman-Stückelberg-Interpretation bewegen sich Teilchen negativer Energie als Teilchen mit positiver Energie im gespiegelten Raum mit konjugierter Ladung rückwärts in der Zeit. Man bezeichnet das als CPT-Umkehr. C steht für die Ladungsumkehr, P für die Paritätsumkehr, d.h. die Raumspiegelung, T für die Zeitumkehr, d.h. Prozesse laufen rückwärts ab.

Wir setzen diese Transformationen einmal exemplarisch Faktor für Faktor für ein Teilchen um, das sich mit negativer Energie, negativer Ladung und positiver Geschwindigkeit $\vec v=\vec r/t$ in der Zeit vorwärts bewegt:

  1. C-Umkher: Wir kehren das Vorzeichen der Ladung um, dann wird q zu -q und unser Teilchen positiv.
    Resultat: Ein positives Teilchen mit negativer Energie bewegt sich mit positiver Geschwindigkeit vorwärts in der Zeit.
  2. P-Umkehr: Kehren wir nun das Vorzeichen des Raumes um, dann wird $\vec r$ zu $-\vec r$. Die Geschwindigkeit des Teilchens wird dadurch negativ, denn $\vec v=-\vec r/t$.
    Resultat: Ein positives Teilchen mit negativer Energie bewegt sich mit negativer Geschwindigkeit vorwärts in der Zeit.
  3. T-Umkehr: Wir kehren das Vorzeichen der Zeit um, d.h. t wird zu -t. Das negative Vorzeichen der Energie wird mit dem negativen Vorzeichen der Zeit multipliziert $(-E)\cdot(-t)=E\cdot t$. Das bedeutet, die Energie ist wieder positiv, ebenso wie die Zeit!
    Resultat: Ein positives Teilchen mit positiver Energie bewegt sich mit negativer Geschwindigkeit vorwärts in der Zeit.

Im Endeffekt entsprechen also Lösungen mit negativen Energien den ladungskonjugierten Antiteilchen, die sich im Raum in entgegengesezte Richtung bewegen. Bis heute geht man davon aus, dass alle physikalischen Gesetze unter der CPT-Transformation gültig bleiben. Die CPT-Invarianz ist eine fundamentale Grundannahme der Quantenfeldtheorie[7]. Die Dirac-Gleichung und ihre Lösungen sind invariant unter der CPT-Transformation.


Literatur

  1. Auch die nichtrelativistische Schrödinger-Gleichung erlaubt negative Gesamtenergien, jedoch nur für gebundene Zustände, d.h. Teilchen in einem Potenzial!"
  2. Bei einer gleichförmig beschleunigten Bewegung mit der Lösung $s(t) =\frac 12 at^2+v_0t+s_0$ sind das z.B. $v_0$ und $s_0$.
  3. 3,0 3,1 Albert Messiah, Quantenmechanik, Band 2, 2. Auflage, Walter de Gruyter, Berlin (1985)
  4. 4,0 4,1 4,2 Clausius Gros, Skript Relativistische Quantenmechanik (Kap. 7), Vorlesung Quantenmechanik 2 im SS2010, Goethe Universität Frankfurt,Online Resource abgerufen am 08.9.2017
  5. P. A. M. Dirac: The Quantum Theory of the Electron. In: Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Containing Papers of a Mathematical and Physical Character. A, Nr. 778, p. 610–624, (1928),Online-Resource
  6. C. D. Anderson, The Positive Electron, Physical Review, 43, 6, p.491–494 (1933), Online Resource
  7. Randy Harris, Moderne Physik, Pearson Deutschland GmbH, München (2013)