Arbeit

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Arbeit in der Physik

Arbeitende und nicht arbeitende Kraft

Nicht nur im täglichen Leben kann Arbeit ziemlich anstrendgend sein. Auch in der Physik hat die Arbeit so ihre Tücken: Wenn Arbeit und potenzielle Energie nicht klar unterschieden werden oder die physikalische Arbeit mit dem Alltagsbergiff Arbeit gleichgesetzt wird, entstehen Vorzeichenfehler oder Widersprüche.

In der Physik ist Arbeit eine von zwei Möglichkeiten, die Energie eines Systems zu verändern (Die andere Möglichkeit ist Wärme). Die Physik hat drei wesentliche Erhaltungsgrößen:

  • Energie,
  • Impuls,
  • Drehimpuls.

Jede dieser Erhaltungsgrößen hat ihre Änderungsgröße:

  • Kräfte ändern den Impuls.
  • Drehmomente ändern den Drehimpuls.
  • Arbeit (oder Wärme) ändern die Energie.

Unterschied zwischen Alltagsbedeutung und physikalischem Konzept

Im Alltag wird alles, was irgendwie anstrengend ist, also mit einem Kraftaufwand verbunden ist, als Arbeit bezeichnet. In der Physik wird dagegen nur dann von Arbeit gesprochen, wenn durch den Kraftaufwand auch etwas verschoben wird, also seinen Ort ändert: Arbeit (Formelzeichen $W$ von "work", Einheit J) ist der Energietransfer durch die mecha­ni­sche Verschiebung eines Objektes. Ganz anders als in der Um­gangs­sprache. Auch wenn es noch so anstrengend ist, eine 5-kg-Han­tel mit aus­gestrecktem Arm zu halten: In der Physik erfordert das keine Arbeit, weil die Hantel nicht verschoben wird. Arbeit ist die Energie, die einem System zugeführt oder entnommen wird, indem sich gemeinsam mit einem System­be­stand­teil der Angriffs­punkt einer äußeren Kraft im System ver­schiebt. Als Konse­quenz sind Systeme, an denen Arbeit verrichtet wird, immer offen und nie isoliert. In der Abbildung rechts arbeitet nur die Zugkraft $\vec F_a$, die Kraft $\vec F_W$ der Wand jedoch nicht, denn ihr Angriffspunkt bleibt fest. Sie ist eine Zero-Work-Force. Eine mechanische Ver­schie­bung erfordert eine Kraft oder ein Drehmoment. Der Vorgang des Ver­schie­bens ist ein Prozess. Arbeit ist also keine Größe, die den Zustand eines Systems beschreibt, son­dern eine Prozessgröße, die den Energie­aus­tausch­vorgang charakterisiert. Die Arbeit können wir in zwei Gruppen auf­tei­len: Arbeit durch die sogenannten „konservativen Kräfte“ und Ar­beit durch alle ande­ren Kräfte. Die konser­vativen Kräfte sind z. B. die Gravitationskraft, die Cou­lomb-Kraft und die Federkraft. Für sie gibt es eine potenzielle Energie.

Im Zusammenhang mit der Arbeit gibt es drei mit­einander verknüpfte Schwierigkeiten: ihr Vorzeichen, welche Kraft „arbeitet“ und wer die Energie bekommt. Wir wählen das Vorzeichen positiv. Es gibt keine einheitliche Vorzeichenkonvention. Das wird von Buch zu Buch verschieden gehandhabt. Bei uns so wie in vielen Experimentalphysikbüchern (und in der Schule) bleibt das Arbeitsintegral aus gutem Grund positiv. Ich erkläre Ihnen gleich, warum.

Definition

Arbeit ist der Transfer von Energie in ein System hinein oder aus einem System heraus durch die mecha­ni­sche Verschiebung eines Objektes des Systems unter Wirkung einer äußeren Kraft \({\vec F}_a\).

Mathematische Formulierung

$W_{i\rightarrow f}=\int\limits_i^f\vec F_a\cdot d \vec s$

Darin ist \(\vec F_a\) stets eine äußere Kraft, die ein Teil des Systems um den Weg \(s\) verschiebt. Das Integral ist ein Wegintegral.

Bedeutung des Vorzeichens

Mit positivem Vorzeichen definiert (d. h. so wie hier), bedeutet ein positiver Zahlenwert von \(W\), dass das System Energie hinzubekommt, ein negativer Zahlenwert, dass es Energie abgibt. Die Energie, die wir durch Arbeit in das System hineinstecken, muss genauso groß sein, wie die Energie, die das System abgibt, wenn es im umgekehrten Prozess selbst arbeitet (z. B. der Koffer wie­der aufspringt.). Dadurch ist der Wert der arbeitenden Kraft folgendermaßen festgelegt: Zur Berechnung der Verschiebearbeit gegen eine innere Kraft oder ein inneres Kraftfeld setzt man an jedem Ort eine Kraft an, die die Kraft, gegen die man arbeitet, genau kompensiert.

In Büchern zur theoretischen Physik wird die Arbeit auch mit einem negativen Vorzeichen definiert. Das erleichert die Definition der poten­ziellen Energie für konservative Kräfte. Dann bedeuet ein positiver Wert von $W$ jedoch eine Abnahme der Energie des Systems, an dem Arbeit verrichtet wird.

Die arbeitende Kraft

Die arbei­tende Kraft kann eine beliebige äußere Kraft aus der Umgebung sein. Eine positive Arbeit bedeu­tet ein Energie­zu­wachs in unserem jeweils betrachteten System, ein negativer Wert eine Ver­rin­gerung. Durch die Wahl des positiven Vorzeichens darf man in das Integral die Kraft einsetzen, die man ganz intuitiv als „die arbeitende Kraft“ bezeichnen würden.

Beispiel: Wenn wir eine schwere Einkaufstüte anheben, müssen wir eine arbeitende Kraft gegen die Ge­wichts­kraft aufbringen \(\vec F_a=- \vec F_g\). Wenn wir einen Kleiderschrank schieben, müssen wir eine arbeitende Kraft gegen die Reibungskraft aufbringen \(\vec F_a=- \vec F_R\). Wenn wir einen zu vollen Koffer zudrücken wollen, müssen wir eine arbeitende Kraft gegen die Federkraft des Inhaltes aufbringen \(\vec F_a=- \vec F_F\).

Beispiele

Bewegung einer Kiste

a) Anheben, b) Absenken, c) Fallen einer Kiste

Wir betrachten drei (skalare) Beispiele zur Bewegung einer Kiste im konservativen Feld der Gewichtskraft:


Zuerst betrachten wir ein System, dass sowohl die Kiste als auch die Erde und das Feld der Gewichtskraft enthält. Sie selbst sind Bestandteil der Umgebung und erzeugen die äußere (Muskel)Kraft.

Anheben

Sie heben eine Kiste auf eine Höhe $h$ hoch und erzeugen die arbeitende Kraft $F_a$. Sie heben die Kiste von unten nach oben. Ihre Kraft $F_a$ und der Weg $s$ der Kiste sind beide von unten nach oben gerichtet, das sei die z-Richtung. Um die Kiste hochzuheben, müssen Sie gegen die Gewichtskraft $F_g=-mg$ arbeiten, also ist $F_a=mg$. Die Gewichtskraft selbst arbeitet nicht, weil sie als Bestandteil des Systems eine innere Kraft ist.

Wir erhalten damit $W=\int _0^h{mg}\cdot {dz}={mg}\int_0^h{dz}={mg}[z]_0^h={mgh}$. Die Energiebilanz für den Prozess des Hochhebens lauetet nach dem Energiesatz für offene Systeme: $\Delta E=W=E(t_2)-E(t_1)=mgh$. Das ist ein Energiezuwachs. Die Energie entspricht einem Zuwachs an potenzieller Energie im Feld der Gewichtskraft, weil wir die Kiste und die Erde etwas auseinandergezogen haben.

Absenken

Jetzt betrachten wir den umgekehrten Prozess: Wir heben die Kiste aus der Höhe $h$ wieder auf den Boden herunter. Unsere Kraft muss wie vorher nach oben gerichtet sein, um die Gewichtskraft zu kompensieren, aber unser Weg hat sich nun umgedreht. Durch die Wegumkehr $s \rightarrow -s$ wird das Skalarprodukt negativ, und damit auch das Wegintegral. Wir zeigen es noch einmal explizit: Unser Weg kann durch $r(t)=h-t$ parametrisiert werden und $t$ läuft von 0 bis $h$. Wir erhalten $\frac{dr}{dt}=-1$. Folglich ist die Arbeit jetzt: $W=-\int _0^h{mg}\cdot{dt}=-{mgh}$. Die Energiebilanz für den Prozess des Herunterhebens ist: $\Delta E=W = -mgh$. Das ist ein Energieverlust. Die Energie entspricht einem Verlust an potenzieller Energie im Feld der Gewichtskraft, weil wir die Kiste und die Erde wieder etwas zusammengeführt haben.

Wir sehen: Wenn wir die Kiste permanent Hoch- und Herunterheben, verrichten wir während eines Zyklus im physikalischen Sinn keine Arbeit: Was wir beim Hochheben hineinstecken, bekommen wir beim Herunterheben wieder.

Fallen

Trotzdem strengt es uns unphysikalische Wesen an, und deshalb lassen wir die Kiste irgendwann fallen. Nun ist die arbeitende Kraft die Gewichtskraft. Deshalb muss sie eine äußere Kraft sein und das Feld der Gewichtskraft kann nicht Bestandteil des Systems sein, dem wir den Energiezuwachs zuschreiben. Das System beinhaltet nun ausschließlich die Kiste. Die Gewichtskraft ist aber nun, ebenso wie der Weg, von oben nach unten gerichtet. Das Skalarprodukt ist also wieder positiv, weil wir jetzt $F_a=-{mg}$ und $s=-h$ haben. Das Wegintegral ist erneut positiv: $W=-\int _0^h(-{mg})\cdot {dt}={mgh}$. Die Energiebilanz für den Prozess des Fallens ist: $\Delta E=W=mgh$. Das ist ein Energiezuwachs. Nun kann jedoch die Energie nicht als potenzielle Energie im Feld der Gewichtskraft interpretiert werden, denn dieses Feld ist Bestandteil der Umgebung. Für die Kiste allein existiert keine potenzielle Energie. Im Gegensatz zum Absenken im Fall b) wird die Kiste beim Fallen schneller. Der Energiezuwachs entspricht jetzt dem Zuwachs an kinetischer Energie.

Schwierigkeiten im Zusammenhang mit Arbeit und potenzieller Energie

In diesen Feinheiten liegen die Schwierigkeiten im Zusamenhang mit Arbeit und potenzieller Energie: Hochheben führt Energie zu und Fallenlassen auch! Hier ist kein Vorzeichenfehler, beides ist korrekt. Denn beim Fallenlassen gewinnt unsere Kiste kinetische Energie, anders als beim Absenken. Der wesentliche Punkt ist: Man muss sich stets klar machen, welche Energie man welchem System durch Arbeit zuführt: Bei a) und b) ist es die Energie, die wir potenzielle Energie nennen. Die Stolperfalle ist, dass diese Energie nicht in der Kiste allein, sondern in dem System aus Kiste und Erde, genauer noch im Feld der Gewichtskraft der Erde gespeichert wird. Wenn wir die Kiste anheben, ziehen wir Kiste und Erde etwas auseinander wie zwei Enden einer Feder, wir „spannen“ das System. Diese Spannenergie ist das, was wir potenzielle Energie nennen. Um von dieser Energie sprechen zu dürfen, müssen wir die Erde und ihr Feld in unser System mit einbeziehen.

In der Physik bleiben leider oft das betrachtete System und der Speicherort der potenziellen Energie unerwähnt und man schreibt sie irrtümlich dem verschobenen Körper zu. Das geht gut, solange man die Arbeit des Feldes ignoriert. Fehler und Widersprüche entstehen erst, wenn man wie beim Fallenlassen der Kiste das Feld selbst am System arbeiten lässt. Wenn das Feld selbst arbeitet, kann es nicht zum System gehören, weil nur äußere Kräfte Arbeit verrichten können. Damit liegt auch der Speicherort der potenziellen Energie außerhalb des Systems, folglich kann es innerhalb des System keine potenzielle Energie des äußeren Kraftfeldes geben.

Man merke sich: Wenn Arbeit in einer Energiebilanz vorkommt, betrachete man zwangsläufig ein offenes System mit der Bilanzgleichung $W=E(t_2)-E(t_1)$. Wenn darin die Arbeit W durch eine konservative Kraft verrichtet wird, darf ihre potenzielle Energie kein Bestandteil der Energien auf der rechten Seite der Gleichung sein. Jedoch darf man die Arbeit als Differenz der potenziellen Energie berechnen: $W=E_{pot}(B)-E_{pot}(A)=E(t_2)-E(t_1)$.



Arbeit mit konservativen Kräften

Für konservative Kräfte muss man das Wegintegral der Arbeit nicht auswerten: Bei ihnen ist die Arbeit − unabhängig vom Weg! − einfach die Differenz der potenziellen Energien zwischen Endpunkt und An­fangs­punkt des Weges. Das ist doch ein guter Grund, potenzielle Energien zu kennen ☺. Diesen riesigen Vorteil sollte man nutzen, so oft man kann.