Atomkern

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Entdeckung und Eigenschaften des Atomkerns

Der Atomkern wurde anfang des 20igsten Jahrhunderts von Ernest Rutherford durch die Rutherford-Streuung entdeckt. Das bis dahin vorherrschende Thomson'sche Rosinenkuchenmodelll des Atoms konnte durch die Ergebnisse von Rutherford nicht mehr aufrecht erhalten werden. Sie zeigten eindeutig, dass ein Atom im wesentlichen leer ist und aus einem winzigen positiven Kern bsteht, der von den negativ geladenen Elektronen des Atom umhüllt ist. Dies war die experimentelle Ausgangslage zur Entwicklung des Bohrschen Atommodells. Heute wissen wir, das ein Atomkern aus Protonen und Neutronen (gemeinsam Nukleonen genannt) besteht. Die Größe des Atomkerns hängt von der Anzahl der Nukleonen ab und variiert zwischen 1,7 fm (10-15 m) beim Wasserstoff bis zu ca. 6 fm bei den schwersten Elementen. Atome haben dagegen Radien im Bereich von 0,5 Å bis 10 Å (10-10 m). Der Kernradius ist daher nur 1/25000 bis 1/150000 des Atomradius. Wäre die Elektronenhülle ein Fußballstadion, dann wäre der Kern kleiner als ein Marienkäfer. Jedoch konzentrieren sich in diesem winzigen Bereich 99,9% der Masse des Atoms! Er weist die unvorstellbar hohe Dichte von rund 2·1017 kg/m³ auf. Das ist 13 Zehnerpotenzen größer als die Dichte von Blei!

Isotope und Notation von Nukliden

Atomkerne werden wie das zugehörige Element bezeichnet, wobei man dessen Symbol noch zusätzlich mit der Massenzahl A (Anzahl der Nukleonen) und der Kernladungszahl Z (Anzahl der Protonen) versieht. Ein eindeutig durch Massen- und Kernladungszahl gegebenes Element nennt man Nuklid. Beide Zahlen werden vor das Symbol gesetzt. Dabei wird A hoch- und Z tiefgestellt: $^A_Z Element$. Eine alternative Bezeichnung ist $Element-A$. Die Anzahl der Neutronen ist N = A - Z.

Beispiele: Wasserstoff: $_1^1\text H$, Wasserstoff-1, Deuterium: $_1^2\text H$, Wasserstoff-2, Tritium: $_1^3\text H$, Wasserstoff-3

Helium: $_2^4\text He$, Helium-4, $_2^3\text He$, Helium-3

Isotope sind Kerne mit gleicher Kernladungszahl, jedoch unterschiedlicher Massenzahl. Isotope gehören zum gleichen Element und haben nur eine andere Anzahl an Neutronen. Sie haben die gleichen chemischen Eigenschaften, ihre kernphysikalischen Eigenschaften sind jedoch unterschiedlich. Insbesondere gibt es stabile und instabile Isotope. Letztere sind radioaktiv sind und zerfallen.

Beispiele: Im vorgenannten Beispiel sind Wasserstoff, Deuterium und Tritium Isotope des Wasserstoff. Das Nuklid Tritium ist radioaktiv.
Helium-3 und Helium-4 sind Isotope des Helium. Beide Nuklide sind stabil.

Isotope können künstlich hergestellt werden, zum Beispiel als Zwischenprodukte von Kernreaktionen oder durch Neutronenbeschuss. Künstliche Isotope sind nicht in der Natur vorkommende Isotope. Alle sind so instabil, dass sie in der Natur bereits schon vollständig zerfallen sind. Natürliche Isotope kommen in der Natur vor. Sie sind entweder stabil oder instabil. Die instabilen natürlichen Isotope haben oft eine lange Lebensdauer. Zum Beispiel sind Uran-238 und Thorium-232 in der Natur häufiger als Silber. Beide sind radioaktiv, existieren jedoch sehr lange Zeit. Ihre Halbwertszeiten betragen einige Milliarden Jahre (Uran-238 t1/2 = 4,5·109 Jahre, Thorium-232 t1/2 = 14·109 Jahre).

Kernmasse und Massendefekt

Wenn sich zwei Menschen mit den Massen 75 kg und 68 kg zusammentun und gemeinsam auf eine Waage stellen, wird diese M = 75 kg + 68 kg =143 kg anzeigen. Wenn sich dagegen zwei Nukleonen zusammenbinden, ist ihre gemeinsame Masse kleiner als die Summe ihrer Einzelmassen. Das nennt man

Massendefekt $\Delta m = m_{\text{Summe der Bestandteile}}-m_{\text{Kern}}\qquad\qquad\text{(1)}$.

Beispiel: Masse des Deuterons

Wenn sich ein Proton (mp = 938,272 MeV/c2) und ein Neutron (mn = 939,565 MeV/c2) verbinden, nennt man den entstehenden Kern Deuteron und den damit gebildeten Wasserstoff Deuterium. Wasser, das aus Deuterium gebildet wird, nennt man schweres Wasser. Die Summe der Massen von Proton und Neutron ist mp+n = 1877,837 MeV/c2. Bestimmt man die Masse des Deuterons experimentell, z.B. in einem Massenspektrometer, dann misst man md = 1875,613 MeV/c2. Es fehlt die Masse Δm = 2,224 MeV/c2. Das ist ein Wert, der weit außerhalb jedes Messfehlers liegt.

Mit Hilfe der Einstein'schen Beziehung $E = m c^2$ kann man den Massendefekt interpretieren und verstehen. Darin steckt die Äquivalenz und präziser auch die Umwandlung von Masse in Energie. Um einen Kern wieder in seine Bestandteile zu zerlegen, muss man ihm Energie zuführen. Diese Energie muss mindestens so groß sein, dass damit die fehlende Masse der getrennten Teilchen erzeugt werden kann. Daher entspricht der Massendefekt der Bindungsenergie des Kerns. Wenn sich zwei Nukleonen binden, wird die Bindungsenergie frei. Beim Bindungsprozess wird dazu Masse in Energie umgewandelt und diese als kinetische Energie des Kerns oder als γ-Quant frei gesetzt.

Massendefekt = Bindungsenergie $\Delta m c^2= E_{\text{Bindung}}\qquad\qquad\text{(2)}$.

Bindungsenergie und magische Zahlen

Abb. 1 Bindungsenergie pro Nukleon als Funktion der Massenzahl A

Es gibt stabile und instabile Kerne. Letztere zerfallen. Ein Kern zerfällt, wenn er dadurch in einen stabileren Zustand mit höherer Bindungsenergie pro Nukleon übergehen kann. Der Verlauf der Bindungsenergie als Funktion der Massenzahl A ist in der Abb.1 gezeigt (nach [1]). Er lässt sich bereits über das Tröpchenmodell verstehen. Einige Kerne sind besonders stabil, ihre Bindungsenergien sind überraschend hoch. Ihre Neutronen- und Protonenanzahl entspricht den sogenannten magischen Zahlen 2,8, 20, 28, 50, 82, 126. Es ist eine der Errungenschaften des Schalenmodells, diese magischen Zahlen erklären zu können.

Kernmodelle

Es gibt zwei unterschiedliche Modelle, mit denen sich die Eigenschaften von Atomkernen gut beschreiben lassen: das Tröpfchenmodell und das Schalenmodell. Das Tröpchenmodell ist ein klassisches Modell und überträgt Zusammenhänge und Eigenschaften von klassischen Tropfen (z.B. Wassertropfen) auf den Atomkern. Damit lässt sich die Bindungsenergie pro Nukleon eines Kerns verstehen. Das Schalenmodell ist ein quantenmechanisches Modell und übeträgt Eigenschaften, die man von den Atomen kennt, auf den Atomkern. Es erklärt die Schalenstruktur, die Drehimpulse und die magischen Zahlen.

Tröpfchenmodell

Mit Hilfe des Tröpfchenmodells kann man die

Bethe-Weizsäcker-Formel $E_{Bindung}=a_v A - a_0 A^{2/3}- a_C Z(Z-1) A^{-1/3}- a_S \frac{(N-Z)^2}{4 A}+ \left\{\begin{array}+ a_P A^{-1/2} &für &gg-Kerne\\0 &für &gu-Kerne\\- a_P A^{-1/2} &für &uu-Kerne\end{array}\right.\qquad\qquad\text{(3)}$

aufstellen. Sie gibt die Bindungsenergie pro Nukleon eines Atomkerns an. Bei der Bindung meherer Nukleonen muss man unterscheiden zwischen der

  1. Bindungsenergie = alle Nukleonen trennen
  2. Bindungsenergie pro Nukleon = ein Nukleon abtrennen.

Gleichung (3) ist ein Maß für letzteres.

Erklärung des Tröpchenmodells

Beim Tröpfchenmodell geht man von kugelförmigen Kernen mit konstanter Dichte aus. Streu-Experimente belegen, dass diese Annahmen für die meisten Kerne gut zutreffen. Sie zeigen, dass Kerne in etwa Kugeln mit $R=A^{1/3}a_0$ und $a_0 = 1,2 \text{ fm} = 1,2 \cdot 10^{-15} \text m$ der Radius eines Nukleons ist. Daraus ergibt sich unmittelbar das Kernvolumen $V=\frac 4 3\pi R^3=A\frac 4 3\pi a_0^3\rightarrow R= a_0 A^{1/3}$, der Kernradius R und die konstante Dichte des Kerns $\rho =\frac m V=\frac{A\cdot m_N}{A\cdot \frac 4 3\pi a_0^3}=10^{17}\frac{\text{kg}}{\text m^3}$.

1. Volumenanteil
Abb.2 Mit der Anzahl der Nukleonen wächst die Anzahl der Bindungen pro Nukleon.
Volumenanteil
Nukleonen sind dicht (auf "Berührung") gepackt. Man geht davon aus, dass sie nur Bindungen zu ihren unmittelbaren Nachbarn ausbilden. Dies hat Auswirkungen auf die Bindungsenergie: Kerne sind umso stabiler, je größer die Anzahl der Bindungen ist. Wenn man annimmt, das jede Bindung gleich stark ist, dann nimmt die Bindungsenergie pro Nukleon mit der Anzahl der Bindungen pro Nukleon zu. Abb. 2 verdeutlicht das: Zwei Nukleonen können nur eine Bindung ausbilden, auf jedes Nukleon entfällt daher eine halbe Bindung. Drei Nukleonen können schon drei Bindungen ausbilden. Auf jedes Nukleon entfällt bereits eine Bindung. Vier Nukleonen können schon sechs Bindungen ausbilden, auf jedes Nukleon entfallen bereits 1,5 Bindungen.
Dieses Zunehmen der Bindungsenergie pro Nukleon ist im ersten Summanden von (3) enthalten, den man auch Volumenanteil nennt (aV ≈ 15,7 MeV). Darin geht man davon aus, dass die Anzahl der Bindungen mit der Massenzahl stetig wächst, also jedes Nukleon vollständig von anderen Nukleonen umgeben ist. Das ist natürlich eine zu optimistische Annahme, denn Nukleoenen an der Oberfläche können z.B. nicht so viele Bindungen ausbilden, wie Nukleonen im Kernzentrum. Solche Verfeinerungen sind in den übrigen Summanden berücksichtigt: Alle anderen Terme in (3) sind entsprechende Korrekturen, die Abzüge von der Bindungsenergie des Volumenanteils beinhalten.

Wie viele unmittelbare Nachbarn kann eine Kugel haben? Wie viele Bindungen pro Nukleon ergeben sich daraus?(Antwort zeigen/verbergen)
Im einfachen Kugelmodell wären das 12 unmittelbare Nachbarn: sechs Kugeln in einer Ebene um die zentrale Kugel herum plus je drei Kugeln ober- und unterhalb der Ebene. Es ergen sich daraus 12 Bindungen innerhalb der Ebenen + 12 Bindungen vom zentralen Nukleon aus plus 12 Bildungen zwischen den Ebenen, also 36 Bindungen/13 Nukleonen. Das sind ca. 3 Bindungen pro Nukleon.
2. Oberflächenanteil
Oberflächenanteil
Jedes Nukleon an der Oberfläche führt zu einem Abzug der Bindungsenergie, denn nach außen weisende Bindungen fehlen. Die Oberfläche einer Kugel und damit auch die Anzahl der Nukleonen mit weniger Bindungen wächst quadratisch mit dem Radius. Es ist $A_{Kugel}= 4\pi R^2=4\pi (a_0 A^{1/3})^2=a_O A^{2/3}$ mit aO ≈ 17,2 MeV.
3. Coulomb-Anteil
Coulombanteil
Im Gegensatzt zu den Neutronen stoßen sich die Protonen ab und sind dadurch weniger stark gebunden. Jedes der Z Protonen wird von den übrigen (Z – 1) Protonen abgestoßen: Die potenzielle Energie der Coulomb-Abstoßung zweier Protonen ist $E_{C}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{e^2}{R}$. Für alle Z Protonen ergibt das einen Term proportional zu $E_{C} \propto\frac{ Z(Z-1)}{A^{1/3}}= a_C Z(Z-1) A^{-1/3}$ mit aC ≈ 0,714 MeV.
4. Symmetrieanteil
Symmetrieanteil
Dieser Anteil ist quantenmechanischer Natur. Um diesen Abzug verstehen zu können, betrachten wir zuerst die Bindung zweier Nukleonen: möglich sind pp, pn, nn. Tatsächlich existiert aber nur der Kern pn (das Deuteron). Warum existieren die anderen Kerne nicht? Der Grund ist folgender: Nukleonen tragen Spin ½ und sind Fermionen. Die Kernkraft hängt auch vom Spin ab und ist stärker für parallel Spins ($\uparrow \uparrow $) und weniger stark für entgegengesetzte Spins ($\uparrow \downarrow $). Für entgegengesetzte Spins ist sie sogar zu schwach, um einen Kern zu bilden. Für die beiden Kerne mit gleichen Nukleonen sind aufgrund des Pauli-Prinzips nur entgegengesetzte Spins erlaubt. Daher können diese Kerne nicht existieren. Alle Nukleoenen, die sich nicht zu einem pn-Paar zusammenfinden können, schwächen daher die Bindung. Die Anzahl der Neutronen ist $N = A-Z$ und der Unterschied von Protonen und Neutronen ist $N-Z = A-Z -Z = A - 2 Z$. Das Vorzeichen der Differenz ist bedeutungslos, daher quadriert man und teilt durch 4A. Das ergibt den Symmetrieanteil mit aS ≈ 93 MeV.
5. Paarungsanteil
Paarungsanteil
Auch dieser Anteil ist quantenmechanischer Natur und nur durch das Schalenmodell erklärbar. Jeder Energiezustand kann zwei identische Nukleoenen mit entgegengesetzten Spins aufnehmen. Auch die Nukleonen im Kern können - ähnlich wie im Atom die Edelgase - abgeschlossene Schalen bilden. Sie sind dann besonders stabil (siehe magische Zahlen). Eine gerade Anzahl von Protonen und eine gerade Anzahl von Neutronen ermöglicht abgeschlossene Unterschalen und Schalen. Der Faktor ist aP ≈ 11,2 MeV.

Schalenmodell

Im Schalenmodell sucht man ein möglichst gut passendes Modell für das Kernpotenzial, stellt damit eine Schrödinger-Gleichung auf und berechnet damit Energiezustände und Wellenfunktionen der Nukleonen.

Der einfachste Kern: Das Deuteron

Abb.3 Potenzialtopf und gebundener Zustand des Deuteron.

Analog zum Wasserstoff-Atom als einfachstes Atom ist der einfachste Kern einer aus zwei Nukleonen. Die potenzielle Energie der Kernkraft kann darin als erster Ansatz durch einen unendlich tiefen Potenzialtopf modelliert werden: Für einen unendlich tiefen Topf der Breite a wären mögliche Energien $E_n=\frac{\hbar ^2\pi^2}{2ma^2}n^2$. Für a ≈ 2 fm, n = 1 und m = 940 MeV/c2 ergibt das E1 ≈ 50 MeV für den niedrigsten Energiezustand (Grundzustand) eines Nukleons in einem Kern aus zwei Nukleonen. Die 50 MeV sind eine grobe Abschätzung, wie hoch der Grundzustand über dem Topfboden liegt. Die Energien eines endlich tiefen Topfes liegen etwas darunter. Die experimentell bestimmte Bindungsenergie des Deuteron beträgt nur EBindung = 2,23 MeV. Das Potenzial der Kernkraft, d. h. der Potenzialtopf im Deuteron ist folglich nicht unendlich tief, sondern entspricht einem endlich tiefen Topf der Breite a ≈ 2 fm und der Tiefe von ca. 50 MeV[2]. Es passt nur die Energie zu n = 1 in diesen Potenzialtopf, d.h. es gibt nur einen einzigen gebundenen Zustand und bei diesem bleibt nahezu die gesamte Topftiefe ungenutzt. Der nächste Zustnd zu n = 2 hätte bereits die Energie E2 = n2 E1 ≈ 200 MeV. Er liegt schon oberhalb des Topfes. Angeregte Zustände existieren daher nicht. Der Abstand des Zustandes zum Topfboden gibt die kinetische Energie der Nukleonen an. Sie ist im Deuteron mit ca. 50 MeV also sehr hoch.

Kernpotenzial

Abb.4 Woods-Saxon-Potenzial

Auch für große Kerne wird eine Potenzialtopf der Tiefe von ca. 50 MeV angesetzt. Als Potenzial kann man z.B. ein Woods-Saxon-Potenzial verwenden. Für dieses Potenzial ist die Schrödinger-Gleichung noch analytisch lösbar[3]. Es entspricht einem endlich tiefen Potenzialtopf (Tiefe V0, Breite R) mit "abgerundeten Ecken" (Parameter a). Das Potenzial hängt nur von r ab und ist folglich kugelsymmetrisch.

Energiezustände und magische Zahlen

Abb.5 Schalenmodell und magische Zahlen (rot)

Weil das Kernpotenzial kugelsymmetrisch ist, ergeben sich wie beim Wasserstoff-Atom Lösungen für Energien und Wellenfunktionen, die von den Drehimpulsquantenzahlen l und m und von der Energiequantenzahl n abhängen. Diese Lösungen bilden mögliche Zustände, die ein Nukleon in einem Atomkern besetzten kann. Allerdings lassen sich z.B. mit einem reinen Woods-Saxon-Potenzial experimentelle Ergebnisse und insbesondere die magischen Zahlen für große Kerne nicht bestätigen. Verbesserte Modelle berücksichtigen auch die Spin-Bahn-Kopplungsenergie und verwenden einen Ansatz $V_i(r)=V(r)+V_{ls} \vec l \cdot \vec s$. Dieser Ansatz geht auf Maria Goeppert-Mayer und Hans D. Jensen zurück, die dafür 1963 den Nobelpreis für Physik erhielten. Denn erst durch Berücksichtigung der Spin-Bahn-Wechselwirkung konnten sie mit ihrem Schalenmodell die magischen Zahlen erklären[4]. Die Energie und Wellenfunktionen ergeben sich daraus erst nach umfangreichen Berechnungen.

Abb. 5 zeigt eine qualitative Darstellung der Energiezustände (nach Daten aus [5]). Durch Hinzunahme der Spin-Bahn-Wechselwirkung wird die Reihenfolge der Zustände verändert und es entstehen größere Lücken zwischen den Energiezuständen, so daß sich Schalen bilden. Jeder Zustand ist mit seiner Energiequantenzahl n, seinem Bahndrehimpuls l (Notation wie bei der Elektronenhülle) und seinem Gesamtdrehimpuls j gekennzeichnet. Der Gesamtdrehimpuls j bestimmt, wie viele identische Nukleonen ein Zustand aufnehmen kann. Zu einem j gibt es aufgrund der Richtungsquantelung 2j+1 mögliche Werte der Magnetquantenzahl m, daher kann ein Zustand 2j+1 Nukleonen aufnehmen. Summiert man die Anzahl der Nukleonen auf, die in die Zustände bis zu einer Lücke passen, dann erhält man gerade die magischen Zahlen.

Abb.6 Symbolische Darstellung von Kernzuständen für Neutronen und Protonen

Wichtig ist, dass man die Zustände sowohl mit Neutronen als auch mit Protonen besetzen kann. Die Protonenzustände sind aufgrund der Coulomb-Abstoßung auf der Energieachse nach oben verschoben. Daher symbolisiert man die Kernzustände häufig durch einen doppelten Topf, der die Neutronen- und Protonenzustände getrennt darstellt (Abb.6). Kerne wie z. B. $^4_2\text{He}$, $^{16}_8\text{O}$ oder $^{208}_{82}\text{Pb}$ sind besonders stabil. Sie heißen doppelt magisch, weil bei ihnen sowohl die Anzahl der Neutronen als auch die Anzahl der Protonen einer magischen Zahl entspricht.



Literatur

  1. Randy Harris, Moderne Physik, Pearson Deutschland GmbH, München (2013)
  2. H. Vogel, Probleme Aus Der Physik: Aufgaben und Lösungen zur 17. Auflage von Gerthsen,Vogel, PHYSIK, Springer-Verlag (2013)
  3. Siegfried Flügge, Practical Quantum Mechanics, Verlag Springer Science & Business Media (2012), Online-Resource
  4. Wolfgang Demtröder, Experimentalphysik 4, Kern-, Teilchen- und Astrophysik, 3. Auflage, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg (2009)
  5. Hans Bucka, Nukleonenphysik, Walter de Gruyter, Berlin, (1981), Online-Resource