Bewegungen: Ort, Geschwindigkeit und Beschleunigung

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Bewegungen

Kontext

Bewegung dominiert das Leben. Wir steigen aus dem Bett, fahren zur Uni oder zum Einkaufen. Eine Wolke bewegt sich am Himmel, die Moleküle der Luft bewegen sich, Wind lässt Blätter oder Gräser wedeln, Autos fahren, Flugzeuge fliegen, Äpfel fallen, Luftballons steigen auf, Drachen segeln, Boote segeln, Schlitten rutschen, Räder rollen, Pferde gallopieren und Schnecken kriechen, unser Herzschlag ist die Bewegung des Herzmuskels. Und seit Urzeiten bewegt sich die Erde um die Sonne und ein Elektron um seinen Atomkern. In vielen physikalischen Phänomenen stecken Bewegungen: Elektrischer Strom ist die Bewegung von Ladungen, Licht ist die Bewegung elektromagnetischer Felder, die Energie eines Objektes und die Kraft, die es auf andere Objekte ausüben kann, hängen von seiner Bewegung ab.
Experiment: Was ist ein Foto, was ist ein Film? Bewegungen zeigen uns, dass die Zeit vergeht! Dinge ändern ihren Ort x(t).

Motivation

Um die Vielzahl dieser unterschiedlichen Bewegungen berechnen und vorhersagen zu können, müssen wir zuerst eine universelle Methode kennenlernen, mit der wir alle diese unterschiedlichen Bewegungen in einer einheitlichen Sprache beschreiben können. Dazu verwenden wir die physikalischen Größen Ort, Geschwindigkeit und Bescheunigung.

Ort

Wir stellen uns zuerst eine Bewegung eines Objektes entlang einer geraden Linie vor, die beliebig im Raum orientiert sein kann. Wir fotografieren den Ort des Objektes zu bestimmten Zeitpunkten, z.B. in dem wir das Objekt mit einem Stroboskop beleuchten und eine lange Belichtungszeit wählen. Die Orte des Objektes zu den Zeitpunkten t1 bis t7 sind durch Punkte dargestellt. Der Abstand der Zeitpunkte ist stets gleich, z. B.\(\Delta t = 1 \text s\). Wir nennen die Koordinaten in Bewegungsrichtung x und wählen die positive Richtung so, dass sie nach rechts oben zeigt. Namen und Wahl der positiven Richtung sind beliebig, man könnte die Koordinate auch s nennen und die positive Richtung nach links wählen. Um die Bewegung beschreiben zu können, muss man jedoch beides festlegen. Die Festlegung bestimmt später die Vorzeichen.
Abb.1: Ort und Geschwindigkeit: Stroboskopbild (links), Funktionsgraph (rechts)
Im Stroboskopbild (Abb.1 links) bewegt sich das Objekt von \(t_1\) bis \(t_4\) in positive x-Richtung, kehrt dann um und erreicht die Ausgangsposition erneut bei \(t_7\). Zwischen \(t_1\) und \(t_4\) nehmen die Abstände zwischen den Orten zu, was anzeigt, dass das Objekt schneller wird. Auf dem Rückweg zwischen \(t_5\) und \(t_7\) nehmen die Abstände zwischen den Orten wieder ab. Das Objekt wird somit langsamer.

Im Stroboskopbild links sind die Ort des Objektes zu einzelnen Zeitpunkten durch Punkte dargestellt. Dagegen zeigt der Funktionsgraph (Abb.1 rechts) die Orte \(x(t)\) des Objektes kontinuierlich zu jeder Zeit.

Geschwindigkeit

mittlere Geschwindigkeit

Die mittlere Geschwindigkeit (oder auch Durchschnittsgeschwindigkeit) zwischen zwei beliebigen Zeitpunkten \(t_1\) und \(t_2\) ist

\(\bar v_{12}=\frac{x_{t_2}-x_{t_1}}{t_2-t_1}=\frac{\Delta x}{\Delta t}\). Der Überstrich bedeutet dabei "Mittelwert".

Beispiel:
Abb.2: Mittlere Geschwindigkeit zwischen zwei Zeitpunkten.
In Abb.2 ist die mittlere Geschwindigkeit zwischen \(t_2\) und \(t_3\) gleich \(\bar v_{23}=\frac{x_3-x_2}{t_3-t_2}=\frac{\Delta x}{\Delta t}\).

Der Zahlenwert ist positiv aufgrund der Wahl der +-Richtung. Der Winkel ist $\alpha > 0$.

In Abb.2 ist die mittlere Geschwindigkeit zwischen \(t_5\) und \(t_6\) gleich \(\bar v_{56}=\frac{x_6-x_5}{t_6-t_5}=\frac{\Delta x}{\Delta t}\).

Der Zahlenwert ist negativ aufgrund der Wahl der +-Richtung, der Winkel ist $\alpha < 0$.

In Abb.2 ist die mittlere Geschwindigkeit zwischen \(t_1\) und \(t_7\) gleich \(\bar v_{17}=\frac{x_7-x_1}{t_7-t_1}=\frac{\Delta x}{\Delta t}=0\).

Bei Rückkehr an Ursprungsort ist die mittlere Geschwindigkeit null, weil der gesamte Weg null ist!

Bei Umkehr der +x-Richtung würden sich alle Vorzeichen ebenfalls umkehren.

mittleres Tempo

Wenn Sie in einem Zeitintervall\(\Delta t=t_2-t_1\) einmal im Kreis laufen, haben Sie zwar einen Weg \(\Delta s=2 \pi R\) zurückgelegt (den Kreisumfang), befinden sich aber am Ende wieder am Ausgangsort, d. h. die Differenz der Ortskoordinaten \(\Delta x=x_{t_2}-x_{t_1}\), also der gesamte Weg ist null. Um diese beiden Fälle auseinander zu halten, kann man zwischen Tempo und Geschwindigkeit (englisch: speed und velocity) unterscheiden:
  • Das mittlere Tempo (Schnelligkeit) bezieht sich auf den zurückgelegten Weg \(\Delta s\) und ist der Betrag der zugehörigen Geschwindigkeit: $|\bar v|=\frac{zurückgelegeter Weg}{Zeit}=\frac{\Delta s}{\Delta t}$. Das mittlere Tempo ist stets positiv und nie null, sobald etwas seinen Ort verändert.
  • Die mittlere Geschwindigkeit bezieht sich auf die Ortsdifferenz \(\Delta x\) (gesamter Weg) zwischen zwei Zeitpunkten und hat ein Vorzeichen: $\bar v=\frac{Ortsdifferenz}{Zeit}=\frac{\Delta x}{\Delta t}$.
Beispiel
Wenn Sie im Zeitintervall \(\Delta t\) einmal im Kreis laufen,
  • ist das mittlere Tempo \(|v|=\frac {2 \pi R}{\Delta t}>0\).
  • ist die mittlere Geschwindigkeit \(\bar v =0\), weil die Ortsdifferenz von Start und Ziel \(\Delta x=0\) ist.
In Abb.3 ist zwischen \(t_1\) und \(t_7\)
  • das mittlere Tempo $|{\bar v}_{17}|>0$, weil das Objekt in der Zeitspanne zuerst den Weg von \(x_A\) nach \(x_D\), dann von \(x_D\) nach \(x_B\), dann von \(x_B\) nach \(x_C\) und schließlich von \(x_C\) nach \(x_A\) zurückgelegt hat! Der zurückgelegte Weg ist die Summe dieser Teilstrecken: \(\Delta s=|x_D-x_A|+|x_B-x_D|+|x_C-x_B|+|x_A-x_C|\).
  • die mittlere Geschwindigkeit ${\bar v}_{17}=0$, weil das Objekt wieder zum Ausgangsort zurückkehrt. Der gesamte Weg ist \(\Delta x=x_A - x_A=0\).
Abb. 3: Der zurückgelegte Weg ist die Summe aller zurückgelegten Wege

momentane Geschwindigkeit

Lässt man die Zeitabstände im Stroboskopbild immer kürzer werden, d.h. erhöht man die Blitzfrequenz, dann sieht man immer mehr Orte in immer kürzeren Zeitabständen. Wenn man schließlich kontinuierlich beleuchtet, sieht man den Ort zu jeder Zeit. Mathematisch geschieht das durch die Grenzwertbildung \(\Delta t\rightarrow 0\). Daraus erhält man die momentane Geschwindigkeit:

$$v(t)=\underset{\Delta t\rightarrow 0}{\lim }\frac{x(t+\Delta t)-x(t)}{(t+\Delta t)-t}=\frac{dx}{dt}=\dot x(t)$$.

Das entspricht mathematisch der Ableitung der Ortskurve (Trajektorie) nach der Zeit. Der Punkt über einem Symbol bedeutet in der Physik "Ableitung nach der Zeit \(t\)". Die Ableitung ist anschaulich die Steigung der Kurve. Die Steigung ist die Stärke des Anstiegs oder Abfalls der Kurve. Eine ansteigende Kurve hat eine positive Steigung, eine abfallende Kurve hat eine negative Steigung.

Beispiel: Diskussion des Funktionsgraphen in Abb. 4
Wenn die Kurve ansteigt, ist die Steigung positiv und somit auch \(v\). Wenn die Kurve abfällt, ist die Stegung negativ und somit auch \(v\). An den Stellen, an denen die Kurve horizontal verläuft, ist der Anstieg gleich null und somit auch \(v\). Das Vorzeichen der Ortskoordinate ist für das Vorzeichen der Geschwindigkeit bedeutungslos. Das Vorzeichen der Geschwindigkeit wird nur dadurch bestimmt, ob die Ortskoordinate zu- oder abnimmt.
Abb.4: Geschwindigkeit als Steigung der Ortskurve
Von 0 bis \(t_1\) läuft die Kurve horizontal, daher ist \(v=0\). Von \(t_1\) bis kurz nach \(t_4\) steigt die Kurve immer stärker an. Daher ist \(v\) positiv und nimmt zu. Von kurz nach \(t_4\) bis kurz vor \(t_5\) fällt die Kurve ab, somit ist \(v\) negativ. Von kurz vor \(t_5\) bis kurz nach \(t_5\) steigt die Kurve wieder an, somit ist \(v\) positiv. Von kurz nach \(t_5\) bis \(t_7\) fällt die Kurve ab, somit ist \(v\) negativ. Der Abfall wird immer schwächer, daher wird das Objekt langsamer. Ab \(t_7\) verläuft die Kurve horizontal, somit ist wieder \(v=0\).
Im Maximum zwischen \(t_4\) und \(t_5\), im lokalen Minimum zwischen \(t_4\) und \(t_5\)und im lokalen Maximum kurz nach \(t_5\) verläuft die Kurve horizontal, somit ist dort jeweils \(v=0\).

Selbsttest

Kontrollfragen

Das Bild rechts zeigt die Ortskurve eines Körpers. In welchen Zeitbereichen ist die Geschwindigkeit negativ? (Antwort zeigen/verbergen)

Für alle Zeiten t > 2 s, weil die Kurve ab dort abfällt.

Ortskurve eines Körpers
Das Bild rechts zeigt die Ortskurve eines Körpers. Ist die Geschwindigkeit des Körpers irgendwann im gezeigten Zeitbereich null? (Antwort zeigen/verbergen)

Ja, bei t = 2 s, weil die Kurve im Maximum horizontal verläuft.

Beschleunigung

Genau so, wie die Geschwindigkeit die Änderung des Ortes beschreibt, gibt die Beschleunigung \(a\) die Änderung der Geschwindigkeit an:

Wenn die Geschwindigkeit nicht null ist,ändert sich der Ort mit der Zeit. Vollkomen analog gilt: Wenn die Beschleunigung nicht null ist, ändert sich die Geschwindigkeit mit der Zeit. Die Einheit der Beschleunigung ist daher \([a] =\frac{m/s}{s} =\frac{m}{s^2}\).

Und analog zu \(v\) aus \(\Delta x\) erhalten wir die Beschleunigung \(a\) aus \(\Delta v\):

mittlere Beschleunigung

Die mittlere Beschleunigung im Zeitintervall \(\Delta t=t_2-t_1\) ist:

${\bar a}_{12}=\frac{v_2-v_1}{t_2-t_1}=\frac{\Delta v}{\Delta t}$

Beispiel: Fall und Reflexion eines Tennisballs
Ein Tennisball wird zum Zeitpunkt t0 = 0 s aus einer Höhe von 1,25 m fallen gelassen. Die positive x-Richtung ist so gewählt, dass sie nach oben zeigt. Der Ball erhält eine negative Geschwindigkeit. Sein Tempo nimmt zu. Er fällt in Δt = 0,5 s bis zum Boden und trifft ihn mit v = - 5 m/s. Er wird am Boden reflektiert und berührt ihn dabei für 0,2 s. Direkt nach Verlassen des Bodens hat er eine positive Geschwindigkeit von v = 4 m/s. Anschließend bewegt sich der Ball mit abnehmendem Tempo nach oben. Innerhalb von 0,4 s steigt er bis zu einer Höhe von 0,8 m, danach fällt er erneut.
Abb.5: Fall und Reflexion eines Tennisballs
Fall: Die mittlere Beschleunigung vom Loslassen bis zum Boden ist \(\bar a = \frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{-5\, \text{m/s}-0\, \text{m/s}}{0,5\, \text s-0\, \text s}=-10\, \text{m/s}^2\). Während des Falls ist die Beschleunigung negativ. Reflexion: Die mittlere Beschleunigung während der Reflexion ist \(\bar a = \frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{4\, \text {m/s}-(-5)\, \text {m/s}}{0,2\, \text s}=45\, \text{m/s}^2\). Während der Reflexion ist die Beschleunigung positiv. Ihr Betrag ist fast fünfmal größer als beim Fall. Aufstieg: Die mittlere Beschleunigung während des Aufstiegs ist \(\bar a = \frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{0\, \text {m/s}-4 \,\text {m/s}}{0,4\, \text s}=-10\, \text{m/s}^2\). Während des Aufstiegs ist die Beschleunigung wieder negativ.

momentane Beschleunigung

Die momentane Beschleunigung ergibt sich analog zur momentanten Geschwindigkeit durch die Bildung des Grenzwertes \(\Delta t \rightarrow 0\):

$a(t)=\underset{\Delta t\rightarrow 0}{\lim }\frac{v(t+\Delta t)-v(t)}{(t+\Delta t)-t}=\frac{dv}{dt}=\dot v(t)=\frac{d^2x}{dt^2}=\ddot x(t)$.

Die Beschleunigung ist die Zeitableitung der Geschwindigkeitskurve. Damit ist die Beschleunigung auch die zweite Zeitableitung der Ortskurve (Trajektorie).

Beispiel: Diskussion einer Geschwindigkeitskurve
Abb.6 zeigt die Geschwindigkeit des Balls aus Abb.5. Wenn die Kurve ansteigt, ist die Steigung positiv und somit auch \(a\). Wenn die Kurve abfällt, ist die Stegung negativ und somit auch \(a\). An den Stellen, an denen die Kurve horizontal verläuft, ist der Anstieg gleich null und somit auch \(a\). Das Vorzeichen der Geschwindigkeit ist für das Vorzeichen der Beschleunigung bedeutungslos. Das Vorzeichen der Beschleunigung wird nur dadurch bestimmt, ob die Geschwindigkeit zu- oder abnimmt.
Abb.6: Beschleunigung als Steigung der Geschwindigkeitskurve
Von 0 bis 0,5 s verläuft die Kurve linear abfallend, daher ist a < 0 und konstant. Von 0,5 s bis 0,6 s steigt die Kurve immer steiler werdend an. Daher ist a positiv und nimmt zu. Von 0,6 s bis 0,7 s steigt die Kurve immer flacher werdend an. Somit ist a positiv und nimmt ab. Ab 0,7 s fällt die Kurve wieder linear ab. Daher ist a < 0 und konstant.
Im Minimum bei 0,5 s und im Maximum bei 0,7 s verläuft die Kurve horizontal, somit ist dort jeweils \(a=0\).

Mathematischer Zusammenhang zwischen Ort, Geschwindigkeit und Beschleunigung

Der mathematische Zusammenhang zwischen den kinematischen Größen Ort, Geschwindigkeit und Beschleunigung ist differentiell:

Ort $x(t)$, Geschwindigkeit $v(t)=\frac{dx}{dt}=\dot x(t)$, Beschleunigung $a(t)=\frac{dv}{dt}=\dot v(t)=\frac{d^2x}{dt^2}=\ddot x(t)$

Das bedeutet, die Größen ergeben sich auseinander durch Ableiten oder Integrieren und nicht durch einfache Formeln, die mathematische Operationen wie Addition, Multiplikation oder Division enthalten. Das ist für Schüler und Studierende zuerst ungewohnt.

Mathematisches Beispiel:
Eine Trajektorie sei gegeben durch $x(t)=4\,\text m-6 \,\text {m/s}\cdot t+2\,\text {m/s}^2 \cdot t^2$. Nebenrechnung: Die Ableitung von tn ist $\frac d{dt}t^n=n\cdot t^{n-1}$.
Funktionsgraph von x(t)
Die Geschwindigkeit ergibt sich durch die Ableitung nach der Zeit: $v(t)=\dot x=-6\,\text {m/s} +4\,\text {m/s}^2 \cdot t$.
Die Beschleunigung ergibt sich durch die zweite Ableitung nach der Zeit: $a(t)=\dot v=\ddot x=4\,\text {m/s}^2 $.
Analyse des Beispiels:
  • Startwerte bei t = 0 s: x(0 s)=4,0 m; v(0 s) = -6,0 m/s; a(0 s) = 4,0 m/s2.
  • Nullstellen: x=0 m bei t1 = 1,0 s; t2 = 2,0 s; v= 0 m/s bei t= 1,5 s.
  • v = 0 entspricht x-Extremum: x(1,5 s) = -0,5 m.
  • Werte bei t = 3 s: x(3 s) = 4,0 m; v(3 s) = +6 m/s.

Diskussion der Kurve: Die Kurve stellt eine Parabel dar, die folgende Geschichte erzählt: Ein Objekt bewegt sich mit negativer Geschwindigkeit und abnehmendem Tempo, bis es bei x=-0,5 m seine Bewegungsrichtung umkehrt. Ab da läuft es mit zunehmendem Tempo und positiver Geschwindigkeit weiter.

Modellbewegungen

Die Eigenschaft der Beschleunigung bestimmt die Art der Bewegung. Für gleichartige Beschleunigungen ergeben sich gleichartige Bewegungen. Einige bilden wichtige physikalische Modellbewegungen: