Bewegungen im dreidimensionalen Raum

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Ort, Geschwindigkeit und Beschleunigung als Vektoren

Wenn Bewegungen nicht nur geradlinig entlang einer Raumrichtung erfolgen, müssen die Bewegungsgrößen Ort, Geschwindigkeit und Beschleunigung durch Vektoren ausgedrückt werden, um die Richtung der Bewegung beschreiben zu können. Im folgenden sind \(\hat x,\,\hat y,\, \hat z\) die Einheitsvektoren in die Richtungen x,y,z.

Der Ort wird zum Ortsvektor: $\vec r(t)=x(t)\hat x+y(t)\hat x+z(t) \hat z=r_x(t)\hat x+r_y(t)\hat x+r_z(t) \hat z$

Die Ortsdifferenz wird zum Differenzvektor $\Delta \vec r=\vec r(t+\Delta t)-\vec r(t)=\Delta r_x\hat x+\Delta r_y\hat y+r_z\hat z$

Die Durchschnittsgeschwindigkeit ist $\bar{\vec v}=\dfrac{\Delta \vec r}{\Delta t}$.

Die Momentangeschwindigkeit ist ${\vec v}=\underset{\Delta t\rightarrow 0}{\lim }\dfrac{\Delta \vec r}{\Delta t}=\dfrac{d\vec r}{\mathit{dt}}=\dot{\vec r}$

Analog ist die Durchschnittsbeschleunigung $\bar{\vec a}=\dfrac{\Delta \vec v}{\Delta t}$.

Die Momentanbeschleunigung ist $\vec a=\underset{\Delta t\rightarrow 0}{\lim }\dfrac{\Delta \vec v}{\Delta t}=\dfrac{d\vec v}{\mathit{dt}}=\dot{\vec v}=\ddot{\vec r}$

Die Zeitableitung der Vektoren erfolgt komponentenweise.

Superpositionsprinzip

Jede dreidimensionale Bewegung kann in drei Bewgungen in jede der drei Raumrichtungen zerlegt werden oder anders ausgedrückt: Jede dreidimensionale Bewegung ist eine Überlagerung (=Superposition) von drei eindimensionalen Bewegungen in jede der drei Raumrichtungen. Das bedeutet, man kann jede dreidimensionale Bewegung komponentenweise beschreiben und so auf eindimensionale Bewegungen zurückführen:

Gesamtbewegung \(\vec r(t)\)= Bewegung in x-Richtung \(\cdot\hat x\) + Bewegung in y-Richtung \(\cdot\hat y\) + Bewegung in z-Richtung \(\cdot\hat z\).

Bei vielen dreidimensionalen Bewegungen sind die Bewegungen in die einzelnen Raumrichtungen unabhängig voneinander. Ein Beispiel dafür ist der schiefe Wurf. Bei anderen dreidimensionalen Bewegungen sind die Bewegungen in die einzelnen Raumrichtungen aneinander gekoppelt. Ein Beispiel dafür ist die gleichförmige Kreisbewegung.