Bohrsches Atommodell

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Nils Bohr stellte 1913 sein „Planetenmodell“ des Atoms vor. Seit der Entdeckung der Spektrallinien rätselte man über deren Ursache. Erst der dänische Physiker Niels Bohr knackte einen Teil des Rätsels mit seinem Atommodell. Danach kreisen die Elektronen auf bestimmten stabilen Bahnen um den Kern und strahlen nur dann, wenn sie die Bahnen wechseln. 1922 erhält er dafür den Nobelpreis für Physik.

Bohrsche Postulate

Er postuliert:

  • In einem Atom fliegen Elektronen nur auf ganz bestimmten stabilen Bahnen strahlungsfrei um den Kern.
  • Um von einer auf eine andere stabile Flugbahn zu wechseln (Quantensprung), brauchen die Elektronen eine bestimmte`Menge zusätzlicher Energie. Diesen Energieschub erhalten sie, wenn sie Photonen der typischen Spektrallinien aufnehmen. Bei ihrer Rückkehr auf die alte Bahn geben die Elektronen die gleichen Photonen wieder ab.
  • Die stabilen Bahnen sind dadurch bestimmt, dass auf ihnen der Drehimpuls ein ganzzahliges Vielfaches von \(\hbar\) ist: \(L = n\hbar\), worin \(n\) eine ganze Zahl ist.

Bahnen und Energien

Aus diesen Postulaten lassen sich unter Verwendung der klassischen Zusammenhänge für die gleichförmige Kreisbewegung die Radien und Energien der stabilen Bahnen berechnen. Ausgangspunkt ist der Ansatz " Coulomb-Kraft \(F_{C}\) ist Radialkraft \(F_{ZP}\)", in den man die Quantenbedingung für den Drehimpuls \(L = mvr= n\hbar\) einsetzt.

Bahnradien

Die Coulomb-Kraft wirkt als Radialkraft: $F_C=F_{ZP}\ \Rightarrow \ \frac 1{4\pi \epsilon _0}\frac{e^2}{r^2}=m\frac{v^2} r\qquad\text{(1)}$.

Das lässt sich mit \(L = mvr= n\hbar\) nach \(r\) auflösen: $\ \Rightarrow \ \frac 1{4\pi \epsilon _0}e^2=m\frac{v^2} r\cdot r^2=m^2v^2\frac{r^2}{mr}=\frac{L^2}{mr}$ $\ \Rightarrow \ r=4\pi \epsilon _0\frac{L^2}{me^2}$.

Einsetzen der Quantenbedingung \(L=n\hbar\) und \(r = r_n\): $\ \Rightarrow \ r_n=4\pi \epsilon _0\frac{n^2\hbar^2}{me^2}\qquad\text{(2)}$.

Für \(n =1\) erhält man den Bohrschen Radius $a_0=r_1=4\pi \epsilon _0\frac{\hbar ^2}{me^2}=0,53\times 10^{-10}\text { m}$.
Für \(n =2\) erhält man $r_2=4\pi \epsilon _0\frac{4\hbar ^2}{me^2}=2,10\times 10^{-10}\text{ m}$.

Die Bahnradien nehmen mit \(n^2\) zu. Hochangeregte Atome, sogenannte Rydberg-Atome, haben bemerkenswert große Radien. Für \(n = 100\) liegt der Radius bereits in der Größenordnung \(10^{-6}\text{ m}= 1 µm\).

Bahnenergien

Ansatz: Die Gesamtenergie ist die Summe aus kinetischer Energie $E_{kin}=m\frac{v^2}2$ und potenzieller Energie der Coulomb-Kraft $ E_{pot}=-\frac 1{4\pi \epsilon _0}\frac{e^2}{r}$. Die potenzielle Energie ist hier negativ, weil das Elektron negativ geladen ist.

Multiplikation von (1) mit \(\frac r2\) ergibt $ \frac 1{8\pi \epsilon _0}\frac{e^2}{r}=m\frac{v^2}2$.

Daran sieht man, dass die kinetische Energie halb so groß wie der Betrag der potenziellen Energie ist. Daher ist die Gesamtenergie $E=E_{kin}+E_{pot}=\frac{|E_{pot}|}2-|E_{pot}|=-\frac{|E_{pot}|}2=\frac{E_{pot}}2=-\frac 12 \frac 1{4\pi \epsilon _0}\frac{e^2}{r}$.

Daraus gewinnt durch Einsetzen von \(r_n\) die Energie der n-ten Bahn:

$E_n = -\frac 12 \frac 1{4\pi \epsilon _0}\frac{e^2}{r_n}= -\frac 12 \frac 1{4\pi \epsilon _0}\frac{e^2}{4\pi \epsilon _0\frac{n^2\hbar^2}{me^2}}= -\frac 12 \frac {m e^4}{(4\pi \epsilon _0 \hbar)^2}\frac{1}{n^2}$. Die Konstanten fasst man als Rydberg-Konstante zusammen: \(R_{\infty}=-13,6 \text{ eV}\).

Für \(n =1\) erhält man die Energie des Grundzustandes bzw. die Inonisierungsenergie das H-Atoms: $E_1=-13,6\text{ eV}$.
Die Energie einer Spektrallinie erhält man als Differenz der Energien zweier Bahnen, z.B.für \(n=2\) nach \(n = 3\) durch $E_{2\rightarrow3}=-13,6\text{ eV}\left(\frac 1{2^2}-\frac 1{3^2}\right)=-1,89\text{ eV}$.

Die Bahnenergien sind negativ und nehmen mit \(\frac 1{n^2}\) zu. Sie rutschen daher mit zunehmendem \(n\) immer dichter zusammen und konvergieren gegen null.

Erfolge des Modells

Energien und Spektrallinien des Wasserstoffatoms

Mit seinen Annahmen erklärt Bohr erstmals das Wasserstoff-Spektrum. Er erklärte mit seinem Atommodell auch, warum die Elemente diskrete Spektrallinien zeigen, nämlich weil die Elektronen bestimmte Energie brauchen, um die Flugbahn zu wechseln.

Diskussion

Über diesen Erfolg wird gern vergessen, dass das Bohrsche Modell viele falsche Vorhersagen macht. Und eigentlich nichts erklärte, sondern postulierte. Denn folgende Fragen beantwortet sein Model nicht: Warum sind nur ganz bestimmte Flugbahnen stabil? Warum stürzen die kreisenden Elektronen auf ihnen nicht in den Kern? Warum strahlen sie auf ihnen nicht, wie sie es als beschleunigte Ladungen nach der klassischen Elektrodynamik tun müssten und geben dadurch Energie ab?

Schnell erwies sich dieses frühe Atommodell als unzureichend. So versagte es bereits beim Wert des Bahndrehimpulses des elektronischen Grundzustandes des Wasserstoffs. Das Bohrsche Atommodell sagt \(L = 1 \hbar\) vorher und spricht von einer Kreisbahn. Die quantenmechanische Betrachtung des H-Atoms liefert jedoch \(L=0\). Das ist mit einer Kreisbahn um den Atomkern unvereinbar. Wenn man die quantenmechanischen Ergebnisse in eine klassische Bahnvorstellung presst, so entspricht dies einer Hin- und Herbewegung durch den Atomkern [1]. Auch beim Spektrum von Helium und bei der Beschreibung verschiedener spektroskopischer Beobachtungen, wie z.B. des anomalen Zeeman-Effekts oder der Feinstruktur versagt das Bohrsche Atommodell.

Das Bohrsche Atommodell ist inzwischen 100 Jahre alt und davon seit etwa 80 Jahren überholt. Wir wissen es längst -nämlich seit 80 Jahren- besser. Weil es aber so hübsch anschaulich ist, hält es sich als unzureichendes Modell hartnäckig in den Köpfen.


  1. Randy Harris, Moderne Physik, Pearson Deutschland GmbH, München (2013)