Bohrsches Magneton

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Das magnetische Moment eines Elektrons

In einer einfachen klassischen Betrachtung kreist das Elektron mit der Geschwindigkeit v auf einer Kreisbahn mit dem Radius r um den Atomkern. Der Betrag seines Bahndrehimpulses ist dann L = rp = rme v, worin p bzw. me der Impuls bzw. die Masse des Elektrons sind. Der Elektronenspin bleibt unberücksichtigt. Wir berechnen nur das durch den Bahndrehimpuls L verursachte magnetische Moment μ, das man präziser auch Bahnmoment nennen kann:

Es ist allgemein durch μ = IA gegeben, worin I die elektrische Stromstärke und A die vom Strom eingeschlossene Fläche ist. Aus den vorhandenen Angaben können wir beides berechnen: $I=\frac q t=\frac{-e}{(2\pi r)/v}=\frac{-e v}{2\pi r}$ und $A= \pi r^2$. Damit wird $\mu=\frac{-e v}{2} r$. Einsetzen von $\frac {L}{m_e}=r v$ ergibt das gesuchte magnetische Bahnmoment $\mu_{Bahn}=\frac{-e}{2 m_e} L$.

Der Bahndrehimpuls eines Elektrons kann variieren. Ein Elektron trägt neben den Bahndrehimpuls jedoch auch einen unveränderlichen Spin s = 1/2ħ. Auch dieser erzeugt ein magnetisches Moment, das Spinmoment. Für ein Elektron ist das Spinmoment nahezu genaus so groß wie sein Bahnmoment für L = 1ħ, obwohl der Spin(drehimpuls) nur halb so groß ist. Sein Spinmoment ist $\mu_{Spin}=-g\frac{e}{2 m_e} s$. Der g-Faktor g = 2,0023 lässt sich im Rahmen der Quantenelektrodynamik erklären. Beim normalen Zeeman-Effekt sind die Bahnmomente der Elektronen messbar, durch Elektronenspinresonanz kann man die Spinmomente bestimmen.

Gyromagnetisches Verhältnis

Den Faktor $\gamma=\frac{|\mu|}{|L|}$, der das Verhältnis der Beträge von einem magnetischem Moment zum zugehörigen Drehimpuls angibt, nennt man gyromagnetisches Verhältnis. Für das Bahnmoment eines Elektrons ist $\gamma_{Bahn}=\frac{e}{2 m_e}$. Damit ist das magnetische Bahnmoment eines Elektrons $\vec \mu_{Bahn}=-\gamma_{Bahn} \vec L$.

Bohrsches Magneton

Wenn man für den Bahndrehimpuls den festen Wert $L = 1 \hbar$ annimmt, hat das zugehörige magnetische Moment den konstanten Betrag $\mu_B=\frac{e \hbar}{2 m_e}=9,274015\cdot 10^{−24} \text{J/T}$. Er wird Bohrsches Magneton genannt. Damit ist das magnetische Bahnmoment eines Elektrons $\mu=-\frac{\mu_B}{\hbar} L$.