Coulomb-Kraft

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Die Coulomb-Kraft

Kontext

Zwischen elektrisch geladenen Objekten wirkt eine Kraft, die man Coulomb-Kraft nennt. Die Formel, die die Kraft beschreibt, nennt man auch Coulomb'sches Gesetz. Die Kraft bewirkt z.B., dass frisch gewaschene trockene Haare nach dem Kämmen "zu Berge stehen", weil sie durch die Reibung mit dem Kamm statisch aufgeladen werden und sich abstoßen. Sie ist aber auch dafür verantwortlich, dass wir und unsere Umwelt überhaupt existieren, denn sie hält die unterschiedlich geladenen Bausteine der Atome und Moleküle (Elektronen und Protonen) zusammen. Bei gleichnamigen Ladungen ist die Coulomb-Kraft abstoßend, bei ungleichnamigen Ladungen ist sie anziehend.
Abstoßung statisch aufgeladener Haare.

Stärke und Richtung

Untersuchung der Coulomb-Kraft mit einem GeoGebra-Applet

Untersuche die Coulomb-Kraft mit einem GeoGebra-AppletLink zum Applet: Es zeigt zwei punktförmige Objekte mit den Ladungen \(Q_1\) und \(Q_2\). Verschiebe sie mit der Maus und verändere ihre Ladung mit den Schiebereglern. Der grüne Pfeil symbolisiert die Coulomb-Kraft \(\vec F_2\), die \(Q_1\) auf \(Q_2\) ausübt. Er zeigt die Richtung und die relative Größe der Kraft. Wird er zu kurz oder zu lang, kann er mit dem Zoom-Regler in der unteren linken Ecke skaliert werden. Dort kann auch der Abstand der Ladungen \(r_{12}\) und der Zahlenwert der Coulomb-Kraft \(\vec F_2\) abgelesen werden. Ein Klick auf das Reset-Zeichen Reset stellt die Anfangswerte wieder ein. Mit dem Scrollrad der Maus kannst man in das Applet hinein oder heraus zoomen.

Aufgabe: Finde selbst heraus, wie Betrag und Richtung der Coulomb-Kraft von den Orten, dem Abstand und dem Zahlenwert der Ladungen abhängt:
Beschreibe, wie die Richtung der Coulomb-Kraft mit den Orten der Ladungen zusammenhängt!

Der Kraftvektor liegt immer auf der Geraden, die durch die Orte beider Ladungen geht.

Beschreibe, wie die Richtung der Coulomb-Kraft mit den Vorzeichen der Ladungen zusammenhängt!

Sind die Ladungen gleichnamig, zeigt der Pfeil weg von \(Q_1\), d.h. \(Q_2\) wird abgestoßen. Andernfalls zeigt er in die Richtung von \(Q_1\), d. h. \(Q_2\) wird angezogen.

Beschreibe, wie der Zahlenwert der Coulomb-Kraft mit den Zahlenwerten der Ladungen zusammenhängt!

Sind die Ladungen gleichnamig, ist der Zahlenwert positiv, andernfalls negativ. Verdoppelt man eine Ladung, verdoppelt sich auch der Zahlenwert. Also muss \(F_2\) vom Produkt der Ladungen \(Q_1 \cdot Q_2\) abhängen.

Beschreibe, wie der Betrag des Zahlenwertes der Coulomb-Kraft mit dem Abstand der Ladungen zusammenhängt!

Der Betrag nimmt schnell ab, wenn der Abstand größer wird, und wird unendlich, wenn der Abstand null wird. Er muss also reziprok vom Abstand abhängen. Und er schrumpft um den Faktor 1/4, wenn man den Abstand verdoppelt. Daher hängt der Betrag \(F_2\) quadratisch vom reziproken Abstand ab: Er nimmt mit \(F_2 \propto \frac {1}{r_{12}^2}\) ab.

Selbsttest

Kontrollfragen

Wie hängt der Abstandsvektor \(\vec {r}_{12}\), der von \( Q_{1}\) nach \( Q_{2} \) zeigt, mit den Ortsvektoren \(\vec {r}_{q1}\) und \(\vec {r}_{q2}\) der einzelnen Ladungen zusammen? (Antwort zeigen/verbergen)

Aus dem Applet kann man ablesen, dass \(\vec {r}_{q2}=\vec {r}_{q1}+\vec {r}_{12}\) ist. Daher ist \(\vec {r}_{12} \) die Differenz von beiden Vektoren, und zwar \(\vec {r}_{12}=\vec {r}_{q2}-\vec {r}_{q1}\).

Welche Bedeutung hat der kleine rote Pfeil mit der Beschriftung \(\vec {e}_{r}\)? (Antwort zeigen/verbergen)

Es ist der Einheitsvektor von \(\vec {r}_{12}\): \(\vec {e}_{r}=\frac{\vec {r}_{12}}{{r}_{12}}\).

Versuche, die gefundenen Zusammenhänge durch eine mathematische Formel auszudrücken! Wie könnte sie lauten? (Antwort zeigen/verbergen)

\( \vec {F}_{2}\propto \frac {Q_1 \cdot Q_2}{r_{12}^{2}}\vec {e}_{r}\) oder \( \vec {F}_{2}=k \cdot \frac {Q_1 \cdot Q_2}{r_{12}^{2}}\vec {e}_{r}\) mit einer noch unbekannten Konstante \(k\).

Bisher haben wir nur die Kraft auf \(Q_2\) betrachtet. Was kannst Du über die Kraft auf \(Q_1\) sagen? Wende Actio=Reactio an. (Antwort zeigen/verbergen)

Beide Ladungen üben gleich starke, aber entgegengesetzt gerichtete Kräfte aufeinander aus. Das muss nach Actio=Reactio immer so sein, egal, ob die Ladungen gleich oder unterschiedlich sind. Die Kraft \(\vec {F}_{1}\)auf \(Q_1\) ist stets entgegengesetzt gleich zur Kraft \(\vec {F}_{2}\) auf \(Q_2\): \(\vec {F}_{1} =-\vec {F}_{2}\).

Multiple Choice

Mathematische Formulierung

Das Coulomb'sche Gesetz lautet: \( \vec {F}_{2}=\frac {1} {4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac {Q_1 \cdot Q_2}{r_{12}^{2}}\cdot\frac{\vec {r}_{12}}{{r}_{12}}\)

Darin ist \(\vec {F}_{2}\) die Kraft, die auf die Ladung \(Q_2\) ausgeübt wird.

\(Q_1\) und \(Q_2\) sind die Zahlenwerte der beiden Ladungen.

\(\vec {r}_{12}=\vec {r}_{q2}-\vec {r}_{q1}\) zeigt von der Ladung \(Q_1\) auf die Ladung \(Q_2\). \(\vec {r}_{q1}\) und \(\vec {r}_{q2}\) sind die Ortsvektoren beider Ladungen, d. h. es sind die Vektoren, die vom Koordinatenurprung auf die jeweilige Ladung zeigen.

\(\varepsilon_0\) ist die Dielektrizitätskonstante des Vakuums und der Vorfaktor hat in SI-Einheiten den konstanten Wert \(k=\frac {1} {4 \pi \varepsilon_0}=9 \times 10^9~ {\text N \frac {\text m^2}{\text C^2}}\).