Differentiale

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Was sind Differentiale?

Differentiale sind sehr, sehr kleine "Häppchen" einer physikalischen Größe. Diese winzigen - ja sogar unendlich kleinen "Häppchen" kennzeichnet man durch durch ein "d" und nennt sie Differentiale. Sie sind winzig, aber nicht null!

Wie werden Differentiale verwendet?

Die fundamentale Frage der Physik ist: Was sind aussagekräftige physikalische Größen und wie hängen sie zusammen? Sehr häufig kann man die Frage nach dem Zusammenhang nicht mit einer einfachen Formel beantworten, sondern "es hängt davon ab". Wir nehmen ein konkretes Beispiel: Wir lassen eine Kraft \(F\) für eine gewisse Zeit \(t\) auf eine Objekt der Masse \(m\) einwirken. Wie wird sich der Impuls \(p= m v\), d.h. das Produkt aus der Masse \(m\) und der Geschwindigkeit \(v\) des Objektes mit der Zeit ändern? Oder noch anders gefragt: Wie hängt der Impuls \(p\) von der Kraft \(F\) ab? Die Antwort kann nicht in eine einzige einfache Formel gepresst werden sondern hängt von der Art der einwirkenden Kraft ab. Um solche Zusammenhänge zu beschreiben, betrachtet man sehr, sehr kleine "Häppchen" des Parameters (hier \(t\)), und geht davon aus, dass diese dann auch nur zu sehr, sehr kleinen Änderungen der gefragten physikalischen Größe (hier \(p\)) führen. Diese winzigen - ja sogar unendlich kleinen "Häppchen" kennzeichnet man durch durch ein "d" und nennt sie Differentiale, hier also \(dt\) und \(dp\). Nun geht man davon aus, dass für so winzige Parameteränderungen \(dt\) die Änderung der gesuchten Größe $dp$ einfach multiplikativ mit der Parameteränderung skaliert: \(dp = F dt\) oder nach Division durch \(dt\): \(F = dp/dt\). Der Ausdruck \(dp/dt\) ist die Ableitung des Impulses nach der Zeit \(t\) und der Zusammenhang zwischen Kraft und Impuls ist differentiell.

Differentielle Zusammenhänge

Der differentielle Zusammenhang ist einer der häufigsten in der Physik und führt auf Ableitungen, Integrale und Differentialgleichungen, die etwas ganz anderes sind als einfache "Formeln". Um solche Zusammenhänge mathematisch zu behandeln, benötigt man Kenntnisse in Differential- und Integralrechnung.

In allgemeinster Form lautet er: \(dA=B \cdot dC\), worin \(A, B, C\) unterschiedliche physikalische Größen sind. Es bedeutet: \(B=\frac{dA}{dC}\): \(B\) ist die Ableitung von \(A\) nach \(C\) und \(A=\int B \cdot dC\): \(A\) ist das Integral von \(B\) über \(C\).

Beispiel: Kennt man z.B. den Impuls \(p(t)\), so gewinnt man daraus die Kraft \(F\) durch Ableiten von \(p(t)\): \(F=\frac{dp} {dt}\). Kennt man dagegen die Kraft \(F\) und ihre Einwirkdauer \(t\), gewinnt man den Impuls durch Integration der Kraft von 0 bis t: \(p(T)=\int_0^T F(t) dt\).

Die Physik "lebt" von differentiellen Zusammenhängen. Ein Verständnis dieser Art des Zusammenhangs ist deshalb ein unverzichtbarer Basisbaustein für ein Verständnis der Physik. Dieser Zusammenhang ist etwas anders als +,-, × , /. Doch genau wie für Summe und Produkt gibt es für Ableitung und Integral sehr anschauliche Interpretationen:

Ableiten Integrieren
Die Ableitung einer Größe entspricht der Änderung der Größe. Das Integral bemisst die Ansammlung (Summe) einer Größe.
Die Ableitung entspricht der Steigung der Kurve. Das Integral entspricht der Fläche, die die Kurve mit der x-Achse einschließt.
Die Ableitung entspricht der Steigung der Kurve, wenn man Δx unendlich klein macht. (©Elke Heinecke)
Das Integral entspricht der Fläche, die die Kurve mit der x-Achse einschließt, wenn man Δx unendlich klein macht. (©Elke Heinecke)