Drehimpuls

Aus PhysKi
Wechseln zu: Navigation, Suche

Was ist ein Drehimpuls?

Eine Scheibe, die um ihren Mittelpunkt rotiert.

Der Drehimpuls $\vec L$ eines Objektes ist neben dem Impuls $\vec p$ und der Energie E die dritte wichtige Erhaltungsgröße der Physik. Er gibt an, wie sich das Objekt relativ zu einem Bezugspunkt Q bewegt. Betrachten wir als erstes Beispiel eine rotierende Scheibe, deren Schwerpunkt bzw. Mittelpunkt ruht. Der Impuls der Scheibe ist null, weil sie als ganzes ihren Ort nicht ändert. Dennoch bewegt sie sich, denn sie rotiert ja. Diese Bewegung wird über den Drehimpuls erfasst.

Dazu betrachtet man die Bewegung der einzelnen Massenpunkte der Scheibe relativ zu einem gegebenen Bezugspunkt, z. B. dem Mittelpunkt der Scheibe. Jeder einzelne Massenpunkt dmi hat einen individuellen Impuls $\vec p_i=m_i\vec v_i$. Die Summe aller Impulse ergibt den Impuls der Scheibe: $\vec p^{\text{Scheibe}}=\sum _i m_i\vec v_i=0$. Jeder Massenpunkt hat auch einen individuellen Drehimpuls $\vec L_i$ bezogen auf den Mittelpunkt der Scheibe. Der Drehimpuls der Scheibe ergibt sich analog durch die Summe der individuellen Drehimpulse $\vec L^{\text{Scheibe}}=\sum _i \vec L_i \ne 0$. Anders als der Impuls der Scheibe ist ihr Drehimpuls nicht null, vom gewählten Bezugspunkt abhängig und daher keine "innere" Eigenschaft der Scheibe.

Definition des Drehimpulses

Der Drehimpuls $\vec L$ eines Objektes ist als Vektorprodukt (Kreuzprodukt) des Ortsvektors $\vec r$ von einem Bezugspunkt zum Objekt mit dem Impuls $\vec p$ des Objektes definiert:
Drehimpuls $\vec L=\vec r\times \vec p$

Er hat damit alle Eigenschaften, die durch ein Vektorprodukt festlegt sind:

  • Das Ergebnis ist ein Vektor $\vec L$ mit dem Betrag L = rp sin θ. Zur Berechnung von L ist es egal, ob man den spitzen Winkel θ oder den stumpfen Winkel θ' zwischen beiden Vektoren wählt, denn beide Winkel ergeben den gleichen Wert der Sinusfunktion. L ist maximal und hat den Betrag rp, wenn $\vec r$ und $\vec p$ senkrecht aufeinander stehen. L ist null, wenn $\vec r$ und $\vec p$ parallel zuein­ander sind.
  • Die Richtung von $\vec L$ ergbit sich durch die Rechte-Hand-Regel und steht senkrecht auf $\vec r$ und $\vec p$.
Abb. 1 θ und θ' haben den gleichen Sinus

Abhängigkeit des Drehimpulses vom Bezugspunkt

Wir betrachten als Beispiel einen Körper, z. B. eine kleine Kugel mit konstantem Impuls $\vec p$ auf einer geraden Bahn (Abb.2) und nähern sie als Massenpunkt. Der Drehimpuls der Kugel bezogen auf den Punkt Q ist $L_Q= r_Q p \sin \theta$ und zeigt senkrecht in die Zeichenebene hinein. Der Term $r_{Q\perp}=r \sin \theta$ gibt den senkrechten Abstand der Bahn vom Punkt Q an. Dieser Abstand ändert sich nicht, wenn sich die Kugel auf der Bahn weiterbewegt, obwohl sich $\vec r_Q$ und θ ändern. Daher ist der Drehimpuls der Kugel entlang der geraden Bahn konstant.
Abb. 2 Drehimpuls bezogen auf Q
Wählt man dagegen wie in Abb.3 andere Bezugspunkte, z. B. den Punkt A, bekommt der Drehimpuls einen anderen Betrag LA und steht senkrecht auf der Zeichenebene. Wählt man den Punkt B, ist der Betrag des Drehimpulses LB sogar null. In beiden Fällen ist $\vec L$ entlang der Bahn konstant.

Fazit: Die Angabe eines Drehimpulses macht nur Sinn, wenn man den zugehörigen Bezugs­punkt deutlich macht.

Abb. 3 Drehimpuls bezogen auf A und B

Drehimpuls eines Körpers

Objekt auf einer Kreisbahn

Bisher haben wir den Drehimpuls eines Massenpunktes betrachtet. Nun bestimmen wir den Drehimpuls eines ausgedehneten Körpers. Dazu betrachten wir zuerst den Drehimpuls einer Punktmasse auf einer Kreisbahn.

  • Bezogen auf den Mittelpunkt C ist $L=r_{C\perp}p=r_{C\perp}m v=\text{konst.}$.
  • Bezogen auf einen beliebigen anderen Punkt Q ist $L=r_{Q\perp}p=r_{Q\perp}m v\neq \text{konst.}$. Passiert der Körper Punkt Q, ist L=0, während L für den gezeigten Moment ≠ 0 ist.

Den Drehimpuls eines ruhenden rotierenden Körpers, wie z. B. der Scheibe in Abb.1, erhalten wir, indem wir die Drehimpulse aller Massenpunkte der Scheibe summieren (genauer müssten wir eigentlich integrieren). Dann ergibt sich mit $p_i=m_i v_i=m_i \omega r_{\perp,i}$:

  • Für Punkt C: $L_C=\sum _ir_{C\perp,i}p_i=\sum _i\,r_{C\perp,i}m_i\,\omega r_{C\perp,i}=\sum _i m_i \,r^2_{C\perp,i}\,\omega =J_C\omega =\mathit{konst.}$

Darin ist JC das Trägheitsmoment der Scheibe bezogen auf die Drehachse c. Für Punkt Q ergibt die Summe überraschenderweise durch eine etwas umständliche Rechnung (siehe z. B. Wikipedia) ebenfalls

  • Für Punkt Q: $L_Q=\sum _ir_{Q\perp,i}p_i=\sum _i r_{C\perp,i} p_i=J_C\omega =\mathit{konst.}$, wenn C ruht!

Das liegt daran, dass der Punkt C mit dem Schwerpunkt S der Scheibe identisch ist und man den Drehimpuls stets in zwei Anteile aufsplitten kann, die man Spin und Bahndrehimpuls nennt. Das Ergebnis kann man folgendermaßen allgemeingültig ausdrücken:

Spin und Bahndrehimpuls

Der Drehimpuls LQ eines Körpers bezogen auf einen beliebigen Punkt Q ist die Summe aus dem Spin des Körpers LSpin (seine Rotatiom um den Schwerpunkt S) und dem Bahndrehimpuls LBahn, Q um Q (wie sich S relativ zu Q bewegt). Der Spin LSpin um den Schwerpunkt ist eine intrinsische Größe (Eigendrehimpuls) und unabhängig vom Bezugspunkt. Der Bahndrehimpuls LBahn, Q beinhaltet die Bewegung des Schwerpunktes gegen den Bezugspunkt und ist null, wenn sich der Schwerpunkt nicht bewegt.

Beispiel: Die Bewegung der Erde um die Sonne enthält den Spin der Erde (die tägliche Drehung um ihre eigene Achse) und den Bahndrehimpuls (Bewegung des Erdmittelpunktes um die Sonne, Keplerbahn).

Kontrollfrage

Bewerte die Bewegung des Mondes um die Erde bezogen auf den Erdmittelpunkt: Hat der Mond einen Spin oder nur einen Bahndrehimpuls? (Antwort zeigen/verbergen)

Der Mond hat Spin und Bahndrehimpuls. Er zeigt der Erde immer die gleiche Seite. Das bedeutet, er dreht pro Monat (das heißt im Laufe einer kompletten Kreisbahn) einmal um sich selbst und hat somit einen Spin!

Der Drehimpulssatz

Kräfte ändern Impulse.
Arbeit ändert Energie.
Welche physikalische Größe ändert den Drehimpuls?

Eine kurze Rechnung liefert die Antwort: $\frac{d\vec L}{dt}=\dot{\vec r}\times \vec p+\vec r\times \dot{\vec p}=\underset{\text{= 0, denn }\vec v\text{||}\vec p}{\underbrace{\vec v\times \vec p}}+\vec r\times \dot{\vec p}=\vec r\times \frac{d\vec p}{dt} =\underset{\mathit{Drehmoment}}{\vec r\times \vec F}$

Sie lautet: Drehmomente ändern den Drehimpuls.

Definition des Drehmomentes

Die Größe auf der rechten Seite der Gleichung nennt man Drehmoment $\vec M$:

Drehmoment $\vec M = \vec r \times \vec F$

Das Drehmoment ist formal(d.h. mathematisch) wie der Drehimpuls als Kreuzprodukt definiert. Daher hat es mathematisch auch die gleichen Eigenschaften (weitere Details siehe Drehmoment). Mit seiner Hilfe formuliert man den

Drehimpulssatz: $\vec M=\frac{d\vec L}{dt}$

Er besagt: Nur Dremomente ändern Drehimpulse! Er ergibt sich aus dem 2. Newtonschen Axiom $\vec F=\frac{d\vec p}{dt}$, indem man links $\vec r \times$ dazu multipliziert: $\vec r\times \vec F=\vec r\times \frac{d\vec p}{dt}$. Der Vergleich mit dem Bewegungsgesetz verdeutlich:

  • Kräfte ändern Impulse und zwar unabhängig davon, ob sie gleichzeitig auch ein Drehmoment erzeugen!
  • Drehmomente ändern Drehimpulse! Eine Kraft kann nur dann einen Drehimpuls ändern, wenn sie gleichzeitig auch ein Drehmoment erzeugt!

Diese Aussage wird verdeutlich im Kapitel Schwerpunktsatz.

Der Drehimpulssatz zeigt: Drehmoment und Drehimpulsänderung zeigen immer in die gleiche Richtung! Das bedeutet: Ein Drehmoment kann nur die Komponente eines Drehimpulses ändern, die parallel zum Drehmoment ist.

Beispiel: Um einen vertikalen Drehimpuls zu ändern, ist auch ein vertikales Drehmoment erforderlich. Ein horizontales Drehmoment ändert die vertikale Komponente des Drehimpulses nicht. Die Antriebswelle eines Autos überträgt ein horizontales Drehmoment auf die Vorderräder eines Autos. Dadurch beginnen sich die Räder zu drehen und das Auto fährt. Der Drehimpuls der Räder ist horizontal gerichtet. Die Lenkung erzeugt dagegen ein vertikales Drehmoment auf die Räder und sie schlagen ein. Das Einschlagen der Räder ist eine Drehung um die vertikale Radachse. Die Lenkung beeinflusst die Vorwärtsbewegung der Räder nicht.

Ableitung von Zusammenhängen der Drehbewegung aus Zusammenhängen bei der Translationsbewegung

Mit folgender Ersetzungstabelle kann man Zusamenhänge der Translationsbewegung in Zusammenhänge der Drehbewegung "übersetzen":

Translation Rotation
Ort x Winkel φ
Geschwindigkeit $\vec v$ Winkelgeschwindigkeit $\vec \omega$
Beschleunigung $\vec a$ Winkelbeschleunigung $\vec \alpha$
Masse m Trägheitsmoment J
Impuls $\vec p$ Drehimpuls $\vec L$
Kraft $\vec F$ Drehmoment $\vec M$

Beispiele: Bewegungsgesetz $\vec F=m\vec a\ \Rightarrow \ \vec M=J\vec{\alpha }$, Leistung $P=\int \vec F\cdot d\vec v\ \Rightarrow \ P=\int\vec M\cdot d\vec{\omega }$

Experimente zum Drehimpulssatz

Ein rotierendes Rad wird hochgeschwenkt
Das Trägheitsmoment wird geändert

Zwei häufig gezeigte Experimente demonstrieren eindrucksvoll den Drehimpulssatz. Sie zeigen, dass der Drehimpuls erhalten bleibt, solange keine Drehmomente wirken. Im ersten Experiment sitzt eine Person auf einem Drehstuhl und bekommt von einem Helfer ein schnell rotierendes Rad (z. B. von einem Fahrrad) übergeben. Damit erhält das System aus Person, Rad und Drehstuhl einen Drehimpuls, der horizontal gerichtet ist. Wenn die Person auf dem Drehstuhl das Rad nun hochschwenkt, beginnt sie selbst sich samt Drehstuhl entgegengesetzt zum Rad zu drehen. Durch das Schwenken des Rades erzeugt die Person ein horizontal gerichtetes Drehmoment. Dies kann den vertikalen Drehimpuls nicht ändern. Das geschwenkte Rad erzeugt einen vertikalen Drehimpuls nach oben. Da der vertikale Drehimpuls insgesamt null bleiben muss, erhält der Rest des Systems einen vertikalen Drehimpuls nach unten, der den Drehimpuls des Rades nach oben kompensiert.

Im zweiten Experiment sitzt eine Person auf einem Drehstuhl und hält zwei Hanteln mit ausgestreckten Armen. Sie wird von einem Helfer in Drehung versetzt und erhält einen Drehimpuls nach oben. Wenn sie nun die Arme mit den Hanteln an den Körper anzieht, rotiert sie deutlich schneller, die Winkelgeschwindigkeit nimmt zu. Durch das Anziehen der Arme erzeugt sie kein Drehmoment, daher muss ihr Drehimpuls konstant bleiben. Gleichzeitig verringert sie durch das Anziehen ihr Trägheitsmoment. Damit der Drehimpuls trotzdem konstant bleiben kann, muss die Winkelgeschwindigkeit zunehmen.