Drehimpuls in der Quantenmechanik

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Klassischer und quantenmechanischer Drehimpuls

In der Quantenmechanik ist der Drehimpuls analog zum klassischen Drehimpuls definiert und kann wie dieser in einen Bahndrehimpuls und einen Spin unterschieden werden.

  • Der Bahndrehimpuls beschreibt in der anschaulichen klassischen Modellvorstellung die Bewegung eines Teilchens auf einer Bahn relativ zu einem festen Bezugspunkt.
  • Der Spin beschreibt in der anschaulichen klassischen Modellvorstellung die Rotation eines Teilchens um eine Achse durch seinen Schwerpunkt.
  • Der Gesamtdrehimpuls ist die vektorielle Summe von Bahndrehimpuls und Spin.

Sowohl klassisch als auch quantenmechanisch ist der Drehimpuls eine vektorielle Größe, trägt also einen Betrag und eine Richtung.

Diese klassischen Modellvorstellungen können in der Quantenmechanik hilfreich sein und ein qualitatives Verständnis diverser Phänomene wie z. B. des magnetischen Momentes eines Elektrons oder des Zeeman-Effektes ermöglichen. Auf der anderen Seite sind sie aber mit den grundlegenden Eigenschaften quantenmechanischer Teilchen inkompatibel.

Konflikt der klassischen Modellvorstellung mit quantenmechanischen Eigenschaften

Der Begriff "Bahn" ist in der Quantenmechanik bedeutungslos, als einzige "Ortsangabe" verbleibt das Betragsquadrat der Wellenfunktion. Dieses entspricht einem dreidimesionalen Gebilde (Orbital), in dem wir jedem Punkt im Raum eine Wahrscheinlichkeit zuordnen können, das Teilchen dort zu finden. Die Gestalten der Orbitale, z. B. der Orbitale des Wasserstoff-Atoms sind nicht durch bestimmte Bahnen erklärbar. Diese Fehlvorstellung - die Formen der Orbitale durch komplizierte rosetten- oder achtförmige Elektronenbahnen zu erklären - wird leider durch populärwissenschaftliche Darstellungen von Atomen mit darum verteilten kreisenden Elektronen gefördert.

Noch größer wird der Konflikt zwischen klassischer Vorstellung und quantenmechanischen Eigenschaften beim Spin. Elektronen sind faszinierende Objekte und bergen immer noch Geheimnisse. Wenn man sich das Elektron als kleine massive rotierende Kugel vorstellt, erhält man das unsinnige Ergebnis, dass sich jeder Punkt seiner Oberfläche sich mit vielfacher Lichtgeschwindigkeit bewegen müsste. Auch die Ruheenergie des Elektrons müsste um viele Größenordnungen größer sein.

Als weiterer entscheidender Unterschied zur klassischen Modellvorstellung kann ein quantenmechanischer Drehimpuls nicht beliebige Werte annehmen. Tatsächlich ist es so, dass alle quantenmechanische Drehimpulse - egal welches Teilchen oder System man betrachtet! - nur ganz bestimmte Beträge und ganz bestimmte Richtungen einnehmen können: Quantenmechanische Drehimpulse beinhalten eine Betrags- und eine Richtungsquantelung!

Außerdem ist ein quantenmechanischer Drehimpuls im Gegensatz zum klassischen Drehimpuls nicht vollständig bestimmbar: Man kann nur seinen Betrag und eine seiner Komponenten bestimmen. Zwei seiner Komponenten und damit seine exakte Lage im Raum bleiben stets unbestimmt.

Quantenmechanische Interpretation

In der klassischen Physik beschreibt der Drehimpuls eine Bewegung. In der Quantenmechanik beschreibt er dagegen eine Symmetrie, und zwar die Rotationssymmetrie eines Objektes, bzw. genauer: seiner Wellenfunktion. Die eines Teilchens ohne Drehimpuls sieht aus jeder Richtung gleich aus. Wir können sie aus einer festen Richtung betrachtet beliebig verdrehen, ohne das sich ihr Aussehen ändert. Sie hat die Symmetrie eines Punktes bzw. einer Kugel. Die Wellenfunktion eines Objektes mit der Drehimpulsquantenzahl 1 hat die Symmetrie eines Pfeils: Wenn wir sie um eine Achse senkrecht zum Pfeil drehen, sieht sie erst nach einer vollständigen Drehung um 360° wieder gleich aus. Wenn wir sie um eine Achse längs durch den Pfeil drehen, sieht sie aus jeder Richtung gleich aus. Die Wellenfunktion eines Teilchen mit der Drehimpulsquantenzahl 2 hat die Symmetrie eines Doppelpfeiles. Wenn wir sie um 180° um eine Achse senkrecht zum Pfeil drehen, sieht sie wieder gleich aus. Je höher die Drehimpulsquantenzahl, umso kleiner wird der Winkel, nach dem sie wieder gleich aussieht.[1]. Die Symmetrien sind durch die Kugelflächenfunktionen gegeben.

Diese Interpretation macht umso deutlicher, dass der Spin kein klassisches Analogon haben kann. Denn die Spinquantenzahl eines Teilchens kann auch den Wert 1/2 annehmen. In der Symmetrieinterpretation bedeutet das: Wir müssen die Wellenfunktion des Teilchen zweimal um 360° drehen, damit sie wieder gleich aussieht. Klassisch ist das nicht vorstellbar.

Kontrollfragen:

Fasse die wesentlichen Eigenschaften eines quantenmechanischen Drehimpulses zusammen! (Antwort zeigen)

In der Quantenphysik ist der Drehimpuls ein gequantelter Vektor. Sein Betrag und seine Richtung können nur bestimmte Werte annehmen. Außerdem läßt er sich nicht vollständig bestimmen, nur Betrag und eine Komponente sind messbar. Statt mit der Bahnbewegung eines Teilchens oder der Rotation eines Körpers ist er mit der Symmetrie der Wellenfunktion verbunden.

Lsymmetrie.jpg
Welche der rechts gezeigten dreidimensionalen Wellenfunktionen können zu einem Drehimpuls mit der Quantenzahl 1 gehören? (Antwort zeigen)

Nur B, denn B hat die gleiche Symmetrie wie ein Vektorpfeil.

Quantisierung des quantenmechanischen Drehimpulses

Betragsquantelung und Drehimpulsquantenzahl

Der Betrag $|\vec L|$ quantenmechanischer Drehimpulse kann nur ganz bestimmte Werte annehmen. Anders als z.B. bei der Elementarladung e sind die möglichen Werte jedoch nicht Vielfache einer minimalen Einheit. Die erlaubten Beträge errechnen sich statt dessen über positive Quantenzahlen k durch $$|\vec L|=\sqrt{k(k+1)}\hbar\qquad\qquad\text{(1).}$$ Die Quantenzahl k nennt man Drehimpulsquantenzahl. In der Quantenphysik ist es üblich, an Stelle des Betrags des Drehimpulses als "Drehimpuls" nur den Wert der Drehimpulsquantenzahl k anzugeben.

Mögliche Werte der Quantenzahl k hängen von der Art des Drehimpulses ab. Das macht man durch die Notation deutlich. Für einzelne Teilchen verwendet man Kleinbuchstaben (s, l, j) für Teilchensysteme, wie z.B. ein Atom, seine Elektronenhülle oder einen Atomkern Großbuchstaben (S, L, J). Üblicherweise bezeichnet man die Drehimpulsquentenzahl nicht mit k, sondern

  • mit s oder S die Quantenzahl eines Spins $\vec s$ oder $\vec S$. Für s und S sind halb- und ganzzahlige Werte möglich ($0,\frac 12,1, \frac 32,2,\frac 52,...)$.
  • mit l oder L die eines Bahndrehimpulses $\vec l$ oder $\vec L$. Für l und L sind nur ganzzahlige Werte möglich (0, 1, 2, ...).
  • mit j oder J die eines Gesamtdrehimpulses $\vec j$ oder $\vec J$, der die Summe aus Spin und Bahndrehimpuls ist. Für j und J sind halb- und ganzzahlige Werte möglich ($0,\frac 12,1,\frac 32,2,\frac 52,...)$.

In allen Fällen sind die erlaubten Beträge durch (1) gegeben.

Beispiel: Wenn man sagt, ein Elektron habe den "Spin 1/2", dann meint man damit tatsächlich, dass die die Spinquantenzahl s= 1/2 ist. Es bedeutet, dass der Betrag des Spins des Elektrons $|\vec S|=\sqrt{s(s+1)}\hbar=\sqrt{\frac 12(\frac 12+1)}\hbar=\sqrt {\frac {3}4} \hbar$ ist.
Wenn man sagt, ein Atom habe den "Drehimpuls 3/2", dann meint man damit tatsächlich, dass die Drehimpulsquantenzahl J= 3/2 ist. Es bedeutet, dass der Betrag des Gesamtdrehimpulses des Atoms $|\vec J|=\sqrt{J(J+1)}\hbar=\sqrt{\frac 32(\frac 32+1)}\hbar=\sqrt {\frac {15}4} \hbar$ ist.

Spin

Auch der Spin hat alle Eigenschaften des quantenmechanischen Drehimpulses. Der Spin eines Elementarteilchens ist eine unveränderliche Eigenschaft des Teilchens und für alle Teilchen einer Sorte gleich. Deshalb dient der Spin zur Unterteilung der Elementarteilchen in Fermionen und Bosonen. Besteht ein Objekt dagegen aus mehreren Teilchen, dann addieren sich die Spins nach bestimmten Regeln und der Spin kann verschiedene Werte haben.

Beispiel: In einem System mit zwei Elektron, die je den "Spin 1/2" haben, kann der gemeinsame Gesamtspin S = 0 (beide Spins stehen antiparallel) oder S = 1 (beide Spins stehen parallel) sein.

Bahndrehimpuls

Der Spin eines einzelnen Teilchens ist ihm von der Natur aufgeprägt. Ganz anders ist es mit seinem Bahndrehimpuls: Er ist veränderbar. Bahndrehimpulse sind stets durch ganzzahlige Quantenzahlen l oder L gegeben. Beisielsweise ist der Bahndrehimpuls des Elektrons im Wasserstoff-Atom vom jeweiligen Orbital abhängig und hängt mit der Hauptquantenzahl n zusammen. Mögliche Werte der Quantenzahl sind l = 0, 1, 2, ..., n-1. Durch Verändern des Oribitals ändert man auch den Bahndrehimpuls. In der Atomphysik verwendet man zusätzlich zu den Quantenzahlen auch eine Buchstabennotation zur Bezeichnung der Orbitale mit einem bestimmten Bahndrehimpuls. Der Bahndrehimpuls ist eine wichtige Erhaltungsgröße der Atomphysik, weil die Coulombkraft eine Zentralkraft ist. Folglich bleibt der Bahndrehimpuls erhalten.

Gesamtdrehimpuls

Der Gesamtdrehimpuls $\vec j$ eines Teilchens oder eines Systems von Teilchen ist die Summe aus Spin und Bahndrehimpuls. Weil auch für den Gesamtdrehimpuls die gleichen Quantisierungsregeln gelten, wie für seine Bestandteile $\vec S$ und $\vec L$, können sich quantenmechanische Drehimpulse nicht beliebig addieren, sondern unterliegen komplizierten Additionsregeln. Diese werden im Kapitel Drehimpulskopplung erklärt.

Richtungsquantelung und Magnetquantenzahl

Nicht nur der Betrag eines quantenmechanischen Drehimpulses ist quantisiert. Seltsamerweise ist auch seine Richtung nicht beliebig. Sobald man ein Experiment durchführt, mit dem die Komponente des Drehimpulses entlang einer vorgegebenen Richtung bestimmen kann, findet man nur ganz bestimmte Werte der Komponente des Drehimpulsvektors. Üblicherweise bezeichnet man die vorgegebene Richtung als die z-Richtung. Es sei wieder k eine beliebige Drehimpulsquantenzahl. Dann sind die z-Komponenten der Drehimpulse durch $$L_z=m\hbar\qquad\text{mit}\qquad m = -k, -k+1, -k+2, ...k-2, k-1,k\qquad\qquad\text{(2)}$$ festgelegt. Die neue Quantenzahl m nennt man passenderweise Richtungsquantenzahl oder Magnetquantenzahl.[2]. Sie kann positive und negative Werte annehmen. Zu einem festen Wert der Drehimpulsquantenzahl k gibt es 2k+1 mögliche Werte für m.

Beispiel: Für einen Bahndrehimpuls mit l = 2 sind m = -2,-1,0,1,2 möglich. Für einen Spin mit s = 1/2 sind m = -1/2, 1/2 möglich. Für einen Gesamtdrehimpuls J = 5/2 sind m =-5/2,-3/2,-1/2,1/2,3/2,5/2 möglich. Für einen Spin S = 1 sind m =-1,0,1 möglich.
Richtungsquantelung für zwei Drehimpulse mit l = 1 und l = 2.
Die Skizze rechts verdeutlicht, wie (2) die Orientierungen festlegt. Der jeweilige Drehimpulsvektor muss irgendwo auf dem gezeichneten Kegel liegen. Wo genau, bleibt unbestimmt, weil nur seine z-Komponente messbar ist.

Dabei ist es egal, wie man die z-Richtung im Raum wählt. Wählt man z. B. die vertikale Richtung als z-Richtung und bestimmt die Vertikalkomponenten der Drehimpulse, dann haben alle einen durch (2) bestimmeten Wert. Wählt man im gleichen Experiment nun die horizontale Richtung als z-Richtung, findet man genau das gleiche Ergebnis: Alle Drehimpulse haben nun plötzlich Horizontalkomponenten entsprechend (2). Man kann das Experiment beliebig verändern: Es ist völlig egal, welche Richtung man wählt: Stets sind alle z-Komponenten des Drehimpulsvektors durch (2) gegeben.

Das ist umso erstaunlicher, weil bei gegebenem Betrag von $\vec l$ die z-Komponente den Winkel zur z-Achse festlegt. Es ist ja $l_z =|\vec l| \cos \theta$. Nehmen wir z.B. einen Drehimpuls mit l = 1, also $|\vec l|=\sqrt{2}~\hbar$ an. Die gemessene z-Komponente $l_z$ sei 0, d.h. der Drehimpulsvektor $\vec l$ steht senkrecht zur gewählten z-Richtung und liegt irgendwo in der xy-Ebene. Also sollte man klassisch erwarten, dass in der xy-Ebene eine Richtung zu finden ist, in der $l_z = \sqrt{2}~\hbar$ ist. Tatsächlich findet man jedoch stets nur die Werte $l_z = 0$ oder $l_z= \pm 1 \hbar$, egal, welche Richtung man wählt.

Dieses skurrile Verhalten läßt sich in diversen Experimenten zeigen. Experimente, die die Richtungsquantelung verdeutlichen, sind z.B. der Zeeman-Effekt, das Stern-Gerlach-Experiment oder die Elektronenspinresonanz.

Kontrollfrage:

Durch wie viele Quantenzahlen wird ein Drehimpuls in der Quantenphysik beschrieben? (Antwort zeigen)

Durch zwei Quantenzahlen: 1. Die Drehimpulsquantenzahl: Sie bestimmt seinen Betrag. 2. Die Magnetquantenzahl: Sie bestimmt seine Orientierung im Raum.

Quantenmechanischer Drehimpulsoperator

in kartesischen Koordinaten

Den Quantenmechanischen Drehimpulsoperator findet man wie jeden Operator aus dem klassischen Ausdruck durch Anwendung der Ersetzungsregeln: $\hat L=\hat{\vec r}\times \hat{\vec p}=-i\hbar \left(\begin{matrix}y\frac{\partial }{\partial z}-z\frac{\partial }{\partial y}\\z\frac{\partial }{\partial x}-x\frac{\partial }{\partial z}\\x\frac{\partial }{\partial y}-y\frac{\partial }{\partial x}\end{matrix}\right)\qquad\qquad\text{(3)}$

In kartesischen Koordinaten ist der Operator übersichtlich und man kann so einfach seine Vertauschungsrelationen bestimmen. Für die "praktische" Anwendung in der Quantenmechanik muss man ihn jedoch in Kugelkoordinaten ausdrücken.

in Kugelkoordinaten

Die Umrechnung von kartesischen in Kugelkoordinaten geschieht durch Ersetzen der Koordinaten x,y,z sowie aller partiellen Ableitungen durch die entsprechenden Ausdrücke in Kugelkoordinaten. Z.B. ist $x= r ~\sin \theta ~\cos \varphi$ und mit Hilfe der Kettenregel $\frac {\partial} {\partial x} =\frac {\partial r} {\partial x} \frac {\partial } {\partial r}+ \frac {\partial \theta} {\partial x} \frac {\partial } {\partial \theta}+ \frac {\partial \varphi} {\partial x} \frac {\partial } {\partial \varphi}$. Für die anderen Koordinaten ergeben sich analoge Beziehungen. Einsetzen in (3) liefert nach einer länglichen Rechnung[3]

$\hat L_x=-i\hbar \left( - \sin \varphi \frac {\partial } {\partial \theta}-\cot\theta\cos\varphi \frac {\partial } {\partial \varphi}\right)\qquad\qquad\text{(4a)}$

$\hat L_y=-i\hbar \left( \cos \varphi \frac {\partial } {\partial \theta}-\cot\theta\sin\varphi \frac {\partial } {\partial \varphi}\right)\qquad\qquad\text{(4b)}$

$\hat L_z=-i\hbar \frac{\partial }{\partial \varphi }\qquad\qquad\text{(4c)}$

Neben $\hat L_z$ wird auch das Quadrat des Drehimpulsoperators häufig benötigt:

$\hat L^2=\hat L_x^2+\hat L_y^2+\hat L_z^2=-\frac{\hbar^2}{\sin^2\theta} \left[\sin \theta\frac {\partial } {\partial \theta} \left(\sin \theta\frac {\partial } {\partial \theta} \right)+ \frac {\partial^2 } {\partial \varphi^2}\right]\qquad\qquad\text{(5)}$

Zusammenhang mit dem Laplace-Operator

Ebenso kann man den Laplace-Operator $\Delta=\vec \nabla^2=\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}$, der die zweifache Anwendung des Nabla-Operators beinhaltet, in Kugelkoordinaten umschreiben. Der Laplace-Operator ist im Operator der kinetischen Energie $\hat T=\frac{p^2}{2m}\ \Rightarrow \ \hat T=-\frac{\hbar ^2}{2m}\left(\frac{\partial ^2}{\partial x^2}+\frac{\partial ^2}{\partial y^2}+\frac{\partial ^2}{\partial z^2}\right)=-\frac{\hbar ^2}{2m}\Delta$ in der dreidimensionalen Schrödinger-Gleichung enthalten. Für ihn ergibt sich der Ausdruck $$\Delta=\frac 1{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\frac{\partial}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2\sin^2\theta} \left[\sin \theta\frac {\partial } {\partial \theta} \left(\sin \theta\frac {\partial } {\partial \theta} \right)+ \frac {\partial^2 } {\partial \varphi^2}\right]\qquad\qquad\text{(6)}.$$

Durch Vergleich von (6) mit (5) sieht man die Identität $$\Delta=\frac 1{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\frac{\partial}{\partial r}\right)-\frac{\hat{\vec L^2}}{r^2\hbar^2}\qquad\qquad\text{(7)}.$$

Den Operator der kinetischen Energie kann man damit folgendermaßen schreiben $$\hat T=-\frac{\hbar ^2}{2m}\Delta=\frac{\hat{\vec L^2}}{2 m r^2}-\frac {\hbar ^2}{2 m r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\frac{\partial}{\partial r}\right)\qquad\qquad\text{(8)}.$$

Darin stellt der erste Term die kinetische Energie des Bahndrehimpulses und der zweite Term die kinetische Energie durch die radiale Bewegung dar.

Eigenwertgleichungen, Eigenwerte und Eigenfunktionen

Operator für Lz

Die Eigenwertgleichung für $\hat L_z$ lautet mit (4c) $$\hat L_z \Psi = L_z \Psi~\rightarrow~- i \hbar\frac{\partial}{\partial \varphi} \Psi = L_z \Psi\qquad\qquad\text{(9)}.$$ Die Eigenfunktionen kann man unmittelbar "erraten": $$\Psi(\varphi) = N e^{i m \varphi}\qquad\qquad\text{(10)}$$ mit zwei Konstanten N und m. Einsetzen ergibt $$- i \hbar \frac{\partial}{\partial \varphi} N e^{i m \varphi} =- i \hbar (i m) N e^{i m \varphi} =m \hbar N e^{i m \varphi}=m \hbar \Psi\qquad\qquad\text{(11)}.$$ Durch Vergleich von (9) mit (11) erhalten wir für die Eigenwerte $L_z = m\hbar$. Mögliche Werte für m werden dadurch eingeschränkt, dass die Wellenfunktion Ψ stetig sein muss (siehe Wasserstoff-Atom: Lösung für 𝜙(φ), Berechnung). Daraus ergibt sich $m \in \mathbb{Z}$ analog zu (2). Die Normierung (siehe Wasserstoff-Atom: Lösung für 𝜙(φ), Berechnung) liefert $N = \frac 1{\sqrt{2\pi}}$.

Operator für L2

Die Eigenwertgleichung für $\hat L^2$ lautet mit (5) $$\hat L^2 \Psi = C \Psi~\rightarrow~-\frac{\hbar^2}{\sin^2\theta} \left[\sin \theta\frac {\partial } {\partial \theta} \left(\sin \theta\frac {\partial } {\partial \theta} \right)+ \frac {\partial^2 } {\partial \varphi^2}\right] \Psi = C \Psi\qquad\qquad\text{(12)}.$$ Diese Gleichung kann man auf die Legendre-Differentialgleichung zurückführen. Die Eigenfunktionen sind die zugeordneten Legendre-Polynome $$\Theta(\theta)=P^{(m)}_{l}(\cos \theta)\qquad\text{mit}\qquad \ l \in \mathbb{N}, -l \le m \le l\qquad\text{und}\qquad \ m \in \mathbb{Z},\qquad\qquad\text{(13)}.$$ Die Eigenwerte sind $C=l(l+1)\hbar$ mit l ≥ 0 und $l\in \mathbb{N}$. Durch Ziehen der positiven Wurzel ergibt sich $\sqrt C =|\vec L|$ und (1). (Berechnung siehe Wasserstoff-Atom: Lösung für Θ(θ), Berechnung ab (15)).

Kugelflächenfunktionen

Darstellung der Kugelflächenfunktionen, rotierend um die z-Achse. l nimmt ausgehend von l=0 von oben nach unten um eins zu, m entsprechend von links nach rechts. Die Farben geben das Vorzeichen des Realteils an.
(Bildquelle: by Cyp, CC-BY-SA-3.0, via Wikimedia Commons)

Das Produkt der Eigenfunktionen von $\hat L^2$ und $\hat L_z$ nennt man Kugelflächenfunktionen. $$Y_{lm}(\theta\varphi)=\frac 1{\sqrt{2\pi}} N_{lm}P_{m}^l(\cos\theta)\cdot e^{i m \varphi}\qquad\qquad\text{(14)}$$ mit der Normierungskonstante $$N_{lm}=\sqrt{\frac{2l+1}{2}\cdot\frac{(l-m)!}{(l+m)!}}\qquad\qquad\text{(15)}$$ Sie sind die Eigenfunktionen des Winkelanteils des Laplace-Operators (6). Die Kugelflächenfunktionen sind komplexe Funktionen und bilden bei atomaren Wellenfunktionen den winkelabhängigen Faktor. Wegen $e^{im\varphi}$ sind die Betragsquadrate $|Y_{lm}(\theta\varphi)|^2$ aller Kugelflächenfunktionen und damit auch $|\Psi|^2$ aller atomaren Wellenfunktionen unabhängig vom Winkel φ, d.h. rotationssymmetrisch um die z-Achse.

Für die Symmetrie der Funktion selbst muss man die Vorzeichen von Real- und Imaginärteil betrachten. Beschränkt man sich auf das Vorzeichen des Realteils (wie in den meisten Darstellungen), so wird folgende Systematik deutlich:

  • m gibt die Rotationssymmetrie um die z-Achse an: m = 0 rotationssymmetrisch, m = 1: einzählige Drehachse, m = 2: zweizählige Drehachse usw.
  • l gibt die Rotationssymmetrie um die y-Achse an: l = 0 rotationssymmetrisch, l = 1: einzählige Drehachse, l = 2: zweizählige Drehachse usw.
Darin steckt der Zusammenhang, dass der Drehimpuls in der Quantenmechanik nicht ein Maß für die Bewegung des Teilchens, sondern für die Symmetrie der Wellenfunktion ist (siehe Quantenmechanische Interpretation).
  1. Eyvind H. Wichmann, Berekeley Physik Kurs 4, Quantenphysik, Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, (2001), Online Resource
  2. Der Name "Magnetquantenzahl" kommt daher, dass man in den ersten Experimenten zum Nachweis der Richtungsquantelung die z-Richtung durch eine Magnetfeld festgelegt hat.
  3. Wolfgang Demtröder, Experimentalphysik 3, 3. Aufl., Springer Verlag, Heidelberg (2010)