Dreidimensionaler Potenzialtopf

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Was ist ein dreidimensionaler Potenzialtopf

Ein dreidimensionaler Potenzialtopf mit unendlich hohen Wänden entspricht anschaulich einem Raumbereich, in dem ein Teilchen allseitig durch eine unendlich große Kraft beschränkt ist, darin jedoch kräftefrei ist. Etwa so, wie ein ideales Gasteilchen, das in einen rechteckigen Behälter eingesperrt ist. Ein anderes Beispiel wäre ein Leitungselektron innerhalb eines kleinen Metallwürfels.

Schrödinger-Gleichung des 3d-Potenzialtopfes

Die zugehörige Schrödinger-Gleichung lautet \begin{equation*} \left(-\frac{\hbar ^2}{2m}\nabla ^2+V(\vec r)\right)\psi(\vec r) =-\frac{\hbar ^2}{2m}\left(\frac{\partial ^2}{\partial x^2}+\frac{\partial ^2}{\partial y^2}+\frac{\partial ^2}{\partial z^2}\right)\psi(\vec r)=E\psi(\vec r)\text{ mit } \vec r=\left(\array{x\\y\\z} \right)\end{equation*}

Lösung der SG

Zum Lösen der SG wählt man einen Produktansatz für die Wellenfunktion: $\psi(\vec r)=\psi(x,y,z)=\psi _x(x)\cdot \psi _y(y)\cdot \psi _z(z)$.

Das Einsetzen dieses Produktansatzes in die SG ergibt

$$-\frac{\hbar ^2}{2m}\left(\frac{\partial ^2}{\partial x^2}+\frac{\partial ^2}{\partial y^2}+\frac{\partial ^2}{\partial z^2}\right)\psi _x(x)\cdot \psi _y(y)\cdot \psi_z(z)=E\psi _x(x)\cdot \psi _y(y)\cdot \psi _z(z)$$.

Division durch $\psi _x(x)\cdot \psi _y(y)\cdot \psi _z(z)$ liefert \begin{equation}-\frac{\hbar ^2}{2m}\left(\frac{\frac{\partial ^2}{\partial x^2}\psi _x(x)}{\psi _x(x)}+\frac{\frac{\partial ^2}{\partial y^2}\psi _y(y)}{\psi _y(y)}+\frac{\frac{\partial ^2}{\partial z^2}\psi _z(z)}{\psi _z(z)}\right)=E\,\,\,(1)\end{equation} Durch Vergleich der Ausdrücke in der Klammer mit der Lösung des eindimensionalen Potenzialtopfes sieht man unmittelbar: $$\frac{-\frac{\hbar ^2}{2m}\frac{\partial ^2}{\partial x^2}\psi_{n_x}}{\psi _{n_x}}=E_{n_x}\,\text{ ; } \, \, \, \frac{-\frac{\hbar ^2}{2m}\frac{\partial ^2}{\partial y^2}\psi_{n_y}}{\psi _{n_y}}=E_{n_y}\, \text{; } \, \, \, \frac{-\frac{\hbar ^2}{2m}\frac{\partial ^2}{\partial z^2}\psi_{n_z}}{\psi _{n_z}}=E_{n_z}\,\,(2)$$ Da auf der linken Seite der Gleichung (1) in der Klammer die Summe der linken Terme von (2) steht, muss auch rechts in (1) die Summe der rechten Terme von (2) stehen. Damit ergibt sich die Energie E als Summe der einzelnen Energien: $E_{n_x,n_y,n_z}=E_{n_x}+E_{n_y}+E_{n_z}$ und hängt nun von den drei Quantenzahlen nx, ny und nz ab und (1) wird zu: $$-\frac{\hbar ^2}{2m}\left(\frac{\frac{\partial ^2}{\partial x^2}\psi _x(x)}{\psi _x(x)}+\frac{\frac{\partial ^2}{\partial y^2}\psi _y(y)}{\psi _y(y)}+\frac{\frac{\partial ^2}{\partial z^2}\psi _z(z)}{\psi _z(z)}\right)=E_{n_x}+E_{n_y}+E_{n_z}$$

Damit lautet die endgültige SG für einen dreidimensionalen Topf:

$$-\frac{\hbar ^2}{2m}\left(\frac{\partial ^2}{\partial x^2}+\frac{\partial ^2}{\partial y^2}+\frac{\partial ^2}{\partial z^2}\right)\psi _x(x)\cdot \psi _y(y)\cdot \psi_z(z)=(E_{n_x}+E_{n_y}+E_{n_z})\psi _x(x)\cdot \psi _y(y)\cdot \psi _z(z)$$.

Mit den Dimensionen ax, ay, az jeweils in x, y, z-Richtung und den Lösungen des eindimensionalen Potenzialtopfes sind die Wellenfunktionen $$\Psi _{\mathit{nx},\mathit{ny},\mathit{nz}}(r)=\sqrt{\frac 2{a_x}}\sin (n_x\frac{\pi }{a_x}x)\cdot \sqrt{\frac 2{a_y}}\sin (n_y\frac{\pi }{a_y}y)\cdot \sqrt{\frac 2{a_z}}\sin (n_z\frac{\pi }{a_z}z)$$

und die Energien $$E_{\mathit{nx},\mathit{ny},\mathit{nz}}=\frac{\hbar ^2\pi ^2}{2m}(\frac{n_x^2}{a_x^2}+\frac{n_y^2}{a_y^2}+\frac{n_z^2}{a_z^2})$$

Entartung

Folgendes Neues tritt auf: Beim dreidimensonalen Topf kann es geschehen, dass die Energien zu unterschiedlichen Wellenfunktionen übereinstimmen. Wenn es mehrere Wellenfunktionen zu dem gleichen Energiewert gibt, nennt man die Wellenfunktionen "entartet". Beispielsweise haben für einen kubischen Topf (einen Würfel) alle Wellenfunktionen, für die die Summe $n_x^2+n_y^2+n_z^2$ den gleichen Wert ergibt, die gleiche Energie (z.B 22+12+22=9, 12+12+22=9 oder auch 32+32+32=27, 52+12+12=27). Entartung spielt eine wichtige Rolle in der Quantenphysik, denn die Wellenfunktionen von Atomen und Molekülen sind in der Regel entartet.