Elektrische Leitfähigkeit

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Einteilung der Festkörper nach ihrer elektrischen Leitfähigkeit

Abb.1 Einteilung der Festkörper

Nach dem Bändermodell weist ein Festkörper Energiebänder auf, die den Elektronen zur Verfügung stehen. Ausschlaggebend für die elektrische Leitfähigkeit sind jedoch nur zwei dieser Bänder: das Valenz- und das Leitungsband. Die Besetzung dieser beiden Bänder und die Bandlücke zwischen ihnen bestimmen die elektrische Leitfähigkeit des Festkörpers. Danach teilt man Festkörper ein in

  1. Isolatoren: volles Valenzband, leeres Leitungsband, große Bandlücke
  2. Halbleiter: volles Valenzband, leeres Leitungsband, kleine Bandlücke
  3. Leiter: volles Valenzband, teilweise gefülltes Leitungsband oder Überlappung von Valenz- und Leitungsband

Abb.1 verdeutlicht die verschiedenen Typen und zeigt die Besetzung von Valenz- und Leitungsband bei T = 0 K. Ein Halbleiter (d.h. eine "kleine" Bandlücke) liegt vor, wenn einige Elektronen die Bandlücke durch thermische Anregung bei Raumtemperatur überwinden können. Ab Bandlücken < 2 eV spricht man von Halbleitern[1].

Zusammenhang der Leitfähigkeit mit der Bandfüllung

Elektronen, die sich in einem Zuständ eines Energiebandes befinden, sind nicht mehr einem einzelnen Atom zugeordnet, sondern prinzipiell im gesamten Kristall beweglich. Diese Beweglichkeit führt jedoch nicht zwangsläufig zu einer elektrischen Leitfähigkeit. Denn damit ein elektrischer Strom fließen kann, müssen die Elektronen ihren Impuls ändern können. Dadurch ändert sich auch ihre Energie. Das ist nur möglich, wenn passende Energiezustände frei sind. In einem voll besetzten Band ist das nicht der Fall, daher kann ein vollbesetztes Band nicht leiten.

Elektrischer Strom im Bändermodell

Abb.2 Elektrischer Strom im Bändermodell

Um diese Argumentation zu verdeutlichen, betrachten wir vereinfacht ein eindimesionales Modell, z.B. einen sehr dünnen Draht, in dem sich die Elektronen nur nach links oder rechts bewegen können. Ein elektrischer Strom fließt z.B. nach rechts, wenn sich mehr Elektronen nach rechts als nach links bewegen. Um erkennen zu können, wann das möglich ist, genügt die einfache Darstellung der Bänderstruktur wie in Abb.1 nicht. Man muss sich außerdem den Zusammenhang zwischen den Impulsen bzw. Wellenzahlen k der Elektronen und den zugehörigen Energien E(k) anschauen, d.h. die Dispersionsrelation. Darin entsprechen z.B. negative k-Werte Elektronen, die sich nach links bewegen und positive k-Werte solchen, die sich nach rechts bewegen. Damit ein elektrischer Strom fließen kann, muss sich die Elektronenbesetzung auf der Kurve E(k)verschieben können (Abb.2). Im Bändermodell entspricht das einer Umverteilung der elektronischen Besetzung von Zuständen mit niedriger Energie auf Zustände mit höherer Energie. Wenn keine solchen Zustände frei sind, können die Elektronen keinen elektrischen Strom erzeugen. Daher können vollbesetzte Bänder nicht leiten.

n-Leitung und p-Leitung

Elektrische Leitfähigkeit erfordert somit Bänder, die nur teilweise gefüllt sind. Das läßt sich auf zwei Arten bewirken: Man füllt Elektronen in ein vorher leeres Leitungsband oder man entnimmt Elektronen aus einem vorher vollen Valenzband. Eine elektrische Leitung durch Elektronen im Leitungsband nennt man n-Leitung, weil die beweglichen Ladungsträger negativ geladen sind. Wenn man dagegen Elektronen aus dem Valenzband entfernt hat, spricht man von p-Leitung. Zwar bewegen sich auch hier die Elektronen. Doch ein Valenzband-Elektron, das ein Loch im Valenzband füllt, hinterlässt dort, wo es herkommt, wieder ein Loch. Die Leitung wirkt daher so, als ob sich die Löcher und damit positive Ladungen bewegen. In Metallen tritt in der Regel nur n-Leitung auf. Die p-Leitung ist wichtig bei Halbleitern und insbesondere im Zusammenhang mit einem pn-Übergang.

Temperaturabhängigkeit der Leitfähigkeit

Leiter

In einem idealen Kristall mit perfekter Periodizität gäbe es keinen elektrischen Widerstand. Denn die Wellenfunktionen der Elektronen sind an die Periodizität des Kristallgitters angepasst, so dass die Elektronen nicht mit den Kernen kollidieren und an ihnen gestreut werden. In einem Atom oder Molekül geht man intuitiv davon aus, dass die Elektronen nicht mit ihren Kernen kollidieren und an ihnen gestreut werden. Im Festkörper ist das prinzipiell nicht anders, auch wenn es sich nicht sofort intuitiv aufdrängt. Denn hier verbindet man den elektrischen Widerstand mit Stößen der Elektronen an den Atomrümpfen. Die Vorstellung ist auch richtig, bis auf einen wesentlichen Punkt: Die Elektronen stoßen nur mit solchen Atomkernen, die die strenge Periodizität des Gitters stören, d.h. mit solchen, die "aus der Reihe tanzen". Diese Abweichungen von der Periodizität sind

  1. entweder veränderlich durch thermische Schwankungen der atomaren Orte oder
  2. in Form von Gitterfehlern fest in den Kristall eingebaut.

Beide Umstände bewirken den Ohmschen Widerstand eines Leiters. Thermische Schwankungen nehmen mit der Temperatur zu. Daher steigt der ohmsche Widerstand z.B. von Metallen mit zunehmender Temperatur, und zwar in erster Näherung linear. Fest eingebaute Gitterfehler sind unabhängig von der Temperatur. Sie ergeben einen unvermeidlichen ohmschen Restwiderstand, wenn man den Kristall auf T = 0 K abkühlt, weil man keine 100%ig perfekten Kristalle züchten kann.

Halbleiter

Bei Halbleitern kommt noch ein weiterer Aspekt zum tragen: Denn sie erhalten ihre Leitfähigkeit nur dadurch, dass Elektronen thermisch aus dem Valenzband in das Leitungsband angeregt werden. Die Anzahl der thermisch angeregten Elektronen und folglich die Leitfähigkeit nimmt exponentiell mit der Temperatur zu. Daher ist diese Zunahme der Leitfähigkeit größer als die Zunahme des ohmschen Widerstandes. Insgesamt nimmt daher der Widerstand eines Halbleiters mit zunehmender Temperatur ab.


Literatur

  1. Randy Harris, Moderne Physik, Pearson Deutschland GmbH, München (2013)