Fermi-Verteilung

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Fermi-Verteilung

Die Fermi-Verteilung gibt an, mit welcher Wahrscheinlichkeit W mögliche Energiezustände für Fermionen in Abhängigkeit von der Temperatur besetzt werden. Sie ist vor allem in der Festkörperphysik von Bedeutung und gibt an, wie die Bänder eines Festkörpers mit Elektronen besetzt werden. Die ihr zugrunde liegende statistische Verteilung ist die Fermi-Dirac-Statistik. Ihre mathematische Formulierung lautet:

Fermi-Dirac-Statistik $\qquad W(E)= \dfrac 1{e^{\dfrac{E-\epsilon_F}{k_B T}}+1}$

Darin ist ϵF die Fermi-Energie und W(E) die Besetzungswahrscheinlichkeit.

Fermi-Energie

Abb.1 Fermi-Verteilung mit $\epsilon_F = \text{0,6 eV}$ und verschiedenen Temperaturen
Abb.2 Fermi-Verteilung mit $T = \text{1000 K}$ und verschiedenen Fermi-Energien

Die Fermi-Energie gibt an, bis zu welcher Energie Zustände eines Quantensystems bei T = 0 K besetzt sind (z.B. elektronische Zustände eines Bandes eines Festkörpers). Das ist die Energie der steilen Kante der blauen Kurve in Abb.1. Bei T = 0 K sind alle Zustände bis zur Fermi-Energie vollständig gefüllt und alle Zustände oberhalb der Fermi-Energie unbesetzt. Die Fermi-Energie entspricht auch dem chemischen Potenzial µ.

Abhängigkeit von der Temperatur

Abb.1 zeigt die Fermi-Verteilung für verschiedene Temperaturen bei einer festen Fermi-Energie von 0,6 eV. Je höher die Tempertur, umso mehr Teilchen wandern von Zuständen mit E < ϵF auf Zustände mit E > ϵF. Der Schnittpunkt aller Kurven liegt bei ϵF und W(E) = 0,5 (gestrichelte Kurve). Das bedeutet, für T > 0 sind Zustände mit der Fermi-Energie stets zur Hälfte besetzt.

Abhängigkeit von der Fermi-Energie

Abb.2 zeigt die Fermi-Verteilung für verschiedene Fermi-Energien bei einer festen Temperatur von 1000 K. Die Fermi-Energie liegt immer dort, wo W(E) = 0,5 ist (gestrichelte Kurve).

Andere Verteilungen

Die Fermi-Verteilung bzw. Fermi-Dirac-Statistik ist eine Quantenstatistik und berücksichtigt den Einfluss des Spins der Teilchen. Sie gilt nur für Fermionen. Bosonen verteilen sich anders und genügen einer anderen Quantenstatistik, nämlich der Bose-Einstein-Statistik.

Klassische Teilchen wiederum genügen der klassischen Boltzmann-Statistik bzw. der Maxwell-Boltzmann-Geschwindigkeitsverteilung.