Konservative Kräfte

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Konservative Kräfte

Konservative Kräfte $\vec F{}^{k}$ sind Kräfte, die die äußere Energie erhalten, weil durch ihr Wirken keine Energie dissipiert wird. Daher stammt der Name. Jede potenzielle Energie ist an eine konservative Kräfte gebunden. Wichtige Beispiele sind Gewichtskraft, Gravitationskraft, Coulomb-Kraft, Federkraft. Daneben können auch noch andere Kräfte konservativ sein, wenn keine Dissipation auftritt.

Gegenbeispiel: Nicht konservative Kräfte

Nicht konservative Kräfte, wie z. B. Reibungskräfte dissipieren Energie. Diese betrachten wir zuerst: Wenn man eine Kiste auf direktem Weg von A nach B schiebt, verrichtet man Arbeit gegen die Reibungskraft. Diese Arbeit wird größer, wenn man nicht auf direktem Weg, sondern zum Beispiel auf einem gebogenen Umweg schiebt, weil der Weg dann länger ist. Die verrichtete Arbeit ist also eine Frage des Weges. Auch wenn man die Kiste im Kreis schiebt, also auf einem geschlossenen Weg von A wieder nach A, muss man arbeiten und zwar umso mehr, je größer der Kreis ist. Die Reibungskraft ist deshalb nicht konservativ.

Wegunabhängigkeit

Bei konservativen Kräften ist dagegen − zumindest theoretisch − die Arbeit zum Verschieben eines Objektes unabhängig vom gewählten Weg. Als Beispiel können wir uns einen reibungsfreien Boden vor­stellen, z. B. eine Eisfläche mit einem Wasserfilm. Wir geben der Kiste kurz einen Schubs und sie bewegt sich „von selbst“ mit konstanter Geschwindigkeit über die Eisfläche. Das ist die Aussage des Trägheitsgesetzes. Es ist offensichtlich keine Kraft, also auch keine Arbeit mehr zum Verschie­ben erforderlich. Ohne Reibung ist die Arbeit zum Verschieben der Kiste immer null, egal ob die Kiste auf direktem Weg oder „über die Bande“ von A nach B und wieder zurück nach A gelangt. Die horizontale Verschiebearbeit ist dann also wegunabhängig. Nehmen wir nun an, die Eisfläche sei geneigt wie eine Skipiste. Wir geben der Kiste bei A ordentlich „Schwung“ (also Impuls), dann wird sie den Hang ein Stück bis B hinaufgleiten. Dabei verrichtet die Gewichtskraft Arbeit und bremst sie ab. Anschließend wird sie umkehren und die Gewichtskraft verrichtet erneut Arbeit und beschleunigt sie wieder. Wenn sie wieder bei A ankommt, hat sie die gleiche Energie wie beim Start. Die insgesamt an ihr verrichtete Arbeit auf diesem geschlossenen Weg ist null. Jetzt nehmen wir statt der Skipiste einen beliebig geformten geschlossenen Weg, z. B. einen Eiskanal wie bei einer Bobbahn. Auch hier wird sie immer mit der gleichen Energie ankommen, mit der sie gestartet ist. Das ist das Kenn­zeichen konservativer Kräfte: Sie erhalten die Energie. Die Arbeit, die auf dem Hinweg am Objekt verrichtet wird, wird auf dem Rückweg wieder frei. Egal, wie Hin- und Rückweg aussehen. Wir halten als Ergebnis fest: Bei konservativen Kräften ist die Arbeit längs eines beliebigen geschlossenen Weges immer null: $W=\oint \vec F{}^{k} \cdot d\vec s=0$. Der Kreis im Integralzeichen zeigt den geschlossenen Weg an.

Zusammenhang mit der potenziellen Energie

Die Wegunabhängigkeit ermöglicht die Definition einer potenziellen Energie. Wir können dadurch ein Objekt auf einem beliebigen Weg von A nach B schieben. Die Arbeit $W_{A \rightarrow B}$, die dafür erforderlich ist, ist zwar nicht null, aber unabhängig vom Weg. Jetzt weisen wir dem Punkt A willkürlich eine Energie zu, z.B. die Energie $E_{pot}(A) = 0$. Dann können wir auch dem Punkt B eine eindeutige Energie $E_{pot}(B)$ zuweisen, nämlich den Energiewert vom Punkt A plus der Arbeit $W_{A \rightarrow B}$. Genau diese Energie nennen wir dann die potenzielle Energie des Objektes bei B im Feld dieser konservativen Kraft: $E_{pot}(B)=E_{pot}(A)+W_{A \rightarrow B}$. Der Punkt, an dem der Nullpunkt der potenziellen Energie gewählt wird, ist prinzipiell beliebig. Die Differenz der potenziellen Energien von zwei Punkten bleibt davon unberührt, denn sie entsprecht immer der Verschiebearbeit zwischen den zwei Punkten: $E_{pot}(B)-E_{pot}(A)=W_{A \rightarrow B}$. Daher sind potenzielle Energien auch nur als Differenz definiert.

Wenn die Verschiebearbeit nicht unabhängig vom Weg ist, wie bei der Rei­bungs­kraft, geht das natürlich nicht und die Kraft ist nicht konservativ.