Methoden der Quantenmechanik

Aus PhysKi
Wechseln zu: Navigation, Suche

Gegenüberstellung klassische Physik und Quantenphysik

Die klassische Physik ist geeignet zur Beschreibung des Makrokosmos, d. h. von großen Objekte, die mit unseren Sinnen wahrnehmbar sind. Für kleine Objekte des Mikrokosmos wie z. B. Atome oder Moleküe, muss die Quantenphysik verwendet werden. Die Basis der Quantenphysik ist die Schrödinger-Gleichung (SG). Sie hat den Status eines physikalischen Grundgesetzes, d. h. sie ist nicht ableitbar. Man kann sie jedoch plausibel machen und begründen.

In der Quantenphysik wird die Newtonsche Bewegungsgleichung $\vec F=m \ddot{\vec r}$ der klassischen Physik durch die Schrödinger-Gleichung abgelöst. Wir unterscheiden die
  • zeitabhängige SG: $i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\Psi (\vec r,t)=\hat H\Psi (\vec r,t)$
  • stationäre SG: $\hat H\psi (\vec r)=E\psi (\vec r)$.

Die stationäre SG ist anwendbar, wenn der Hamilton-Operator $\hat H$ nicht von der Zeit abhängt. Dann lässt sie sich aus der zeitabhängigen SG herleiten. Mit ihr kann man z. B. die Gestalt von Atomen beschreiben. Die zeitabhängie SG beschreibt dynamische Prozesse wie z. B. die Entstehung von Strahlung bei einem atomaren Übergang, d. h., wenn eine Atom seine Gestalt ändert.

Anders als in der klassischen Mechanik geht man in der Quantenmechanik folgendermaßen vor:

  • Statt mit der Kraft $\vec F$ arbeitet man mit der potenziellen Energie V. Beide Größen sind über $\vec F=-\nabla V$ verknüpft.
  • Statt mit Bahnkurven $\vec r(t)$ und der Energie E als Summe aus kinetischer Energie T und potenzieller Energie V beschreibt man Objekte mit einer Wellenfunktion $\psi$, der sich daraus ergebenden Aufenthaltwahrscheinlichkeiten $P(\vec r)\mathit{dV}=|\psi (\vec r)|^2\mathit{dV}$ und der zugehörigen Gesamtenergie $E=T+V$.
  • Statt beliebiger messbarer Größen o, die miteinander über diverse Beziehungen zusammenhängen, erhält man nun alle messbaren Größen mit Hilfe eines Operators $\hat O$ als Eigenwert o aus der Wellenfunktion ψ: $\hat O\psi=o\psi \,\to\, o=\frac{\hat O\psi}{\psi}$. Die messbaren Größen nennt man "Observable".
  • Die in der Quantenphysik zu lösenden Gleichungen sind sogenannte Eigenwertgleichungen. Sie haben die mathematische Gestalt "Operator (wirkt auf) Eigenfunktion = Eigenwert · Eigenfunktion". Die Eigenwerte aller Observablen sind reell.
Begriff: Eine Eigenwertgleichung ist ähnlich wie eine Differentialgleichung eine spezielle Form einer mathematischen Gleichung. Sie hat die Gestalt $\hat O f=\lambda \cdot f$. Darin kann $\hat O$ ein Operator oder eine Matrix sein, f nennt man Eigenfunktion und λ nennt man Eigenwert. Eigenwertgleichungen sind Gleichungen mit zwei Unbekannten: f und λ. Man löst sie mit speziellen mathematischen Verfahren, z. B. über Matrixdiagonalisierung und bestimmt dadurch f und λ.

Aufstellen einer Schrödinger-Gleichung

Um die SG für ein gegebenes physikalisches System aufzustellen, betrachtet man zuerst die klassischen Energien E=T+V und bestimmt Ausdrücke für die kinetische Energie T und die potenzielle Energie V.

Dann wandelt man diese Ausdrücke in Operatoren um: $T \to\hat T$ und $V \to \hat V$. Daraus bildet man den Hamilton-Operator der Gesamtenergie $\hat H=\hat T+\hat V$.

Nun stellt man z. B. die stationäre SG mit unbekanntem ψ und unbekanntem E formal auf: $\hat H\psi (\vec r)=E\psi (\vec r)$. Die Schrödinger-Gleichung ist somit die Eigenwertgleichung für die Gesamtenergie.

Ein Lösen der so aufgestellten stationären SG beinhaltet das Auffinden der Wellenfunktionen ψ und der zugehörigen Energien E. Eine SG hat i. d. R. viele Lösungen, die Paaren von ψn und En entsprechen. Wenn es zu einem Energiewert En mehrere Wellenfunktionen ψn,i gibt, nennt man die Lösung "entartet".

Die Lösung der SG ist mathematisch ein Eigenwertproblem. Dafür gibt es zahlreiche, insbesondere numerische Lösungsverfahren. Nur wenige SG sind analytisch lösbar. Zu letzteren gehören die SG für konstante potenzielle Energien, für den harmonischen Oszillator und für das Wasserstoffatom.

Bestimmung von Operatoren aus klassischen Ausdrücken

Man gewinnt quantenmechanische Operatoren aus klassischen Ausdrücken durch folgende Methode: Der klassische Ausdruck wird (sofern nötig) so umgeformt, das er in Abhängigkeit von Ort und Impuls ausgedrückt ist. Dann wendet man folgende Ersetzungsregeln an:

  • Ort: $x \to \hat x=x\text{, }y \to \hat y=y\text{, } z \to \hat z=z$
  • Impuls: $p_x \to\hat p_x=-i\hbar \frac{\partial }{\partial x}\text{, }p_y \to\hat p_y=-i\hbar \frac{\partial }{\partial y}\text{, } p_z \to\hat p_z=-i\hbar \frac{\partial }{\partial z}$
  • Energie E: $E\to\hat E=i\hbar \frac{\partial }{\partial t}$.

Beispiel: Eindimensionaler harmonischer Oszillator der Masse m mit der Federkonstante D:

  • Operator der kinetischen Energie: $E_{\mathit{kin}}=T=\frac 12 m v^2=\frac{p^2}{2m}\ \Rightarrow \ \hat T=\frac{(-i\hbar \frac{\partial }{\partial x})^2}{2m}=-\frac{\hbar ^2}{2m}\frac{\partial ^2}{\partial x^2}$
  • Operator der potenziellen Energie eines harmonischen Oszillators: $V(x)=\frac 1 2Dx^2\ \Rightarrow \ \hat V=\frac 1 2Dx^2$
  • Schrödinger-Gleichung: $\left(-\frac{\hbar ^2}{2m}\frac{\partial ^2}{\partial x^2}+\frac 12 D x^2\right)\psi(x)=E\psi(x)$

Weil der Ortsoperator der Ort selbst ist, sind klassische Ausdrücke, in denen nur der Ort auftaucht, mit dem Ausdruck für ihren Operator identisch. Die allgemeine Form der stationären SG für eine eindimesionale Bewegung eines Teilchens der Masse m in einem ortsabhängigem Potenzial V(x) ist $\left(-\frac{\hbar ^2}{2m}\frac{\partial ^2}{\partial x^2}+V(x)\right)\psi(x) =E\psi(x)$.

Wellenfunktionen

Da die SG komplex ist, sind auch die Wellenfunktionen komplex. Als einfachste Wellenfunktion löst $\psi (x,t)=\psi _0e^{i(kx-\omega t)}=\psi _0e^{i(\frac{\sqrt{2mE_{\mathit{kin}}}}{\hbar }x-\frac E \hbar t)}$ die einfachste SG für ein freies Teilchen (V=0), wenn k und ω entsperechend gewählt werden.

Zusammenhang zwischen Wellengrößen und Teilchengrößen

Die De-Broglie-Beziehungen $E=\hbar \omega =h\nu$ und $p=\hbar k=\frac h{\lambda }$ bilden den Zusammenhang zwischen den Wellengrößen k und ω sowie den Teilchengrößern p und E (siehe z. B. Rechteckpotenziale).

Die Art der Wellenfunktion $\psi$ hängt davon ab, wie das Verhältnis von E und V ist. Hier sind drei wichtige Fälle zu unterscheiden:

  1. $V<E$ ergibt eine oszillierende Wellenfunktion.
  2. $V>E$ ergibt eine exponentiell abfallende oder ansteigende Wellenfunktion.
  3. $V=\infty$: $\psi=0$ ergibt eine verschwindende Wellenfunktion.

Superposition und Linearität

Sind $\psi_a$ und $\psi_b$ Lösungen der gleichen stationären SG, so ist auch $\psi=c_a\psi_a + c_b\psi_b$ eine Lösung, wobei $c_a$ und $c_b$ beliebige Konstanten sind. Für Wellenfunktionen gilt also das Superpositionsprinzip. Jede Wellenfunktion kann als Summe von anderen Wellenfunktionen geschrieben werden, sofern diese die gleiche SG zur gleichen Energie E lösen.

Aus $\hat H\psi _a=E\psi_a$ folgt $\hat H c_a\psi _a=c_a\hat H\psi _a=c_a E\psi _a$. Aanalog folgt aus $\hat H\psi _b=E\psi_b$ auch $\hat H c_b\psi _b=c_b E\psi _b$. Damit ist $\hat H(c_a\psi _a+c_b\psi _b)=c_a\hat H\psi _a+c_b\hat H\psi _b=E(c_a\psi _a+c_b\psi _b)$

Jede Lösungsfunktion kann als Summe anderer Lösungsfunktionen ausgedrückt werden $\psi=\sum_i\psi _i$.

Physikalische Bedeutung der Wellenfunktion

ψ selbst entspricht keiner realen messbaren physikalischen Größe und hat keine real existierende Bedeutung. Die Wellenfunktion selbst ist ein abstraktes mathematisches Konstrukt. Insbesondere beschreibt sie

  • keine Form irgendeiner Schwingungs- oder Wellenbewegung des zugehörigen Teilchens,
  • keine Massendichte oder ein über den Raum "verschmiertes" Teilchen,
  • keine Ladungsdichte oder eine über den Raum "verschmierte" Ladung,
  • keine wie auch immer geartete "Hülle", in der sich das Teilchen aufhalten muss.

Das sind die häufigsten Fehlinterpretationen der Wellenfunktion. Eine physikalische Bedeutung hat nur das Quadrat $|\psi|^2=\psi^{\text *}\cdot \psi$ der Wellenfunktion: Nach der Born'schen Wahrscheinlichkeitsinterpretation ergibt sich aus $|\psi|^2$ die Wahrscheinlichkeit P, das durch $\psi$ beschriebene Teilchen im Volumen ΔV bei einer Messung zu finden: $$P(\vec r)\Delta V = |\psi|^2\Delta V$$ Somit hat $|\psi|^2$ die Bedeutung einer Wahrscheinlichkeitsdichte und folglich die Einheit $\text[|\psi|^2\text]=\frac 1{m^3}$ (bzw. 1/m für eine eindimensionale Wellenfunktion). Entsprechend hat Ψ die Einheit $\text[\psi\text]=\frac 1{\sqrt{m^3}}$ (bzw. $\frac 1{\sqrt m}$ für eine eindimensionale Wellenfunktion).

Da ψ selbst keine physikalische Bedeutung hat, sind für ψ selbst Eigenschaften erlaubt, die die Relativitätstheorie verbietet: Die Phasengeschwindigkeit von ψ kann größer als die Lichtgeschwindigkeit c sein. Und ψ kann sich im gesamten Raum instantan ohne Zeitverzug ändern (siehe Kollaps der Wellenfunktion).

Normierung und Normierbarkeit

Da ein Teilchen - sofern es existiert - mit der Wahrscheinlichkeit 1 irgendwo im gesamten Raum zu finden sein muss, muss das Integral von |ψ|2 über den gesamten Raum 1 ergeben: $$\int\limits_{-\infty }^{\infty }|\psi_N|^2 {d V}=1$$ Um dies zu erreichen, werden Wellenfunktionen mit einem Normierungsfaktor N versehen, den man aus $N^2 \int_{-\infty }^{\infty }|\psi|^2 {d V}=1$ bestimmen kann. Die normierte Wellenfunktion $\psi_N$ ist dann $\psi_N=N \psi$.

Damit eine Wellenfunktion normiert werden kann, muss sie quadratintegrabel sein. Das bedeutet, dass das Integral über $|\psi|^2$ endlich bleiben muss. Das wiederum verlangt, dass die Wellenfunktionen im Grenzfall $\vec r \to\infty$ gegen null gehen muss: $$\lim_{r\to\infty} \psi(\vec r)=0$$. Außerdem darf die Wellenfunktion nirgendwo unendlich werden. Das sind ganz wichtige Randbedingungen für jede Wellenfunktion.

Stetige Differenzierbarkeit

Die SG enthält die zweifache Ortsableitung, daher muss jeder Wellenfunktion zweifach differenzierbar sein. Eine Funktion ist differenzierbar, wenn sie keine Lücken, Sprünge und Knicke enthält. An einem Knick sind links- und rechtsseitige Tangente nicht gleich, wodurch dort die Ableitung nicht definiert ist. Folglich darf weder die Wellenfunktion noch ihre Ableitung Lücken und Knicke aufweisen. Das wird zu einem wichtigen Kriterium, wenn die Wellenfunktion stückweise zusammengesetzt wird wie z. B. für Rechteckpotenziale.

Energiezustände

Beim Lösen der Schrödinger-Gleichung bestimmt man nicht nur die Wellenfunktionen sondern auch die Gesamtenergie E=T+V, die zu einem Zustand mit einer bestimmten Wellenfunktion gehört. Diese Gesamtenergie E ist die Summe aus potenzieller Energie (V) und kinetischer Energie (T). Oft lässt sich einem quantemechanischen Zustand nur noch die Gesamtenergie E als Erhaltungsgröße zuordnen, die darin enthaltenen Anteile von T und V bleiben unbestimmt. Wenn es mehrere Wellenfunktionen zu der gleichen Gesamtenergie E gibt, dann nennt man einen solchen Zustand entartet.

Trennung der Variablen

Für bestimmte Varianten der SG gibt es bestimmte analytische Lösungsmethoden. Eine der wichtigsten ist die Trennung der Variablen durch einen Produktansatz für die Wellenfunktion (auch Separationsansatz genannt). Wenn der Hamilton-Operator und die Wellenfunktion von mehreren Variablen (z. B. x, y) abhängen, kann eine Trennung der Variablen erfolgen. Voraussetzung dafür ist, dass der Hamilton-Operator keine "gemischten" Terme enthält, die zwei oder mehr der Variablen enthalten (wie z.B. x·y). Dann kann man die SG zerlegen und zwar in je eine Gleichung für jede der Variablen. Statt eine Gleichung für N Variablen erhält man somit N Gleichungen mit je einer Variablen. Man erzielt dies, indem man einen Produktansatz $\Psi(x,y)=X(x)\cdot Y(y)$ für die Wellenfunktion in die SG einsetzt und dann durch $\Psi(x,y)=X(x)\cdot Y(y)$ dividiert. Das läßt sich auf folgende Form bringen $\frac{\hat H(x) X(x)}{X(x)}=\frac{\hat H(y) Y(y)}{Y(y)}$, also eine Gleichung der Form $f(x)=g(y)$, die für alle x und y unabhängig voneinander gültig sein muss. Das geht nur, wenn sowohl f(x) als auch g(y) konstant sind und den gleichen konstanten Wert (Separationskonstante) haben.

Beispiel: $\hat H$ sei zeitunabhängig. Trennung der Variablen x und t in der zeitabhängigen SG:

Zeitabhängige SG: $i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\Psi (x,t)=\hat H\Psi (x,t)$ (1).

Produktansatz für die Wellenfunktion $\Psi (x,t)=\psi (x)\cdot \Phi (t)$

Einsetzen in (1): $i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\psi (x)\cdot \Phi (t)=\hat H\psi (x)\cdot \Phi (t)\,\to\,\psi (x)\cdot i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\Phi (t)=\Phi (t)\cdot \hat H\psi (x)$

Multiplikation mit $\frac 1{\Psi (x,t)}=\frac 1{\psi (x)\cdot \Phi (t)}$: $\rightarrow $ $\frac{i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\Phi(t)}{\Phi (t)}=\frac{\hat H\psi (x)}{\psi (x)}=konst.$

In diesem Fall sieht man sofort, dass die Separationskonstante E ist, weil der letzte Summand die Eigenwertgleichung der Gesamtenergie ist. Somit ergeben sich die zwei Gleichungen:

  • Zeitabhängigkeit: $i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\Phi (t)=E\Phi (t)$
  • Stationäre SG: $\hat H\psi (x)=E\psi (x)$

Lösungsmethoden der Schrödinger-Gleichung

Analytische Basismethoden

Analytische Lösungmethoden sind möglich für

  1. Rechteckpotenziale (Topf, Stufe, Wall)
  2. Parabelpotenzial (harmonischer Oszillator, Molekülschwingungen, Phononen)
  3. Kugelsymmetrische Potenziale (Coulomb-Potenzial, Wasserstoff-Atom)
  4. Rotationsenergien (Moleküle)
  5. Mischformen, kleine Zusatzenergien (Zeeman-Effekt, Stark-Effekt, Störungsrechnung)

Diese "Zu Fuß"-Lösungsmethoden beinhalten vor allem komplexe Mathematik, so gut wie alle beinhalten Näherungen und im Verhältnis zum Aufwand relativ wenig physikalische Einsichten. Einige davon (1.,3.,4.) werden hier behandelt, um eine Anschlussfähigkeit an weiterführende Literatur zu ermöglichen. Die übrigen übersteigen den Rahmen des PhysKi, denn sie sind in der Schule nicht einsetzbar. Für ein Verständnis des Verhaltens der Materie ist es vor allem wichtig, die Lösungen der aufgezählten SG zu kennen und sie richtig interpretieren und anwenden zu können. Daher legt das PhysKi den Schwerpunkt darauf!