Minkowski-Diagramm

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Anwendung und Nutzen

Minkowski-Diagramme ermöglichen eine grafische Darstellung der Lorentztransformation. Damit lassen sich Raumzeitkoordinaten von Ereignissen und Weltlinen für Beobachter in unterschiedlichen Bezugssystemen in Beziehung setzen und grafisch verdeutlichen. Minkowski-Diagramme enthalten schiefwinkelige Koordinatenachsen.

Gestalt und Konstruktion

Abb. 1 Aussehen eines Minkowski-Diagramms für einen ruhenden Beobachter B (schwarze Achsen) und einen bewegten Beobachter B' (blaue Achsen)

Achsen

In Minkowski-Diagrammen für einen ruhenden Beobachter B wird auf der horizontalen Achse eine Ortskoordinate (in der Regel x) aufgetragen. Die vertikale Achse trägt die Zeitkoordinate, wobei diese durch Multiplikation mit der Lichtgeschwindigkeit c ebenfalls in einen Ort ct umgerechnet wird. Beide Achsen müssen gleich skaliert sein, d.h. die Einheiten und die Achseneinteilungen e beider Achsen müssen identisch sein. Dadurch ist gewährleistet, dass die Weltlinien von Licht in einem Minkowski-Diagramm immer auf der Winkelhalbierenden zwischen beiden Achsen liegen. Nur für einen ruhenden Beobachter stehen die ct- und die x-Achse rechtwinkelig aufeinander. Für einen bewegten Beobachter B bezeichnet man die Achsen mit ct′ und x′ und der Winkel zwischen beiden Achsen hängt von der Relativgeschwindigkeit v ab.

Winkel und Skalierung

Der Winkel β′ der ct′-Achse zur ct-Achse ergibt sich aus $\beta=\frac v c$ durch $\beta'=\arctan\beta=\arctan \frac v c$. Der Winkel der x′-Achse zur x-Achse ist ebenfalls β′, so dass der Winkel zwischen der ct′- und der x′-Achse $90°- 2 \beta'$ beträgt. Für einen bewegten Beobachter B sind die Achseneinteilungen e′ einer Einheit stets länger als e für den ruhenden Beobachter. Das Verhältnis der Längen ist durch $\frac {e'}{e}=\frac {\sqrt{1+\beta^2}}{\sqrt{1-\beta^2}}$ gegeben.

Koordinaten ablesen

Abb. 2 Ablesen der Koordinaten eines Ereignisses

Koordinaten auf den rechtwinkligen Achsen liest man wie gewohnt ab. Auf den schiefwinkeligen Achsen werden Koordinaten folgendermaßen abgelesen: Um die Zeitkoordinate ct′ eines Ereignisses E zu bestimmen, bildet man die Parallele zur x′-Achse durch das Ereignis. Der Schnittpunkt der Parallelen mit der ct′-Achse ist die ct′-Koordinate des Ereignisses. Zum Ablesen des Ortes x′ bildet man die Parallele zur ct′-Achse und bestimmt ihren Schnittpunkt mit der x′-Achse.

Beispiel: Ein beobachter B bewegt sich mit 0,6 c relativ zu einem ruhenden Beobachter B.

Dann ist $\beta=\frac v c=\frac{0,6 c}c=0,6$ und $\beta'=\arctan 0,6=31 °$.

Die Länge e′ einer Achseneinteilung von B ist ${e'}=\frac {\sqrt{1+0,6^2}}{\sqrt{1-0,6^2}}e=1,45 e$. Diese Daten entsprechen dem Diagramm in Abb.1.

Ein Ereignis E hat für B die Raumzeitkoordinaten ct = 3,0 Ls und x = 2,75 Ls. Aus dem Diagramm in Abb.2 liest man für B die Koordinaten ct′ = 1,7 Ls und x′ = 1,2 Ls ab. Die Lorentztransformation ergibt γ=1,25 und $ct'= \gamma(ct -\frac v c x)=\gamma(ct -\beta x)=1,69 \text{ Ls}$ und $x'=\gamma(x-v t)=\gamma(x-\beta ct)=1,19 \text{ Ls}$.

Erklärung

Im Minkowski-Diagramm eines ruhenden Beobachters sind die Weltlinien von ruhenden Objekten senkrechte Geraden, also Parallelen zur ct-Achse, weil sich der Ort x nicht ändert. Die Weltlinien von bewegten Objekten, die sich mit konstanter Geschwindigkeit v bewegen, sind dagegen Geraden, die gegen die ct-Achse geneigt sind. Füt v = c ist der Neigungswinkel genau 45°, für v < c ergibt sich der Neigungswinkel aus $tan \beta' =\frac {vt} {ct}=\frac v c$, weil in der Zeit t die Strecke x = vt zurückgelegt wird. Im Bezugssystem des bewegten Objektes muss seine Weltlinie ebenfalls parallel zu seiner ct'-Achse liegen. Im Umkehrschluss muss die ct'-Achse parallel zur Weltlinie des bewegten Objektes sein, also ebenfalls den Neigungswinkel β' zur ct-Achse haben.

Im Minkowski-Diagramm eines ruhenden Beobachters liegt die Weltlinie des Lichtes unter 45° auf der Winkelhalbierenden zwischen beiden Achsen, weil beide Achsen gleich skaliert sind. Sofern auch die ct'- und die x'-Achse gleich skaliert sind, muss auch im bewegten System die Weltlinie des Lichtes auf der Winkelhalbierenden liegen. Daher muss die x'-Achse ebenfalls unter dem Winkel β' zur x-Achse liegen.

Abb.3 Herleitung der Einheitenlänge e'

Die Skalierung ergibt sich aus der Zeitdilatation. Abb.3 verdeutlicht die Vorgehensweise. Die Einheitslänge der ct-Achse sei e. Wir betrachten eine ruhende Uhr mit der Eigenzeit t, so daß ihre Taktlänge die Länge e=ct auf der ct-Achse ergibt. Wenn die gleiche Uhr mit v bewegt wird, sieht der ruhende Beobachter entsprechend der Zeitdilatation die Taktlänge γt. Das ergibt die Strecke $\gamma ct=\gamma e$ auf der ct-Achse. Im Ruhesystem der bewegten Uhr, d. h. auf der ct'-Achse, ist ihre Taktlänge ebenfalls eine Einheitslänge, also e'. Um e' zu bestimmen, benötigt man die Länge der Strecke a und die Länge der Strecke b. Die Strecke a ist $a=vt=\frac vc ct=\frac vc e$. Die Länge der Strecke b ergibt sich damit nach Pythagoras zu $b=\sqrt{e^2+(\frac vc e)^2}=e \sqrt{1+(\frac vc)^2}$. Aufgrund des 1. Strahlensatzes gilt der Zusammenhang $\frac{\gamma e}{e}=\frac {e'}b=\frac{e'}{e \sqrt{1+(\frac vc)^2}}$. Das ergibt mit $\gamma=\frac 1{\sqrt{1-(\frac vc)^2}}$ das gesuchte Längenverhältnis $\frac{ \sqrt{1+(\frac vc)^2}}{ \sqrt{1-(\frac vc)^2}}=\frac{e'}{e}$.


Selbststest
Welche der Digramme in der Abbildung rechts entsprechen den Anforderungen an ein Minkowski-Diagramm? (Antwort zeigen)

Nur Diagramm B erfüllt die Bedingungen. Bei A sind die Achsen vertauscht. Bei C ist t und nicht ct aufgetragen, wodurch die Skalierung falsch wäre (es sei denn, man setzt c = 1). Bei D ist die Skalierung falsch, denn die Lichtweltlinie liegt nicht auf der Winkelhalbierenden.

Minkowski F1.png

Interpretation

Weltlinien und Geschwindigkeit

Abb.4 Weltlinien von Objekten mit verschiedenen Geschwindigkeiten

Abb. 4 zeigt die Weltlinien von vier Objekten (z. B. Raumschiffen) mit verschiedenen Geschwindigkeiten. Die beiden grünen Linien sind die Weltlinien des Lichts, das mit +c bzw. -c vom Ursprung aus in die positive bzw. negative x-Richtung läuft. Für den ruhenden Beobachter gilt: Nach links geneigte Weltlinien entsprechen negativen Geschwindigkeiten, vertikale Weltlinien entsprechen ruhenden Objekten, nach rechts geneigte Weltlinien werden von Objekten erzeugt, die sich mit positiver Geschwindigkeit bewegen. Die Geschwindigkeit kann man aus der Steigung der Geraden ablesen.

Ruhende Objekte liegen auf Parallelen zur ct- bzw. ct′-Achse. Linie 1 entspricht einem Objekt, das für Beobachter B ruht, Linie 2 einem, das für Beobachter B' ruht. Objekt 2 sowie die ct′-Achse laufen ein Kästchen nach rechts, während sie vier Kästchen aufsteigen. Das entspricht $\beta=v/c=1/4=0,25$, also u2 = vB′=0,25 c.

Objekt 3 bewegt sich mit u3 = -0,25 c, und somit in die negative x-Richtung. Denn die Kurve neigt sich ein Kästchen nach links, während sie vier Kästchen aufsteigt. Objekt 4 ist am schnellsten. Die Kurve läuft zwei Kästchen nach rechts, während sie drei Kästchen aufsteigt. Das entspricht u4=2/3 c = 0,67 c.

Selbststest
Bestimme die Geschwindigkeiten der Raumschiffe in der Abbildung rechts. Könnte man alle Antriebe (zumindest theoretisch) bauen? (Antwort zeigen)

v1 = - 0,5 c, v2 = - 0,75 c, v3 = 0 , v4 = 0,8 c, v5 = 2 c. Raumschiff 5 widerspricht der Relativitätstheorie, der Antrieb kann auch theoretisch nicht gebaut werden.

Minkowski F2.png

Für den bewegten Beobachter B lassen sich die Geschwindigkeiten nicht so einfach ablesen, denn seine Achsenskalierung ist anders. In diesem Fall für β=0,25 ist e′ = 1,06 e. Die Käschten von B sind in einem kleinen Bereich in Abb.4 angedeutet. Für B ist z. B. die Geschwindigkeit von Objekt 4 nicht -0,42 c, wie die einfache Addition der Geschwindigkeiten ergäbe (Aus Sicht von B bewegt sich B mit -v= -0,25 c. Aus Sicht von B bewegt sich Objekt 4 mit u4=0,67 c. Das ergäbe nach Galilei-Transformation u4 = -v+u4= 0,42 c). Tatsächlich liest man aus dem Diagramm jedoch 0,5 c ab. Das relativistische Additionstheorem der Geschwindigkeiten liefert wie das Diagramm $u'_4 =\frac { u_4-v}{1- \frac {u_4 v} {c^2}}=\frac { 0,67 c-0,25 c}{1- \frac {0,67 c \cdot 0,25 c} {c^2}}= 0,5 c$.

Beispiel: Bestimme die Geschwindigkeiten des Lichtes, von B sowie der Raumschiffe 1,2 und 3 aus Sicht von B mit dem relativistischen Geschwindigkeitstheorem. Für B' liegt die Standardkonfiguration vor, d. h. B' bewegt sich mit positiver Geschwindigkeit gegen B. Daher ist in allen Formeln zur Lorentztransformation die Relativgeschwindigkeit v positiv einzustezen.

Die Geschwindigkeit uLicht aus Sicht von B ist für das Licht +c und -c. Das ergibt für B: $u'_{Licht} =\frac { \pm c-v}{1- \frac {\pm c v} {c^2}}=\pm c\frac { 1 \mp \frac vc}{1 \mp \frac vc}=\pm c$. Wie es das zweite Postulat verlang, sieht B' unabhängig von seiner eigenen Geschwindigkeit stets die Lichtgeschwindigkeit.

Die eigene Geschwindigkeit uB von B aus Sicht von B ist null. Das ergibt für B: $u'_{B} =\frac { 0-v}{1- \frac {0\cdot v} {c^2}}=- v$. B' sieht stets die gleiche Relativgeschwindigkeit v wie B, nur mit dem entgegengesetzten Vorzeichen. Das gleiche ergibt sich für Objekt 1.

Die Geschwindigkeit uB′ von B aus Sicht von B ist v. Das ergibt für B: $u'_{B} =\frac { v-v}{1- \frac {v\cdot v} {c^2}}=0$. B' ruht in seinem Bezugssystem. Das gleiche ergibt sich für Objekt 2.

Die Geschwindigkeit u3′ von Objekt 3 aus Sicht von B ist u3=-v=0,25 c. Das ergibt für B: $u'_{B} =\frac { -v-v}{1- \frac {-v\cdot v} {c^2}}=\frac{- 2 v}{1+(\frac v c)^2}=-0,47 c$. Die Geschwindigkeit, die B sieht, ist also kleiner als die doppelte Relativgeschwindigkeit. Allgemein gilt, dass jeder bewegte Beobachter ein bewegtes Objekt mit einer anderen Geschwindigkeit als ein relativ zu ihm selbst ruhender Beobachter sieht, wobei keiner von beiden eine größere Geschwindigkeit als die Lichtgeschwindigkeit sehen kann.

Gleichzeitigkeit

Abb.5 Vier Ereignisse und zwei Beobachter

Beobachter in verschiedenen Bezugssystemen sind sich in der Regel nicht einig, wann und in welcher Reihenfolge Ereignisse stattfinden. Für den ruhenden Beobachter liegen gleichzeitige Ereignisse an verschiedenen Orten auf horizontalen Geraden, also auf Parallelen zur x-Achse, weil sie die gleiche ct-Koordinate haben. Analog finden für den bewegten Beobachter Ereignisse gleichzeitig statt, die auf Parallelen zur x′-Achse liegen. In Abb.5 sieht der ruhende Beobachter B die Ereignisse entsprechend den ct-Koordinaten (schwarz) in folgender Reihenfolge: zuerst 4, dann 1, danach 2 und 3 gleichzeitig. Der bewegte Beobachter B sieht dagegen die Reihenfolge: zuerst 4 und 1 und 3 gleichzeitig, danach 2. In seinem jeweiligen Bezugssystem hat jeder Beobachter recht. Eine absolute Wahrheit bezüglich der Gleichzeitigkeit und der Reihenfolge gibt es nicht, weil kein Beobachter aufgrund des ersten Postulats feststellen kann, ob er "in Wirklichkeit" ruht.

Stolperfalle: Intuitiv nehmen wir häufig an, dass der ruhende Beobachter Recht hat und der bewegte Beobachter im Irrtum ist. Wenn wir so denken, vergessen wir das erste Postulat. Die Festlegung eines der Beobachter als "ruhend" ist eine willkürliche Wahl. Beide Beobachter sind gleichberechtigt. Wir können mit gleichem Recht auch den anderen Beobachter als ruhend annehmen.
Selbststest
Welche Reihenfolge der Ereignisse in der Abbildung rechts sieht B, welche Reihenfolge sieht B? (Antwort zeigen)

B sieht zuerst gelb und pink gleichzeitig, danach grün und orange gleichzeitig und später schließlich rot und blau gleichzeitig. B sieht zuerst pink und orange gleichzeitig, danach gelb, grün, blau und am Ende rot, alle nacheinander.

Minkowski F3.png