Parität

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Was ist die Parität?

Die Parität gibt an, wie sich eine Funktion unter der Symmetrieoperation Raumspiegelung verhält. Anschaulich erzeugt man eine Raumspiegelung, indem man jeden Punkt eines Objektes gedanklich am Ursprung des Koordinatensystems spiegelt. Mathematisch erzeugt man eine Raumspiegelung einer Funktion, indem man im Argument der Funktion $\vec r$ durch $-\vec r$ ersetzt. Den Faktor, den man vor die gespiegelte Funktion schreiben muss, damit sie mit der ungespiegelten Funktion übereinstimmt, nennt man ihre Parität π: $\psi(-\vec r)=\pi \psi(\vec r)$ mit $\pi=\pm 1$.

Natürlich haben nur solche Funktionen eine definierte Parität, die man überhaupt im Raum spiegeln kann. Solche Funktionen gehen dann bei einer Raumpiegelung entweder in sich selbst oder in ihr Negatives über.

  • Wenn sie in sich selbst übergehen, sind sie symmetrisch unter Raumspiegelung und ihre Parität ist +1.
  • Wenn sie nur ihr Vorzeichen ändern, sind sie antisymmetrisch unter Raumspiegelung und ihre Parität ist -1.
  • Wenn keiner von beiden Fällen zutrifft, hat sie keine definierte Parität.

Beispiel: Parität der Funktion $\vec f(\vec r)=\vec r^3$: Die Spiegelung am Mittelpunkt bei $\vec r=0$ wird bewirkt, indem wir $\vec r$ durch $-\vec r$ ersetzen. Die Funktion geht durch diese Operation in $\vec f(-\vec r)=\vec r^3$ über. Das ist identisch mit $\vec f(\vec r)=(-\vec r)^3$. Sie wechselt dadurch ihr Vorzeichen und ist antisymmetrisch unter Raumspiegelung. Ihre Parität ist somit -1.

Beispiel: Parität der Funktion $f(\vec r)=\vec r^2$: Wir ersetzen wieder $\vec r$ durch $-\vec r$. Die Funktion wird dadurch zu $f(-\vec r)=\vec r^2$. Das ist identisch mit $f(\vec r)=(-\vec r)^2$. Sie geht also in sich selbst über und ist symmetrisch unter Raumspiegelung. Ihre Parität ist somit +1.

Beispiel: Parität der Funktion $\vec f(\vec r)=\vec r+\vec a$: Die Spiegelung erzeugt die Funktion $\vec f(-\vec r)=\vec r+\vec a$ über. Das ergibt $\vec f(\vec r)=-\vec r+\vec a$, was weder $\vec f(\vec r)$ noch $-\vec f(\vec r)$ ist. Die Funktion hat keine definierte Parität.

Anwendungen

Die Parität ist vor allem in der Quantenphysik von Bedeutung. Alle atomaren Wellenfunktionen haben eine genau bestimmte Parität, die nur von der Bahndrehimpulsquantenzahl l abhängt: $\pi = (-1)^l$. Sie entsteht durch die Symmetrien der Kugelflächenfunktionen. Diese Symmetrie ist sehr wichtig zum Verständnis von Auswahlregeln.