Pauli-Prinzip

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Sprachliche Formulierung

Anschauliche Formulierung (Schulniveau)

  • Keine zwei Elektronen können den gleichen Quantenzustand einnehmen.

Quantenmechanische Formulierung

Hintergrund

Das Pauli-Prinzip wird wichtig, sobald man mehrere Teilchen in einem Potenzial betrachtet. Stellen wir uns zum Beispiel einen Atomkern vor, in dem zwei Protonen vorhanden sind. Er kann näherungsweise als unendlich tiefer Potenzialtopf mit zwei darin enthaltenen Teilchen beschrieben werden. Beeinflussen sich die Teilchen gegenseitig oder ist es einem Teilchen egal, ob noch ein anderes Teilchen da ist? Wie muss man nun die Wellenfunktion ansetzen?

Wellenfunktion von zwei Teilchen

Wir nehmen die Wellenfunktion für ein einzelnes Teilchen i sei ψi(xi) als bekannt an, wie für den unendlich tiefen Potenzialtopf. Die gemeinsame Wellenfunktion $\Psi(x_1,x_2)$ für zwei Teilchen muss die Koordinaten x1 und x2 von den beiden Teilchen 1 und Teilchen 2 enthalten und sich in irgendeiner Form aus den Wellenfunktionen ψ1(x1) und ψ2(x2) der einzelnen Teilchen ergeben. Um die gemeinsame Wellenfunktion zu bilden gibt es zwei intuitive Möglichkeiten:

  1. Die gemeinsame Wellenfunktion könnte die Summe der Einzelteilchen-Wellenfunktionen sein: $\Psi (x_{1,}x_2)=\psi _1(x_1)+\psi _2(x_2)$
  2. Die gemeinsame Wellenfunktion könnte das Produkt der Einzelteilchen-Wellenfunktionen sein: $\Psi (x_{1,}x_2)=\psi_1(x_1)\cdot \psi _2(x_2)$

Welcher Ansatz der richtige ist, lässt sich entscheiden, wenn man die Energien betrachtet: Der Summenansatz funktioniert nur dann, wenn beide Teilchen die gleiche SG lösen, d. h. die gleiche Energie E besitzen (siehe Superposion und Linearität). Im eindimensionalen Potenzialtopf müssten sie im gleichen Zustand sein. Und obwohl jedes Teilchen allein die Energie E einbringt, dürften beide Teilchen gemeinsam auch nur die Energie E haben und nicht 2E, wie Energieerhaltung es verlangt. Dieser Ansatz funktioniert somit nicht. Die Summe zweier Ψ's für ein Teilchen liefert uns zwar ein neues Ψ' für ein Teilchen, jedoch kein Ψ für ein System aus zwei Teilchen!

Dagegen wissen wir z. B. aus der Betrachtung des dreidimensionalen Potenzialtopfes, dass sich bei einem Produktansatz der Wellenfunktionen die Energien addieren: Aus $\Psi(x_1,x_2)=\psi_1(x_1)\psi_2(x_2)$ folgt $E=E_1 + E_2$. Daher muss man die gemeinsame Wellenfunktion als Produkt der Einteilchenwellenfunktionen ansetzen.

Ununterscheidbarkeit identischer Teilchen

Superpositionszustand für zwei identische Teilchen in einem Potenzialtopf

Nun tritt folgender neuer Sachverhalt auf: Für zwei Protonen in einem Atomkern gibt es nichts, was ein Proton von einem anderen unterscheidet, es handelt sich um identische Teilchen. Nehmen wir an, wir könnten den beiden Protonen Nummern anheften (1 und 2) und beide befinden sich in unterschiedlichen Zuständen des Potenzialtopfes n1 und n2. Wir können durch nichts unterscheiden, ob nun Proton 1 im Zustand n1 ist und Proton 2 im Zustand n2 ist oder ob die Teilchen vertauscht sind, d. h. Proton 2 im Zustand n1 und Proton 1 im Zustand n2 ist. Völlig analog zum quantenmechanischen Doppelspalt und zu allen "Welcher-Weg?"-Experimenten muss eine korrekte Wellenfunktion aus der Superposition aller Möglichkeiten bestehen, die ein quantenmechanisches System hat. Deshalb müssen wir als gemeinsame Wellenfunktion die Superposition beider Möglichkeiten ansetzen! Das ergibt auf 1 normiert: $$\Psi^\pm(x_1,x_2)=\frac 1{\sqrt 2}\left[\psi_{n_1}(x_1)\psi_{n_2}(x_2) \pm \psi_{n_1}(x_2)\psi_{n_2}(x_1)\right] \ (1)$$

Quantenmechanische Formulierung des Pauli-Prinzips

Mathematisch sind beide Vorzeichen in (1) möglich. Tatsächlich zeigen aber alle Experimente, dass die Natur sich hier sehr seltsam entschieden hat:

  • Für Fermionen (Teilchen mit halbzahligem Spin) existiert nur die Wellenfunktion Ψ- mit dem "-".
  • Für Bosonen (Teilchen mit ganzzahligem Spin) existiert nur die Wellenfunktion Ψ+ mit dem "+".

Symmetrische und antisymmetrische Wellenfunktionen

  • Wir nennen eine Wellenfunktion antisymmetrisch unter einer Operation, wenn sich ihr Vorzeichen unter der Operation umkehrt.
  • Wir nennen eine Wellenfunktion symmetrisch unter einer Operation, wenn sie unter der Operation unverändert bleibt.

Wir untersuchen jetzt die Wellenfunktionen Ψ- und Ψ+ auf ihre Symmetrie unter der Operation Teilchenaustauch, d. h. wenn die Koordinaten der Teilchen vertauscht werden:

Fermionen: Ψ-: $\Psi^-(x_1,x_2)=\frac 1{\sqrt 2}\left[\psi_{n_1}(x_1)\psi_{n_2}(x_2) - \psi_{n_1}(x_2)\psi_{n_2}(x_1)\right]$ Symmetrie
Vertauschte Teilchen: $\begin{align*}\Psi^-(x_2,x_1)&=\frac 1{\sqrt 2}\left[\psi_{n_1}(x_2)\psi_{n_2}(x_1) - \psi_{n_1}(x_1)\psi_{n_2}(x_2)\right]\\ &=-\frac 1{\sqrt 2}\left[\psi_{n_1}(x_1)\psi_{n_2}(x_2) - \psi_{n_1}(x_2)\psi_{n_2}(x_1)\right]\\ &=-\Psi^-(x_1,x_2)\end{align*}$ $\to \Psi^-(x_1,x_2)$ ist antisymmetrisch unter der Operation Teilchenaustausch
Bosonen: Ψ+: $\Psi^+(x_1,x_2)=\frac 1{\sqrt 2}\left[\psi_{n_1}(x_1)\psi_{n_2}(x_2) + \psi_{n_1}(x_2)\psi_{n_2}(x_1)\right]$ Symmetrie
Vertauschte Teilchen: $\begin{align*}\Psi^+(x_2,x_1)&=\frac 1{\sqrt 2}\left[\psi_{n_1}(x_2)\psi_{n_2}(x_1) + \psi_{n_1}(x_1)\psi_{n_2}(x_2)\right]\\ &=-\frac 1{\sqrt 2}\left[\psi_{n_1}(x_1)\psi_{n_2}(x_2) + \psi_{n_1}(x_2)\psi_{n_2}(x_1)\right]\\ &=\Psi^+(x_1,x_2)\end{align*}$ $\to \Psi^+(x_1,x_2)$ ist symmetrisch unter der Operation Teilchenaustausch

Somit kommen wir zur quantenmechanischen Formulierung des Pauli-Prinzips:

Anschauliche Formulierung des Pauli-Prinzips

Konsequenz der Antisymmetrie für Fermionen im gleichen Zustand

Die Antisymmetrie der Gesamtwellenfunktion für Fermionen hat Folgen. Denn wenn sich zwei Fermionen im gleichen Zustand n1 = n2 =n befinden, verschwindet aufgrund des "-"-Zeichens die Wellenfunktion: $$\Psi^-(x_{1,}x_2)=\frac 1{\sqrt 2}[\psi_n(x_1)\psi _n(x_2)- \psi_n(x_2)\psi _n(x_1)]=0.$$ Das bedeutet, dass identische Fermionen nicht im gleichen Quantenzustand sein können. Elektronen sind Fermionen. Das führt auf die bekannte Formulierung:

  • Identische Elektronen können nicht den gleichen quantenmechanischen Zustand einnehmen.

Beispiel: Zwei Elektronen im unendlich tiefen Potenzialtopf:

  • n1=1, n2 = 1: $\Psi^-(x_1,x_2)=\sqrt{\frac 2{\sqrt 2a}}[\sin (\frac{\pi } ax_1)\sin (\frac{\pi } ax_2)-\sin (\frac{\pi } ax_2)\sin (\frac{\pi } ax_1)]=0$
  • n1=1, n2 = 2: $\Psi^-(x_1,x_2)=\sqrt{\frac 2{\sqrt 2a}}[\sin (\frac{\pi } ax_1)\sin (\frac{2\pi } ax_2)-\sin (\frac{\pi } ax_2)\sin (\frac{2\pi } ax_1)]\ne0$

Spin

Dennoch sehen wir in Atomen zwei Elektronen im scheinbar gleichen atomaren Zustand, bzw. im Atomkern zwei identische Nukleonen im scheinbar gleichen Kernzustand. Tatsächlich unterscheiden sich die Elektronen bzw. Nukleonen jedoch in einer weiteren Eigenschaft, nämlich ihrem Spin, so dass das Pauli-Prinzip erfüllt bleibt.