Radioaktivität und Kernzerfälle

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Radioaktivität

Entdeckung

Unter Radioaktivität versteht man die Fähigkeit bestimmter Nuklide, von sich aus spontan Teilchen und γ-Strahlung aussenden zu können. Die dazu notwendige Energie gewinnt das Nuklid durch die Umwandlung in ein anderes Nuklid. Obwohl es sich um eine Umwandlung handelt, spricht man in der Regel nur vom "Zerfall" des Ausgangsproduktes oder vom Kernzerfall. Entdeckt wurde die Radioaktivität 1896 von Antoine Henri Bequerel. Wie so oft in der Physik war dabei auch der Zufall im Spiel: Bequerel experimentierte mit Uransalzen. Dabei lagerte er Fotoplatten in der Nähe einiger Uranpräparate und entdeckte, dass diese die Fotoplatten schwärzen konnten. Daher nannte er die Strahlung auch zuerst Uranstrahlen. Nach ihm ist auch die Einheit der Aktivität einer radioaktiven Substanz benannt. Als Aktivität bezeichnet man die Anzahl der in Zerfälle (Umwandlungen) pro Sekunde: 1 Bq = 1/s. Die Einheit Bequerel hat also die gleiche Dimension wie die Frequenz. Kernzerfälle können durch einige wenige Mechanismen stattfinden. Am bekanntesten sind der α- und der β-Zerfall. Doch egal, durch welchen Mechanismus der Zerfall stattfindet: Er genügt immer dem Zerfallsgesetz, das angibt, wie die Menge des zerfallenden Nuklids mit der Zeit abnimmt.

Zerfallsgesetz

Abb.1 Analogie: 20% der Glühbirnen fallen pro Jahr aus

Um das Zerfallsgesetz zu verstehen, betrachten wir zuerst eine Analogie. Stellen wir uns ein Großraumbüro vor, dass durch 25 Glühbirnen beleuchtet wird. Die Glühbirnen sind so gefertigt, dass jedes Jahr ca. 20% von ihnen ausfallen. Das entspricht einer Ausfallquote von λ = 0,2. Wenn keine defekte Glühbirne ersetzt wird, dann entwickelt sich die Anzahl N der leuchtenden Glühbirnen wie

1 Jahr → N = 20 2 Jahr → N = 16 3 Jahr → N = 13 4 Jahr → N = 10 5 Jahr → N = 8 6 Jahr → N = 6

Nach etwas mehr als drei Jahren ist bereits die Hälfte der Glühbirnen defekt und nach sechs Jahren ist es schon recht dunkel in dem Büro. Atomkerne zerfallen wie diese Glühbirnen. Wir modellieren diesen Prozess nun mathematisch: Die Anzahl der im Zeitintervall dt zerfallenden Kerne ist proportional zur Anzahl N der noch vorhandenen Kerne: $\frac{dN} {dt} \propto N= - \lambda N$. Dies ist eine Differentialgleichung, die durch Trennung der Variablen integriert werden kann. Wir trennen die Variablen $\frac{dN}{N}= - \lambda dt$ und integrieren jede Seite $\int\limits_{N_0}^N {\frac{dN'}{N'}}=\int \limits_0^t {-\lambda dt'} \to \ln(\frac N {N_0})=-\lambda t$. Das Ergebnis wird exponenziert und nach N(t) aufgelöst. Unser Ergebnis ist das

Zerfallsgesetz $N(t)= N_0 e^{- \lambda t}\qquad\qquad\text{(1)}$

Die Zerfallskonstante λ wird in der Regel durch die Halbwertszeit T1/2 ersetzt. Das ist die Zeit, nach der die Hälfte der Ausgangsmenge zerfallen ist. Wir erhalten sie aus der Zerfallskonstante über den Ansatz $N(T_{1/2})= \frac 1 2 N_0\to \frac{N_0}{2} = N_0 e^{- \lambda T_{1/2}}$. Das ergibt $\frac 1 2 = e^{- \lambda T_{1/2}}\to\ln(\frac 1 2)=-\lambda T_{1/2}\to T_{1/2}=\frac{\ln(2)}{\lambda}$. Mit der Halbwertszeit wird (1) zu

Zerfallsgesetz mit Halbwertszeit $N(t)= N_0 e^{- \frac{\ln(2)}{T_{1/2}} t}\qquad\qquad\text{(2)}$

Beispiel: Für einen Praktikumsversuch wurde ein Nuklid mit einer Aktivität von A = 0,4 MBq im Jahr 2005 angeschafft. Die Halbwertszeit des Nuklids ist T1/2 = 5 Jahre. Welche Aktivität hat das Nuklid im Jahr 2020?

Bis zum Jahr 2020 sind drei Halbwertszeiten vergangen. Daher hat sich die Menge bis dahin 3 mal halbiert. Es wird also nur noch $\frac 12\cdot\frac 12\cdot\frac 12 =\frac 18$ der Ausgangsmenge vorhanden sein. Daher ist auch die Aktivität nur noch $\frac 18$ der Ausgangsaktivität: A(t = 2020) = 1/8 A(t = 2005) = 0,05 MBq.

Kernzerfälle

Kerne können nicht beliebig zerfallen. Ein Zerfall ist nur dann möglich, wenn die notwendige Energie durch den Kern aufgebracht werden kann und wenn es physikalische Prozesse gibt, durch die die Umwandlung in ein anderes Nuklid stattfinden kann. Denn prinzipiell sind die Nukleonen durch die Kernkraft fest an den Kern gebunden und können ohne Aufbringen der Bindungsenergie nicht abgetrennt werden.

α-Zerfall

Abb.2 Beim α-Zerfall tunnelt ein α-Teilchen durch den Coulomb-Wall

Große Kerne können in einen stabileren Kern übergehen, indem sie sich verkleinern. Denn die Bindungeenergie pro Nukleon hat ihr Maximum bei Eisen (A = 56). Ein Kern mit A = 112 könnte also Energie freisetzen, indem er sich in zwei Kerne mit A = 56 spaltet. Obwohl dieser Prozess energetisch möglich wäre, findet er spontan nicht statt. Denn dazu müsste der Kern zuerst einmal die Energie aufbringen, um 56 Bindungen zu "knacken", bevor er den anschließenden Energiegewinn als kinetische Energie der zwei einzelnen Kerne freisetzt. Tatsächlich kann der Kern nicht einmal eine einzige Bindung "knacken" und ein einzelnes Proton oder Neutron abwerfen, wenn man ihm nicht die notwendige Energie zuführt. Um Teilchen loszuwerden, muss der Kern irgendwie die notwendige Energie temporär erzeugen. Das ist genau der Hintergrund, warum große Kerne einen α-Zerfall machen. Denn α-Teilchen sind doppelt magisch und sehr stabil. Wenn sich zwei Protonen und zwei Neutronen zu einem α-Teilchen zusammenfinden, dann setzen sie eine Bindungsenergie von 28,5 MeV frei, die dem α-Teilchen als kinetische Energie zukommt. Der Gag ist nun, dass sich auch in einem Kern vier Nukleonen zu einem α-Teilchen zusammenschließen können. So wie in einer Fußballmannschaft vier Spieler kurzzeitig zusammen eine kleine Untermannschaft bilden können, um durch einen besonders pfiffigen Spielzug ein Tor zu schießen. Wenn sich zwei Protonen und zwei Neutronen zusammenschließen, erhält das entstehende α-Teilchen eine große kinetische Energie, wodurch es im Potenzialbild, d.h. im Potenzialtopf stark angehoben wird (Abb.2). Zwar hat es immer noch keine ausreichende Energie, um den Kern zu verlassen. Doch ist es nun auf einer Höhe, in der die Potenzialwand durch den Coulomb-Wall gebildet wird und nur noch eine endliche Dicke hat. Durch diesen Wall kann es nun mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit tunneln und so den Kern verlassen. Die magere Bindungsenergie von 2,25 MeV eines Deuterons hebt dieses nicht weit genug an. Daher können Kerne keine Deuteronen emittieren. Größere "Unterkerne" bilden sich stark abnehmender Wahrscheinlichkeit. Je mehr Teilchen sich zusammenfinden müssen, umso unwahrscheinlicher wird der Prozess. Daher verbleibt nur der α-Zerfall als Möglichkeit eines Kerns, Nukleonen abzuwerfen.

Energiespektrum

Abb.3 Energiespektrum von α-Teilchen

Die bei der Umwandlung freiwerdende Energie ΔE verteilt sich als kinetische Energie auf die zwei nach der Reaktion vorhandenen Teilchen, nämlich den neuen Kern und das α-Teilchen. Wer vieviel Energie bekommt, wird durch das Massenverhältnis bestimmt. Betrachtet man den Zerfall im Schwerpunktsystem des Kerns (Index K), dann ist der Impuls vor dem Zerfall Null und muss auch nach dem Zerfall Null sein. Für die Impulse muss also gelten $m_K v_K = m_{\alpha} v_{\alpha}$. Energieerhaltung verlangt $\frac 12 m_{K} v_{K}^2 +\frac 12 m_{\alpha} v_{\alpha}^2=\Delta E$. Daraus errechnet man für die kinetische Energie des α-Teilchens $E_{\alpha}=\frac{\Delta E}{\frac{m_{\alpha}}{m_{K}}+1}$. Daher erhalten die α-Teilchen eine feste Energie, die für den jeweiligen Zerfall charakteristisch ist (Abb.3).

β-Zerfall

Die Energiezustände für Protonen und Neutronen sind aufgrund der Coulomb-Abstoßung der Protonen nicht gleich. Die Protonenzustände liegen oberhalb der äquivalenten Neutronenzustände. Sie sind umso stärker zu höheren Energien verschoben, je mehr Protonen der Kern hat. In stabilen Kernen sind beide Zustände bis zu einer gemeinsamen obersten Energie gefüllt. Daher haben große Kerne eine höhere Neutronen- als Protonenanzahl. Nuklide, bei denen die Besetzung der Zustände davon abweicht, können Protonen in Neutronen umwandeln oder umgekehrt. Das ist der Hintergrund des β-Zerfalls.

β--Zerfall

Abb.4 β--Zerfall

Beim β--Zerfall werden Neutronen in Protonen umgewandelt (Abb.4). Die Reaktionsgleichung lautet

β--Zerfall:  ${}^A_Z \text{N} \to {}_{Z+1}^{\phantom{Z+}A}\text{N}' +e^\text{-}+\bar\nu_e$

Daher findet man ihn bei Nukliden, deren Neutronenanzahl N zu groß ist. Der Zerfall geschieht über die schwache Wechselwirkung. Der Kern emittiert dabei ein Elektron und ein Elektron-Antineutrino. Die Elektronen bezeichnet man auch als β-Strahlung.

Energiespektrum

Abb.5 Energiespektrum der β--Elektronen

Die beim Zerfall freiwerdende Energie verteilt sich statistisch auf beide Teilchen. Daher ist das Spektrum der Energie der Elektronen kontinuierlich von 0 bis zu einem Maximalwert verteilt (Abb.5). Der Maximalwert ist durch die bei der Umwandlung frei werdene Energie gegeben. Diese Energien liegen typischerweise im MeV-Bereich. Gerade diese kontinuierliche Energieverteilung hat zur Vorhersage des Existenz des Neutrinos geführt. Denn würde nur ein Elektron ausgesendet, dann müsste sich wie beim α-Zerfall die freiwerdende Energie entsprechend dem Massenverhältnis von Kern und Elektron auf diese beiden Teilchen verteilen. Die Elektronen müssten wie beim α-Zerfall eine feste Energie haben. Die Beobachtung, dass es nicht so ist, erforderte die Existenz eines weiteren Teilchens.

Auch das freie Neutron macht einen β--Zerfall $n \to p +e^\text{-}+\bar\nu_e$. Die freiwerdende Energie von 0,78 MeV entspricht dem Massenunterschied zwischen Proton und Neutron. Die Halbwertszeit freier Neutronen beträgt ca. 10 min.

β+-Zerfall

Abb.6 β+-Zerfall

Beim β+-Zerfall werden Protonen in Neutronen umgewandelt (Abb.6). Die Reaktionsgleichung lautet

β--Zerfall:  ${}^A_Z \text{N} \to {}_{Z-1}^{\phantom{Z+}A}\text{N}' +e^\text{+}+\nu_e$

Daher findet man ihn bei Nukliden, deren Protonenanzahl Z zu groß ist. Der Zerfall geschieht über die schwache Wechselwirkung. Der Kern emittiert dabei ein Positron und ein Elektron-Neutrino. Die Positronen bezeichnet man auch als β+-Strahlung.

Energiespektrum

Abb.7 Vernichtungsstrahlung der Positronen

Das Spektrum der Positronenenergien ist wie beim β--Zerfall kontinuierlich. Allerdings werden die Positronen in der Regel zügig von Teilchen der Umgebung eingefangen und annihilieren mit den vorhandenen Elektronen. Dabei wird charakteristische γ-Strahlung erzeugt, die sogenannte Vernichtungsstrahlung. Sie besteht aus zwei γ-Quanten der Energie 0,511 MeV, d.h. der Ruheenergie von Elektron und Positron. Denn im Schwerpunktsystem des sich vernichtenden Elektron-Positron-Paares muss der Gesamtimpuls Null sein. Das ist nur möglich, wenn die beiden γ-Quanten im Schwerpunktsystem in entgegengesetzte Richtung davon fliegen und die gleiche Energie besitzen. Und ihre Energien müssen gleich den Ruheenergien der vernichteten Teilchen sein.

Das freie Proton kann nicht zerfallen, denn es ist leichter als das Neutron. Nach heutigem Wissen ist das Proton stabil.

K-Einfang

Abb.8 K-Einfang

Beim sogenannten K-Einfang wird ein Elektron aus der K-Schale der Elektronenhülle vom Kern eingefangen. Dabei wird ein Proton in ein Neutron umgewandelt (Abb.8). Das ist möglich, weil die s-Elektronen der K-Schale eine merkliche Aufenthaltswahrscheinlichkeit im Kern haben. Die Reaktionsgleichung lautet

K-Einfang:  ${}^A_Z \text{N} +e^\text{-}\to {}_{Z-1}^{\phantom{Z+}A}\text{N}' +\nu_e$

Daher findet man ihn ebenfalls bei Nukliden, deren Protonenanzahl Z zu groß ist. Der Zerfall geschieht über die schwache Wechselwirkung. Der Kern emittiert dabei ein Elektron-Neutrino. Da außerdem ein inneres Hüllenelektron entfernt wird, entsteht charakteristische Röntgenstrahlung aus der atomaren Hülle.

Spontane Spaltung

Bei sehr schweren Kernen kann als sehr seltener Prozess eine spontane Spaltung auftreten. Dabei teilt sich der Kern asymmetrisch in zwei Kerne mit unterschiedlichen Massenzahlen.

γ-Strahlung

Abb.9 Erzeugung von γ-Strahlung

Obwohl der Begriff "Gamma-Zerfall" häufig zu hören ist, kann kein Kern nur durch γ-Strahlung zerfallen. γ-Strahlung ist stets eine Folge eines vorangegangenen anderen Zerfalls, der einen angeregten Kern erzeugt. Die γ-Strahlung entsteht dann als Folgeprozess, indem ein Proton oder ein Neutron von einem angeregten Energiezustand in einen niedrigeren Energiezustand wechslt (Abb.9).


Literatur

[1]
  1. Randy Harris, Moderne Physik, Pearson Deutschland GmbH, München (2013)