Rechteckpotenziale

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Was sind Rechteckpotenziale?

Rechteckpotenziale sind Näherungen für reale Potenziale.

Rechteckpotenziale lassen sich stückweise aus Bereichen mit verschiedenem konstanten Potenzial zusammensetzen. Dabei darf jedes Stück entweder $V=0$, ein beliebiger konstanter Wert $V=V_0$ oder $V=\infty$ sein. Konstante Potenziale entsprechen einer verschwindenden Kraft, während an den Anschlussstellen eine unendlich große Kraft entsteht. Daher mag einem die Anwendung solche Potenziale im ersten Moment physikalisch unsinnig erscheinen. Man muss sie sich als Näherungen für reale Potenziale vorstellen. Der Reiz dieser Näherung liegt in der mathematischen Einfachheit. Außerdem lassen sich die Lösungen sehr gut auf reale Potenziale übertragen und zeigen bereits alle wesentlichen Eigenschaften der realen Potenziale.

Lösungsansätze für die Wellenfunktion

Für eine konstantes Potenzial lautet die stationäre SG: $$ (-\frac{\hbar ^2}{2m}\frac{\partial ^2}{\partial x^2}+V_0)\, \psi(x)=E\, \psi(x) $$ Sie wird gelöst durch komplexe ebene Wellenfunktionen $\psi(x)=\psi _0 e^{\pm i\frac{\sqrt{2m(E-V_0)}}{\hbar }x}$, was man durch Einsetzen unmittelbar sieht: $$\begin{align*} (-\frac{\hbar ^2}{2m}\frac{\partial ^2}{\partial x^2}+V_0)\psi _0e^{\pm i\frac{\sqrt{2m(E-V_0)}}{\hbar }x} &=-\frac{\hbar ^2}{2m}\left (\pm i\frac{\sqrt{2 m (E-V_0)}}{\hbar }\right)^2\psi _0e^{\pm i\frac{\sqrt{2m(E-V_0)}}{\hbar }x}+V_0 \psi _0e^{\pm i\frac{\sqrt{2m(E-V_0)}}{\hbar}x}\\ &=(E-V_0)\psi _0e^{\pm i\frac{\sqrt{2m(E-V_0)}}{\hbar }x}+V_0 \psi _0e^{\pm i\frac{\sqrt{2m(E-V_0)}}{\hbar}x}\\ &=E\psi _0 e^{\pm i\frac{\sqrt{2m(E-V_0)}}{\hbar }x} \end{align*}$$ Komplexe Wellenfunktionen entsprechen oszillierenden (harmonischen) Wellen, denn sie können mit der Euler-Formel $e^{iy}=\cos(y)+i \sin(y)$ zerlegt werden. Sowohl der Realteil als auch der Imaginärteil oszilliert. Sie entstehen, wenn E > V0 ist.

Analog löst auch die reelle Wellenfunktion $\psi(x)=\psi _0 e^{\pm \frac{\sqrt{2m(V_0-E)}}{\hbar }x}$ diese SG, was man durch Einsetzen ebenso unmittelbar sieht. Reelle Wellenfunktionen entsprechen exponentiell ansteigenden oder abfallenden Funktionen, denn auf sie ist die Euler-Formel nicht anwendbar. Sie entstehen, wenn E < V0 ist, weil dann die Wurzel $\sqrt{2m(E-V_0)}$ negativ wird und folglich $\sqrt{2m(E-V_0)}=\sqrt{-2m(V_0-E)}=i\sqrt{2m(V_0-E)}$ ist. Damit wird der Exponent $i k x= i \left(i\frac{\sqrt{2m(V_0-E)}}\hbar\right)x=-\frac{\sqrt{2m(V_0-E)}}\hbar x=-\alpha x$ reell.

Zusammenhang zwischen Wellengrößen k, ω und Teilchengrößen p, E

Für ein konstantes Potenzial V lösen ebene Wellen $\Psi (x,t)=\Psi _0e^{\pm i(kx-\omega t)}$ die SG. Darin legen die De-Broglie-Beziehungen $E=\hbar \omega =h\nu$ und $p=\hbar k=\frac h{\lambda }$ die Ausdrücke für k und ω fest.

  • Bestimmung von k:
    • Aus $E=E_{\mathit{kin}}+V\ \Rightarrow \ E_{\mathit{kin}}=E-V=\frac{p^2}{2m}$ und damit $p=\sqrt{2m(E-V)}=\hbar k$. Das ergibt $k=\frac{\sqrt{2m(E-V)}}{\hbar }$
    • Ebene Welle: $\Psi (x,t)=\Psi _0e^{i(\frac{\sqrt{2m(E-V)}}{\hbar }x-\omega t)}$
  • Bestimmung von ω:
    • Aus $E=\hbar \omega \ \Rightarrow \ \omega =\frac E{\hbar }$
    • Ebene Welle $\Psi (x,t)=\Psi _0e^{i(\frac{\sqrt{2m(E-V)}}{\hbar }x-\frac E{\hbar }t)}$

Ψ kann auch als Produkt geschrieben werden: $\Psi (x,t)=\psi (x)\cdot \Phi (t)=\psi_0e^{i\frac{\sqrt{2m(E-V)}}{\hbar }x}\cdot e^{-i\frac E{\hbar }t}$. Weil $\hat H$ nicht von der Zeit abhängt, genügt es nur den zeitunabhängigen Faktor $\psi(x)$ zu bestimmen und die stationäre SG zu lösen.

Allgemeine Lösungsstrategie

So wie man die Potenziale stückweise zusammensetzt, werden auch die Wellenfunktionen stückweise zusammengesetzt. Wenn man freie Teilchen betrachtet, gibt man die Energie E des Teilchens vor. Wenn man gebundene Teilchen betrachtet, bestimmt man die Energie aus der Lösung der SG.

Schritte zur Lösung

Die Energie bestimmt, ob ein Teilchen frei, einseitig beschränkt oder gebunden ist.
  1. Schritt: Man wählt eine Bedingung für Gesamtenergie E und die Einfallsrichtung des Teilchens, das man in dem Potenzial untersuchen möchte:
    1. Man untersucht ein freies Teilchen, wenn E größer ist als alle Potenziale.
    2. Man untersucht ein einseitig beschränktes Teilchen, wenn E kleiner ist als das größte Potenzial.
    3. Man untersucht ein gebundenes Teilchen, wenn E kleiner ist als ein links und ein rechts beschränkendes Potenzial.
    4. Freie oder einsetig beschränkte Teilchen lässt man i. d. R. von -∞ kommend einfallen.
  2. Schritt: Man unterteilt das Potenzial in verschiedene Bereiche I, II, III ... mit gleichem V und macht für jeden Bereich einen Ansatz für die Wellenfunktion nach folgenden Kriterien, wobei die noch unbekannten Amplituden einfach alphabetisch aufsteigend bezeichnet werden:
    1. $E > V_0$: Linearkombination oszillierender $\psi=A e^{ikx}+B e^{-ikx}$ mit unbekannten Amplituden A, B.
    2. $E < V_0$: Linearkombination exponentieller $\psi=C e^{\alpha x}+D e^{-\alpha x}$ mit unbekannten Amplituden C, D. Wenn der Bereich nach -∞ nicht beschränkt ist, darf nur die ansteigende Exponentialfunktion vorkommen, damit Ψ nicht unendlich anwächst. Wenn der Bereich nach +∞ nicht beschränkt ist, darf nur die abfallende Exponentialfunktion vorkommen, damit Ψ nicht unendlich anwächst.
    3. $V_0=\infty$: ψ=0
  3. Schritt: Man wendet auf jeden Übergangsbereich I → II bei x1, II→III bei x2, ... die Stetigkeitsbedingungen an.
    1. $\psi_I(x_1)=\psi_{II}(x_1)$ und ${\psi_I}'(x_1)={\psi_{II}}'(x_1)$
    2. $\psi_{II}(x_2)=\psi_{III}(x_2)$ und ${\psi_{II}}'(x_2)={\psi_{III}}'(x_2)$
    3. ...
  4. Schritt: Man berechntet aus den Gleichungen, die man durch Schritt 3 erhält, die unbekannten Amplituden A, B, C .... und erhält dadurch die Lösung für die Wellenfunktion 𝜓.
  5. Schritt: Berechnung der Energien:
    1. Bei freien Teilchen entfällt dieser Schritt, denn Schritt 3 ergibt einseitige Randbedingungen. Das Teilchen kann beliebige Energien E bzw. die Welle beliebige Werte für k haben, die man vorgeben kann.
    2. Bei gebundenen Teilchen ergibt Schritt 3 beidseitige Randbedingungen für die Wellenfunktionen, wodurch nur noch bestimmte kn-Werte für die Wellenfunktion erlaubt sind, die man durch eine Quantenzahl n indiziert. Man berechnet die möglichen Energien En aus dem Ausdruck $k_n=\sqrt{2 m (E_n-V_0)}/\hbar$ oder durch Einsetzen von 𝜓 in die SG.

Selbsttest

Kontrollfragen

Ein Teilchen trifft von links auf einen Potenzialwall.
Das Bild rechts zeigt ein Potenzial, in das ein Teilchen von links mit der gezeigten Energie E einfällt. Welcher Lösungsansatz muss für die Wellenfunktion im Bereich II gewählt werden? (Antwort zeigen/verbergen)

Die Energie E ist kleiner als V0, daher müssen die exponentiellen Ansätze gewählt werden: $\psi=C e^{\alpha x}+D e^{-\alpha x}$.

Muss eine der Amplituden des Lösungsansatzes für die Wellenfunktion im Bereich II zwangläufig null sein? (Antwort zeigen/verbergen)

Nein, denn der Lösungsansatz ist auf den Bereich 0 < x < a beschränkt, daher kann die Wellenfunktion nicht unendlich anwachsen und beide Amplituden sind ≠ 0.

Beipiele

Potenzialstufe

Eine Potenzialstufe der Höhe V0 bei x = 0
  1. Eine Potenzialstufe entspricht einem freien Teilchen mit der kinetischen Energie E, das auf einen Potenzialsprung der Höhe V0 trifft. Der Potenzialsprung erzeugt eine Kraft, die auf das Teilchen wirkt. Sie wirkt nur bei x = 0, also dort, wo die Stufe ansteigt. Die Kraft kann das Teilchen abbremsen (wenn E > V0 ist) oder zur Umkehr zwingen (Reflexion, wenn E < V0 ist). Wir untersuchen ein einseitig beschränktes Teilchen mit E < V0, das an der Stufe reflektiert wird. Wir wählen die Bereiche I: x < 0, V = 0 und II: x ≥ 0, V = V0;. Die zugehörigen SG sind:
    Bereich I Bereich II
    $\left(-\frac{\hbar ^2}{2m}\frac{\partial ^2}{\partial x^2}\right)\psi =E\psi$ $\left(-\frac{\hbar ^2}{2m}\frac{\partial ^2}{\partial x^2}+V_0\right)\psi =E\psi$
  2. Lösungansätze:
    Bereich I Bereich II
    $\Psi _{\text I}(x)=Ae^{ikx}+Be^{-ikx}$ $\Psi _{\text{II}}(x)=\underbrace{Ce^{\alpha x}}_{=0}+De^{-\alpha x}$

    Da die Wellenfunktion im Bereich II nach rechts nicht beschränkt ist und nicht unendlich anwachsen darf, ist nur C = 0 erlaubt.

  3. Stetigkeitsbedingungen:
    Bereich I → II, x =0
    $\Psi _{\text I}(0)=\Psi _{\text{II}}(0)$ $A+B=D\ \to \ B=D-A$ (1)
    $\Psi' _{\text I}(0)=\Psi' _{\text{II}}(0)$ $ikA-ikB=-\alpha D$ (2)
  4. Berechnung der Wellenfunktionen:
    (1) in (2): $ikA-ikB=ikA-ik(D-A)=-\alpha D\ \ \rightarrow \ D=\frac{2ik}{ik-\alpha }A\ (3)$
    (3) in (1): $B=\frac{2ik}{ik-\alpha }A-A\to B=\frac{ik+\alpha }{ik-\alpha }A$
    Lösung: $\Psi _{\text I}(x)=A(e^{ikx}+\frac{ik+\alpha }{\mathit{ik}-\alpha }e^{-ikx})$ und $\Psi _{\text{II}}(x)=A\frac{2ik}{\mathit{ik}-\alpha }e^{-\alpha x}$

    Die Amplitude A kann beliebig gewählt oder gleich 1 gesetzt werden. Das nachfolgende Java-Applet (erzeugt mit EjsS) zeigt die Lösung für eine variable kinetische Energie des einfallenden Teilchens. Während ein klassisches Teilchen dirket an der Wand, d. h. bei x = 0 reflektiert wird, kann ein quantenmechanisches Teilchen in den verbotenen Bereich bei x > 0 eindringen und wird innerhalb der Wand reflektiert. Die Aufenthaltswahrscheinlichkeit nimmt in der Wand exponentiell ab, d. h. mit größer Wahrscheinlichkeit wird das Teilchen kurz hinter der Wand reflektiert.

    Java-Applet
    Die Simulation zeigt die Wellenfunktion 𝜓 eines Teilchens, das von links kommend mit einer kinetischen Energie E < V0 auf eine Potenzialstufe der Höhe V0 trifft Die kinetische Energie kann verändert werden. Es werden Re(𝜓), Im(𝜓) und |𝜓|² angezeigt. (Autorin: Elke Heinecke, erzeugt mit EjsS, Probleme mit dem Applet?, Neuer Firefox ab Version 52?).
    Bitte hier klicken, wenn die Simulation nicht startet (Download Jar-File)

Unendlich tiefer Potenzialtopf

Potenzialtopf der Breite a mit unendlich hohen Wänden
  1. Wir untersuchen ein beidseitig durch V = ∞ beschränktes und somit gebundenes Teilchen im Potenzial V = 0 mit 0 < E < ∞ und wählen die Bereiche I: x < 0, V = ∞ und II: 0 ≤ xa, V = 0 und III: x > a, V = ∞. Die zugehörige SGII ist:
    Bereich I Bereich II Bereich III
    keine, weil V = ∞ → Ψ=0 $\left(-\frac{\hbar ^2}{2m}\frac{\partial ^2}{\partial x^2}\right)\psi =E\psi$ keine, weil V = ∞ → Ψ=0
  2. Lösungansätze:
    Bereich I Bereich II Bereich III
    $\Psi_{\text I}=0$ $\Psi _{\text{II}}(x)=Ae^{ikx}+Be^{-ikx}$ $\Psi_{\text{III}}=0$
  3. Stetigkeitsbedingungen:
    Bereich I → II, x =0 Bereich II → III, x =a
    $\Psi _{\text I}(0)=\Psi _{\text{II}}(0)$ $A+B=0\ \to \ B=-A$ (1) $\Psi _{\text {II}}(a)=\Psi _{\text{III}}(a)$ $Ae^{ika}+Be^{ika}=0$ (2)
    $\Psi' _{\text {I}}(0)=\Psi' _{\text{II}}(0)$ entfällt, weil ΨI =0 - $\Psi' _{\text {II}}(0)=\Psi' _{\text{III}}(0)$ entfällt, weil ΨIII =0 -
  4. Berechnung der Wellenfunktion:
    (1) in (2): $Ae^{ika}-Ae^{-ika}=0$

    $\begin{align*}\to A\left[e^{ika}-e^{-ika}\right]&=A\left[\cos(ka)+i\sin (ka)-(\cos(ka)-i\sin (ka))\right]\\ &=A\cdot 2i\sin (ka)=0\end{align*}$
    $\to \sin(ka)=0$ mit beliebigen Amplituden A. (3)

    Quantisierung von k aus (3): $\sin(ka)=0\to k_na=n\pi \to k_n=n\frac{\pi } a \ (4)$
    Quantisierung von E aus (4): $n\frac{\pi } a=\frac{\sqrt{2mE_n}}{\hbar}\ \Rightarrow \ E_n=\frac{(n\hbar \pi )^2}{2ma^2}$
    Lösung: Wellenfunktionen $\Psi _n(x)=N\sin (n\frac{\pi } ax)$, Energien $E_n=\frac{(n\hbar \pi )^2}{2ma^2}$

    Die Amplitude N kann durch Normierung $N^2\int _0^a\sin ^2(n\frac{\pi } ax)\mathit{dx} =1$ bestimmt werden:
    $\int _0^a\sin ^2(n\frac{\pi } ax)dx =[\frac x 2-\frac a{4n\pi }\sin (2n\frac{\pi }ax)]_0^a=\frac a 2$
    $\to N^2\frac a 2=1 \ \to \ N=\sqrt{\frac 2 a}$
    Lösung: Normierte Wellenfunktion $\Psi _n(x)=\sqrt{\frac 2 a}\sin (n\frac{\pi } ax)$

    Für den Potenzialtopf ergeben sich aufgrund der beidseitigen Randbedingungen nur ganz bestimmte mögliche Energien En und zugehörige Wellenfunktionen Ψn. Die Wellenfunktionen sind reell. Das folgende Java-Applet zeigt sie.

    Java-Applet Animation quantenmechanischer Potenzialtopf mit unendlich hohen Wänden
    Die Simulation zeigt die Energien E, Wellenfunktionen 𝜓 und Aufenthaltswahrscheinlichkeiten |𝜓|2 eines Teilchens, das zwischen zwei Wänden mit unendlich hoher potenzieller Energie eingesperrt ist. In diesem Fall kann die Energie nur solche Werte En annehmen, für die die zugehörige Wellenfunktion an den Wänden null ist. Der Abstand a der Wände kann verändert werden.(Autorin: Elke Heinecke, erzeugt mit EjsS, Probleme mit dem Applet?, Neuer Firefox ab Version 52?).
    Bitte hier klicken, wenn die Simulation nicht startet (Download jar-File)

Lösungen diverser Rechteckpotenziale

Die Stufe

Der Wall

Der endlich tiefe Topf

Der Doppeltopf

Das Atom genähert durch Rechteckpotenziale