Satz von Gauß

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Berechnung elektrischer Felder mit dem Satz von Gauß

Kontext

Das Gaußsche Gesetz ist eine der vier Maxwell-Gleichungen. Es bietet eine sehr einfache Möglichkeit zur Berechnung des elektrischen Feldes für Ladungsverteilungen mit hoher Symmetrie. Es ist die mathematische Formulierung der Erkenntnis, dass elektrische Feldlinien nicht aus "dem Nichts" entstehen können oder "ins Nichts" verschwinden können. Statt dessen entstehen sie in den positiven Ladungen ("Quellen") und verschwinden in den negativen Ladungen ("Senken", "Abflüsse").

Mathematische Formulierung

\( \oint \vec{E}(\vec{r}) \cdot d \vec{A} = \frac{q_{in}}{\varepsilon_0} \)

Der Fluss des elektrischen Feldes \(\vec{E}\) durch eine geschlossene Fläche ist gleich der eingeschlossenen Ladungsmenge \( q_{in} \) dividiert durch die Dielektrizitätskonstante (bzw. Permittivität) \( \varepsilon_0 \). Eine geschlossene Fläche hat ein eindeutiges Innen und Außen und enthält kein Loch, das Innen und Außen verbindet. Beispiele sind die Oberfläche einer Kugel oder eines Würfels. Die im Gaußschen Satz verwendete geschlossene Fläche ist eine rein gedanklich existierende fiktive Fläche, die man Gaußfläche nennt. Der Gaußsche Satz ermöglicht die Berechnung des elektrischen Feldes genau auf dieser gedachten fiktiven Gaußfläche. Wenn man jedoch die Gaußfläche als Funktion des Ortvektors $\vec r$ so ausdrücken kann, so dass man sie von winzig klein im Zentrum des geladenen Körpers bis zu quasi unendlicher Größe außerhalb des geladenen Körpers variieren kann, dann ermöglicht der Gaußsche Satz die Berechnung von $\vec E(\vec r)$ im gesamten Raum.

Modellvorstellung/Analogien zum Verständnis

Wasseranalogie

Elektrische Feldlinien und geschlossene Oberflächen benehmen sich genauso wie Wasserstrahlen und Siebe, weil beide nicht aus "dem Nichts" entstehen können oder "ins Nichts" verschwinden können.

Wasserquellen

Aus einem von Sieben vollständig umschlossenen Volumen kann nur ein Wasserfluss herauskommen, wenn eine Wasserquelle darin ist, ansonsten fließt das Wasser einfach durch die Siebe hindurch. Der Wasserfluss aus einem von Sieben umschlossenen Volumen hängt nur von der Stärke der Wasserquelle darin und nicht von der Form der Oberfläche des Volumens oder der Position der Quelle darin ab. Wenn das von den Sieben umschlossene Volume auch Abflüsse enthält, ist der Wasserfluss aus dem Volumen heraus die Differenz aus Stärke der Quelle und der Wassermenge, die im Abfluss verschwindet. Fazit: Wenn man die Stärke der Quelle in einem geschlossenen Volumen kennt, kennt man daher automatisch den Wert des Flussintegrals, ohne dass man es berechnen muss!

Analogie

  • Elektrische Feldlinien sind analog zu den Strömungslinien in einer Wasserströmung, nur dass sich nichts bewegt.
  • Elektrische Feldvektoren sind analog zu den Geschwindigkeitsvektoren in einer Wasserströmung.
  • Elektrische Ladungen sind analog zu Quellen und Abflüssen einer Wasserströmung.

Deshalb ist auch beim elektrischen Feld - genau wie beim Wasser - der Fluss durch eine beliebige geschlossene Fläche, die die Quelle umhüllt, ausschließlich durch die resultierende Stärke der Quelle darin gegeben: Es kommt so viel heraus, wie drin erzeugt wird. Das ist die inhaltliche Bedeutung des Gaußschen Satzes.

Anwendung

Der geniale Trick bei Gauß oder der wesentliche Punkt:

Für den Gesamtfluss durch geschlossene Oberflächen ist die Form der Oberflächen völlig egal. Deshalb können wir sie beliebig wählen, also auch besonders praktisch! Eine Gaußfläche ist dann besonders praktisch, wenn sich für sie das Flussintegral \( \oint \vec{E}(\vec{r}) \cdot d \vec{A} \) zum einfachen Produkt der Beträge \(E(\vec{r})\) und \(A(\vec{r})\) vereinfacht: \( \oint \vec{E}(\vec{r}) \cdot d \vec{A} \)= \(E(\vec{r})\cdot A(\vec{r})\). Dann lautet der Satz von Gauß nämlich nur noch \( E(\vec{r})\cdot A(\vec{r}) = \frac{q_{in}}{\varepsilon_0} \)und wir können ihn einfach nach \(E(\vec{r})\) auflösen und so das elektrische Feld bestimmen:

\(E(\vec{r}) =\frac{q_{in}}{\varepsilon_0 A(\vec{r})}\). Heureka!

Geeignete und ungeeignete Gaußflächen

Praktische Gaußflächen auswählen

Die Größe einer Gaußfläche ist variabel!
  • Man wählt stets nur eine Form bzw. Gestalt, die Größe \(A(\vec{r})\) der Gaußfläche ist variabel und eine Funktion des Ortsvektors \(\vec{r}\).
  • Praktische Gaußflächen und Ladungsverteilung haben i. d. R. die gleiche Form. Bei einer geladenen Kugel sind es z. B. Kugeloberflächen, bei einem geladenen Zylinder sind es Zylinderoberflächen etc..
  • Praktische Gaußflächen findet man nur für sehr symmetrisch geformte Ladungsverteilungen, wie Kugeln, Zylinder, Platten, Rohre oder ähnliches. Denn für solche Formen kann man die Richtung des Feldes der Ladungsverteilung unmittelbar ansehen.
  • Praktischen Gaußflächen liegen i. d. R. zentriert zur Ladungsverteilung.
  • Auf praktischen Gaußflächen muss der Betrag von \(\vec{E}\) für ein festes \(\vec{r}\) konstant sein, wenn \(\vec{E}\) nicht parallel zur Fläche liegt.
  • Auf praktischen Gaußflächen steht \(\vec{E}\) in der Regel senkrecht.

Die Berechnung des Feldes:

Man muss stets eine Fallunterscheidung machen, z. B.:

  • Feld innerhalb der Ladungsverteilung:
  • Feld außerhalb der Ladungsverteilung

Innen: Der Wertebereich des Ortsvektors \( \vec{r}\) startet bei \( \vec{r}=0\) und endet, wenn \( \vec{r}\) auf die Oberfläche des geladenen Körpers zeigt. Der jeweilige Wert von \( \vec{r}\) legt die Größe der zugehörigen Gaußfläche \(A(\vec{r})\) fest, denn die Spitze von $\vec r$ zeigt genau auf die Oberfläche der Gaußfläche. Für das Innenfeld nimmt die eingeschlossene Ladung und damit der Fluss mit wachsendem $\vec r$ zu, weil das von der Gaußfläche \(A(\vec{r})\) umschlossene Volumen mit wachsendem $\vec r$ ebenfalls wächst und immer mehr Ladungen einschließt. Wenn der Fluss schneller wächst als die Gaußfläche, muss \(E(\vec{r})\) zunehmen.

Außen: Der Wertebereich des Ortsvektors \(\vec{r}\) startet, wenn \( \vec{r}\) auf die Oberfläche des geladenen Körpers zeigt, und endet bei $\vec r =\infty$. Für das Außenfeld bleibt die eingeschlossene Ladung und damit der Fluss unabhängig von $\vec r$ konstant, weil die Gaußfläche bereits für das kürzeste $\vec r$ sämtliche Ladungen einschließt. Mit wachsendem $\vec r$ ändert sich die eingeschlossene Ladung nicht mehr. Wenn \(A(\vec{r})\) wächst, muss \(E(\vec{r})\) abnehmen.

Unmittelbar auf der Oberfläche ergeben beide Fälle den gleichen Wert. Falls nicht, hat man sich verrechnet.

Beispiel: Homogen geladene Kugel

Kugel mit Radius \(R\), homogener Ladungsdichte \(\rho_0\) und Gesamtladung \(q = \rho_0 \frac {4}{3} \pi R^3\):

Feld innerhalb der Ladungsverteilung Feld außerhalb der Ladungsverteilung
Die Gaußfläche wächst innerhalb der Ladungsverteilung.
  • Die Länge des Ortsvektors \( \vec{r}\) startet bei null und endet beim Radius R der Kugel.
  • Für das Innenfeld nimmt die eingeschlossene Ladung \(q_{in} = \rho_0 \frac {4}{3} \pi r^3\) und damit der Fluss zu, wenn die Gaußfläche \(A(\vec{r})={4}\pi r^2\) wächst, weil das von \(A(\vec{r})\) umschlossene Volumen \(V(\vec r) = \frac {4}{3} \pi r^3\) beim Wachsen immer mehr Ladungen einschließt.
  • Wenn der Fluss schneller wächst als die Fläche, muss \(E(\vec{r})\) zunehmen.
Die Gaußfläche wächst ausserhalb der Ladungsverteilung.
  • Die Länge des Ortsvektors \(\vec{r}\) startet beim Radius R, d.h. auf der Oberfläche der Kugel und wächst bis unendlich.
  • Für das Außenfeld bleibt die eingeschlossene Ladung \(q_{in} = \rho_0 \frac {4}{3} \pi R^3\) und damit auch der Fluss konstant, weil die Gaußfläche bereits von Anfang an die Gesamtladung der Kugel einschließt. Auch wenn das Volumen der Gaußfläche wächst, nimmt die eingeschlossene Ladung nicht mehr zu.
  • Wenn \(A(\vec{r})\) wächst, muss \(E(\vec{r})\) abnehmen.
Feld innerhalb der Kugel
Kugelinnen.JPG
Feld außerhalb der Kugel
Kugelaussen.JPG
Probe: Feld auf der Oberfläche, d. h. für \(r=R\) muss in beiden Fällen das gleiche Ergebnis liefern:
Innen: \( E(r) = \frac {\rho_0}{3 \varepsilon_0} R\) Außen: \( E(r) = \frac {q}{4 \pi \varepsilon_0 R^2}=\frac {\rho_0 \frac {4}{3}\pi R^3}{4 \pi\varepsilon_0 R^2}=\frac {\rho_0}{3 \varepsilon_0}R\)

Selbsttest

Kontrollfragen

Warum ist es zur Anwendung des Gaußschen Satzes zur Bestimmung des Feldes einer Punktladung ungünstig, eine würfelförmige Gaußfläche zu wählen? (Antwort zeigen/verbergen)

Weil die Feldvektoren auf der Würfelfläche nicht überall senkrecht stehen und unterschiedliche Längen haben. Dann müsste man das Flußintegral explizit lösen.

Was für eine Gaußfläche muss man wählen, um das elektrische Feld im Hohlraum einer geladenen Hohlkugel zu bestimmen? (Antwort zeigen/verbergen)

Eine Kugeloberfläche, die zentriert innerhalb des Hohlraums liegt.

Ist der Gaußsche Satz einfach anwendbar, wenn man das elektrische Feld einer geladenen Halbkugel bestimmen möchte? (Antwort zeigen/verbergen)

Nein, die Symmetrie des Körpers ist nicht groß genug. Man die kann die Richtung des elektrischen Feldes nicht überall bestimmen.

Multiple Choice