Schiefer Wurf

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Definition des schiefen Wurfs

Der schiefe Wurf (ohne Luftreibung) ist eine zweidimensionale Bewegung. Er ist eine Überlagerung (Superposition) aus einer gleichförmigen Bewegung in horizontaler Richtung und einer gleichförmig beschleunigten Bewegung (senkrechter Wurf) in vertikaler Richtung: $\text{schiefer Wurf} =\left(\begin{align}&\text{x-Richtung: gleichförmige Bewegung} \\&\text{y-Richtung: senkrechter Wurf}\end{align}\right)$. Beide Bewegungen beeinflussen sich gegenseiteig nicht, solange der Luftwiderstand vernachlässigt werden kann.

Beispiel: In einem Experiment werden zwei identische Kugeln gleichzeitig in gleicher Höhe in Bewegung gesetzt. Die eine Kugel wird aus der Ruhe fallen gelassen. Die andere Kugel wird mit einer Anfangsgeschwindigkeit v0 horizontal abgeschossen.

Ergebnis: Beide Kugeln prallen gleichzeitig am Boden auf, obwohl der zurückgelegte Weg bei dem horizontalen Schuss länger ist.

Erklärung: Der vertikale Fall ist bei beiden Kugeln gleich und wird nicht durch die horizontale Geschwindigkeit beeinflusst. Beim horizontalen Schuss ist jedoch das Tempo entlang der Bahn größer als beim senkrechten Fall, weil sich die vertikale und die horizontale Geschwindigkeit vektoriell addieren.

Im folgenden ist die horizontale Richtung die x-Richtung (gleichförmige Bewegung a = 0). Der Wurf erfolgt in die positive x-Richtung.

Die vertikale Richtung ist die y-Richtung (gleichförmig beschleunigte Bewegung mit a = -g, senkrechter Wurf)). Die positive y-Richtung zeigt nach oben.

Der Anfangsort ist der Abwurfort: ${\vec r}_0=x_0\cdot \hat x + y_0\cdot \hat y$

Die Anfangsgeschwindigkeit ist die Abwurfgeschwindigkeit: ${\vec v}_0 = v_{0x}\cdot \hat x + v_{0y}\cdot \hat y$ und $v_{0x} = v_0\cos (\varphi)\text{; } v_{0y}=v_0\sin (\varphi )$. Der Winkel $\varphi$ ist der Winkel zur (horizontalen) x-Richtung.

Ort, Geschwindigkeit und Beschleunigung

Zeitabhängigkeit:
Ort: Geschwindigkeit: Beschleunigung:
$\vec r(t)=\left(\begin{matrix}x_0+v_{0x}t \\y_0+v_{0y}t-\frac 1 2 g t^2\end{matrix}\right)$ $\vec v(t)=\left(\begin{matrix}v_{0x} \\v_{0y}-g t\end{matrix}\right)$ $\vec a(t)=\left(\begin{matrix}0\\-g\end{matrix}\right)$
$\vec r(t)=(x_0+v_{0x} t)\cdot\hat x + (y_0+v_{0y} t-\frac 12 g t^2)\cdot\hat y$ ${\vec v}(t)=v_{0x}\cdot\hat x + (v_{0y}- g t)\cdot\hat y$ ${\vec a}(t)=0\cdot\hat x + (- g)\cdot\hat y$

Beim schiefen Wurf ist die Ortskurve eine Parabel, die Geschwindigkeitskurve eine Gerade und die Beschleunigung eine Konstante.

Analyse des schiefen Wurfes

Wurfhöhe

Wir betrachten nur y-Richtung:

1. Phase → Aufstieg: ta = Zeit bis Höhe h: $v_y(t_a)=v_{0y}-g t_a=0\ \Rightarrow \ v_{0y}=g t_a\ \Rightarrow \ t_a=\dfrac{v_{0y}} g\underset{t_a\text{in}y}{\ \Rightarrow \ }\left.y\right|_{t_a}=y_0+\dfrac 1 2 \dfrac {v_{0y}^2} g=h$

2. Phase → freier Fall: tf = Zeit bis Aufprall auf Boden: $y(t_f)=h-\dfrac 1 2 g t_f^2=0\ \Rightarrow \ t_f=\pm \sqrt{2\dfrac h g}$ (+ Zeichen wählen)

Wurfdauer

1. + 2. Phase: $t_w = t_a + t_f = \dfrac{v_{0y}} g +\sqrt{ 2\dfrac h g}=\dfrac {v_{0y}}g + \sqrt{2 \dfrac{{y_0+\dfrac 12 \dfrac {{v_{0y}}^2} g}}g} =\dfrac{v_{0y}}g+\sqrt{2\dfrac{y_0} g+\dfrac {{v_{0y}}^2}{g^2}}$

Wurfweite

Verschiebung in x-Richtung während Wurfdauer $w=x-x_0=v_{0x}\cdot t_w=v_{0x} \left(\dfrac{v_{0y}} g+\sqrt{2\dfrac{y_0} g+\dfrac{{v_{0y}}^2}{g^2}}\right)$

Für y0=0: $w=v_{0x}\left(\dfrac{v_{0y}} g +\sqrt{\dfrac{{v_{0y}}^2}{g^2}}\right)=2v_{0x}\dfrac{v_{0y}} g=2 v_0 \cos (\varphi )\dfrac{v_0\sin (\varphi )} g=2\dfrac{v_0^2} g\cos(\varphi )\sin (\varphi )=\dfrac{v_0^2} g\sin (2\varphi )$

Flugbahn

Wurfparabel y(x): $t=\dfrac{x-x_0}{v_{0x}}$ in y(t) einsetzen: $y(x)=y_0+v_{0y}\cdot (\dfrac{x-x_0}{v_{0x}})-\dfrac 1 2 g\left(\dfrac{x-x_0}{v_{0x}}\right)^2$

Beispiel: Der Affenschuss

Wohin muss ich mit einem Ball zielen, um den Affen (Höhe y0, Abstand xA) zu treffen, wenn er sich im Moment des Abwurfes fallen lässt?

Die Zeit bis zum Treffen sei T. Ich treffe, wenn die Koordinaten von Affe (A) und Ball (B) zum Zeitpunkt T übereinstimmen:
yB(T) = yA(T) und xB(T) = xA.

Direkt zielen bedeutet $\tan \varphi =\dfrac{y_0}{x_A}=\dfrac{\sin (\varphi )}{\cos (\varphi )}$. Die Anfangsgeschwindigkeit v0 sei beliebig. Damit is $T=\dfrac{x_A}{v_0\cos (\varphi )}$.

Der Affe lässt sich im Moment des Abwurfes fallen
Ball Affe
x y x y
$x_B(T)=v_0\cos (\varphi )T=x_A$ $\begin{align}y_B(T)&=v_0\sin (\varphi )T-\frac 1 2 g T^2\\&=\dfrac{v_0\sin (\varphi )}{v_0\cos (\varphi)}x_A-\frac 1 2 g T^2\\&=\tan (\varphi )x_A-\dfrac 1 2 g T^2\end{align}$ $x_A(T)=x_A$ $\begin{align}y_A(T)&=y_0-\frac 1 2 g T^2\\&=\tan (\varphi )x_A-\frac 12 g T^2\\&=y_B(T) \end{align}$
Fazit: Der Affe hat keine Chance: Direkt auf ihn zielen trifft immer, wenn er sich fallen lässt! Er sollte einfach nicht loslassen!