Seilreibung (Umschlingungsreibung)

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Kräfte und Einspann-Moment am Balken bei Seilreibung
Kräfte am infinitesimalen Seilelement

Einführung

Die Seilreibung begegnet uns häufiger als viele denken:

  • Keilriemen beim Auto,
  • Antrieb beim Fahrstuhl,
  • Seiltrommel bei Kränen,
  • Schiffe, die an Pollern festgemacht sind,

um nur einige Beispiele zu nennen, die uns täglich begegnen - gut, in Bayern werden wir relativ selten Schiffe an Pollern finden, aber dafür gibt dort vielerorts Seilbahnen und Skilifte - auch ein Bergsteiger, der den anderen am Seil sichert, nutzt die Seilreibung, indem er das Sicherungsseil um den Körper führt.

Im Folgenden werden wir uns mit der Entstehung der Seilreibung befassen - mit Herleitung der Seilreibungsformel.

Die Wirkung der Seilreibung

Anders als bei einer Rolle sind bei einem Balken die Kräfte im Seil nicht auf beiden Seiten gleich. Tatsächlich muß auf der Seite, an der gezogen wird, mehr Kraft aufgewendet werden als auf der anderen Seite. In der Praxis geht das sogar soweit, daß alleine die Masse des herunterhängenden Seilstücks eine um ein Vielfaches größere Masse am Balken halten kann.

Entstehung der Seilreibungskraft

Warum ist das so?
Das Seil umschlingt den Balken mit dem Umschlingungswinkel $\varphi$. Demnach greifen die Seilkräfte $\vec F_{S1}$ und $\vec F_{S2}$ unter dem Winkel $\frac{\varphi}{2}$ am Balken an. So entsteht daraus anteilig mit $\sin\frac{\varphi}{2}$ eine Normalkraft auf den Balken, die wiederum eine der angestrebten Bewegungsrichtung entgegen gesetzte Reibungskraft erzeugt.
Der Balken ist rund, somit ändert sich die Richtung der Normal- und der Reibungskraft über der Auflagelänge des Seils auf dem Balken.

Das infinitesimale Seilelement

Deswegen können wir auch nicht mit dem gesamten Seilstück rechnen, das den Balken umschlingt, sondern nur stückchenweise mit sehr kleinen Seilabschnitten. Schauen wir uns einen solchen sehr kleinen Seilabschnitt an. Auf der linken Seite haben wir im Seil die Kraft $\vec F_S$, auf der rechten Seite haben wir ebenfalls $\vec F_S$, aber zusätzlich kommt noch ein Anteil $\mathrm{d}\vec F_S$ hinzu, der aus der Reibkraft $\mathrm{d}\vec F_r$ entsteht. Diese Reibkraft entsteht dadurch, daß die Kräfte $\vec F_S$ unter dem Winkel $\frac{\mathrm{d}\varphi}{2}$ zur (gedachten) Tangente angreifen. Es gilt:

$$\begin{align} \mathrm{d}\vec F_n &= 2\cdot\vec F_S\cdot\sin\left(\frac{\mathrm{d}\varphi}{2}\right) \\ \mathrm{d}\vec F_r &= \mu\cdot\mathrm{d}\vec F_n \\ \mathrm{d}\vec F_S &= \mathrm{d}\vec F_r\cdot\cos\left(\frac{\mathrm{d}\varphi}{2}\right) \end{align} $$

Mit den Termen $\sin\left(\frac{\varphi}{2}\right)$ und $\cos\left(\frac{\varphi}{2}\right)$ weiter zu rechnen wäre sehr unhandlich, darum machen wir uns über die Kleinwinkel-Näherungen sin X = X und cos X = 1 das Leben deutlich einfacher:

$$\begin{align} \mathrm{d}\vec F_n &= 2\cdot\vec F_S\cdot\frac{\mathrm{d}\varphi}{2} = \vec F_S\cdot\mathrm{d}\varphi \\ \mathrm{d}\vec F_S &= \mathrm{d}\vec F_r \end{align} $$

Als nächstes müssen wir wissen, welches $\mathrm{d}\vec F_S$ aus $\vec F_S$ entsteht - im weiteren Verlauf arbeiten wir nur noch mit den Beträgen der Vektoren:

$$\begin{align} \mathrm{d}F_S &= \mathrm{d}F_r &&= \mu\cdot\mathrm{d}F_n = \mu\cdot F_S\cdot\mathrm{d}\varphi \\ &\Rightarrow \frac{\mathrm{d}F_S}{F_S} &&= \mu\cdot\mathrm{d}\varphi \\ \end{align} $$

Als letzten Schritt integrieren wir beide beide Seiten der Gleichung, die Grenzen ergeben sich aus $[F_{S1}, F_{S2}]$ sowie mit $\varphi = \varphi_1-\varphi_0$ zu $[\varphi_0, \varphi_1]$, daher verwenden wir bestimmte Integrale:

$$ \int\limits_{F_{S1}}^{F_{S2}}\frac{\mathrm{d}F_S}{F_S} = \int\limits_{\varphi_0}^{\varphi_1} \mu\cdot\mathrm{d}\varphi $$ Als Ergebnis erhalten wir:

$$\begin{align} &\ln\left(\vert F_{S2}\vert\right) - \ln\left(\vert F_{S1}\vert\right) &&= \mu\cdot( \varphi_1 - \varphi_0 )\\ \end{align}$$

$$\begin{align} &\Rightarrow \ln\left(\left\vert\frac{F_{S2}}{F_{S1}}\right\vert\right) &&= \mu\cdot\varphi &&\Rightarrow \varphi = \frac{\ln\left(\left\vert\frac{F_{S2}}{F_{S1}}\right\vert\right)}{\mu}\\ &\Rightarrow \left\vert\frac{F_{S2}}{F_{S1}}\right\vert &&= e^{\mu\cdot\varphi} &&\Rightarrow F_{S2} = F_{S1}\cdot e^{\mu\cdot\varphi} \end{align} $$

Wer hätte das gedacht: das Verhältnis der Kräfte links und rechts am Balken zueinander steigt exponentiell mit dem Reibkoeffizienten μ und dem Umschlingungswinkel $\varphi$ an!

Die Reibkraft $\vec F_r = \vec F_{S2} - \vec F_{S1}$ erzeugt ein Einspann-/Reibmoment $\vec M = \vec r \times\vec F_r$ und belastet damit den Balken. Reibkraft $\vec F_r$ und -Moment $\vec M$ steigen ebenfalls exponentiell mit dem Reibkoeffizienten μ und dem Umschlingungswinkel $\varphi$ an.

Eine praktische Rechnung

Wir wollen jetzt mal sehen, ob das Extrembeispiel aus dem Abschnitt "Die Wirkung der Seilreibung" tatsächlich eintreten kann.

Wir nehmen ein Buch, (praktischerweise eines, das gerade auf dem Tisch liegt), beschlagnahmen die kleine Werkbank unseres Mitbewohners und graben aus irgendeiner Kiste noch ein Knäuel Schnur aus. Was noch fehlt, ist ein stabiler runder Holzstab - nun, die Hausfrau wollte doch immer, daß wir den Besen benutzen...

Das Buch hat eine Masse von 3700g (ist also etwas größer), die Schnur bringt pro Meter etwa 1,0g auf die Waage.

Das Ziel ist jetzt, das Buch von einem Seilstück von einem Meter am Holzstab halten zu lassen. Als Reibungskoeffizienten μ setzen wir den Haftreibungskoeffizienten μ0 ein.
Für Schnur auf Holz schätzen wir μ0 = 0,25.

Das Sympathische an den Seilreibungsformeln ist in diesem Fall, daß wir es nur mit Kräfteverhältnissen zu tun haben, in diesem Fall sind die identisch zu den Masseverhältnissen. Also gilt:

$$\begin{align} \varphi &= \frac{\ln\frac{\vert3700g\vert}{\vert1m\cdot1\frac gm\vert}}{0,25} = 33\,rad\\ \\ \varphi &= 2\pi \cdot \frac sU \\ \Rightarrow \frac sU &= \frac {\varphi}{2\pi} \\ &= \frac {33\,rad}{2\pi\,rad} = 5,3 \\ \\ \Rightarrow & 5\,Vollumschlingungen, \\ & Teilumschlingung\,von\,0,3\cdot 2\pi \approx \frac13\,Vollumschlingung\,(\,\widehat{\approx}\,120^\circ) \end{align} $$

Das Buch und auch das Seilende hängen der Schwerkraft folgend, nach unten. Damit ergeben sich 5,5 Vollumschlingungen ($\varphi = 34,56$).
Das sollte also halten, auch wenn μ0 < 0,25 sein sollte.

Seilreibung-Gesamtansicht.jpg
Gesamtansicht

Seilreibung-Umschlingungen.jpg
Umschlingungen von oben

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Das Seilende

Seilreibung-Umschlingungen2.jpg
Umschlingungen von links


Kontrollfragen

Wieviel müsste man in obigen Beispiel an das Seilende mindestens anhängen, um das Buch anzuheben? (Antwort zeigen/verbergen)

Das Kräfteverhältnis wird nur durch den Reibkoeffizienten μ und dem Umschlingungswinkel $\varphi$ bestimmt. Die Reibkraft wirkt stets entgegen der angestrebten Bewegungsrichtung. Damit bleibt das Verhältnis der Kräfte (in diesem Fall auch der Massen) zueinander gleich, also gilt:

$$\begin{align} F_{S2} &= F_{S1}\cdot e^{\mu\cdot\varphi} \\ m_2 &= m_1\cdot e^{\mu\cdot\varphi} \\ &= 3,7kg\cdot e^{0,25\cdot 35rad} \\ &\approx 23\cdot10^3 kg \end{align} $$

Es müssen mehr als 23t an das Seilende gehangen werden, damit das Buch in die Höhe gezogen würde.

Bei dem abgebildeten Versuchsaufbau allerdings würde das Seil reißen, und der 23t-Block den Fußboden bis zum Fundament durchschlagen. Das Buch würde nicht angehoben werden, vielmehr würde jetzt aufgrund des fehlenden Seilstücks die Seilreibungskraft nicht mehr ausreichen, es zu halten und das Buch würde zu Boden fallen (wenn dieser noch vorhanden wäre) - und am Fundament des Hauses auf dem 23t-Block zum Liegen kommen.


In welchem Bereich kann die Masse auf der Seite des Seilendes variiert werden, ohne daß sich das Buch hebt oder senkt? (Antwort zeigen/verbergen)

Das System befindet sich ohne zusätzliche Masse bereits im Ruhezustand beim Massenminimum, also der Untergrenze des Bereichs. Die Obergrenze des Bereichs würde überschritten, wenn das Buch angehoben würde. Das Kräfte- und Massenverhältnis bleibt gleich, unabhängig davon, auf welcher Seite die größere Masse hängt. Damit ergibt sich:

$$\begin{align} F_{S2} &= F_{S1}\cdot e^{\mu\cdot\varphi} \\ m_2 &= m_1\cdot e^{\mu\cdot\varphi} \\ &= 3,7kg\cdot e^{0,25\cdot 35rad} \\ &\approx 23\cdot10^3 kg \end{align} $$

Die Masse auf der Seite des Seilendes kann theoretisch zwischen $1,0\cdot10^{-3}kg$ und $23\cdot10^3 kg$ varriert werden (also über 7 (in Worten: sieben) Zehnerpotenzen!), ohne daß sich das Buch heben oder senken würde.