Strahlung des schwarzen Körpers

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Schwarzer Körper, Hohlraumstrahlung, Wärmestrahlung, Schwarzkörperstrahlung, Plancksche Strahlungsformel, spektrale Energiedichte, Strahlungsformel nach Planck, Wirkungsquantum

Historische Bedeutung

Abb.1 Wärmestrahlung heißer Kohlen (Bildquelle: Wikimedia Commons, Photo by Jens Buurgaard Nielsen)
Abb.2 Wärmebild einer Katze (Bildquelle: Wikimedia Commons by Lcamtuf)

Jeder Körper sendet unabhängig von seinem Material ein kontinuierliches Strahlungsspektrum aus. Die Intensität dieser Strahlung und ihre spektrale Verteilung hängen nur von der Temperatur des Körpers ab. Diese Strahlung nennt man Wärmestrahlung. Es ist die Strahlung, die wir sehen, wenn wir glühende Kohlen betrachten (Abb.1). Auch das Sonnenlicht ist die Wärmestrahlung der Sonne, die sie aufgrund ihrer Oberflächentemperatur von ca. 5800 K aussendet. Kältere Objekte senden Wärmestrahlung im für uns unsichtbaren Infrarotbereich des elektromagnetischen Spektrums aus. Wärmebildkameras können diese Strahlung aufnehmen (Abb.2). Reale Körper senden zusätzlich zur Wärmestrahlung auch weitere Strahlung aus, nämlich die, die von ihnen reflektiert wird. Ein idealisierter Körper, der nur Wärmestrahlung aussendet, und keine Strahlung reflektiert, wird schwarzer Körper oder schwarzer Strahler genannt. Das Spektrum eines schwarzen Körpers ist identisch mit einem reinen Wärmestrahlungsspektrum.

Man konnte das Spektrum der Wärmestrahlung bereits Ende des 19. Jahrhunderts sehr genau messen, verstanden hatte man es jedoch nicht. Als Erzeuger der Strahlung nahm man Oszillatoren (mikroskopische Hertz'sche Dipole) an, die in den Wänden des Körpers vorhanden sind. Doch mit den bekannten Theorien konnte man die Gestalt des Spektrums nicht erklären.

Erst 1900 konnte Max Planck eine Formel für das Spektrum dieser Wärmestrahlung herleiten, seine berühmte Plancksche Strahlungsformel. Allerdings musste er zur Herleitung eine seltsame Ad-Hoc-Annahme machen: Der Austausch von Energie zwischen der Wand des strahlenden Körpers und der Strahlung findet nur portionsweise statt. Die Größe einer Energieportion wird dabei durch das Plancksche Wirkungsquantum h und die Frequenz der Oszillatoren ν bestimmt (In der Quantenphysik wird die Frequenz statt mit f in der Regel mit ν bezeichnet). Eine Erklärung für diese Annahme hatte Planck nicht, allein die Übereinstimmung seiner Formel mit den experimentellen Ergebnissen rechtfertigte sie. Er "dachte sich nicht viel dabei"[1].

Eine Analogie, die seine Anname verdeutlicht, ist das Essen einer Suppe: In der Schüssel kann die Suppe prinzipiell in beliebiger Menge vorkommen. Wenn wir die Suppe aus der Schüssel trinken oder schlürfen, kann sie auch im Magen in beliebiger Menge vorkommen und der "Suppenaustausch" zwischen Schüssel und Magen ist kontinuierlich möglich. Wenn wir sie jedoch gesittet mit einem Löffel essen, dann nehmen wir sie portionsweise zu uns. Ein Löffel fasst nur eine bestimmte Menge Suppe, eben einen Löffel voll. Dadurch ist der Transfer von Suppe in unseren Magen auch nur in bestimmten Portionen möglich, die durch die Löffelgröße bestimmt wird. Und im Magen werden dann auch nur ganzzahlige Vielfache der Menge eines Löffels vorkommen.

Planck hat also angenommen, dass der Austausch von Energie zwischen einem Körper und seiner „Wellensuppe“ nur „löffelweise“ stattfindet. Die Wand kann Strahlung nicht „schlürfen“. Warum das so ist und wer von beiden (Wandoszillatoren oder „Wellensuppe“) die Portionen erzwingt, blieb offen. [2].

Planck's Annahme wird heute als Geburtsstunde der Quantenphysik angesehen. Das von ihm entdeckte Plancksche Wirkungsquantum h = 6,63 × 10-34 Js ist eine fundamentale Naturkonstante. Planck führte sie damals als Hilfsgröße ein, daher auch das Symbol "h". Er selbst vertrat die Ansicht, dass die Quantisierung dem Energieaustauschvorgang zuzuschreiben sei und nicht dem Strahlungsfeld oder den Wandoszillatoren. Hätte man sie der Strahlung oder der Materie zugeordnet, wäre entweder die Maxwellsche Theorie des Elektromagnetismus oder die klassische Mechanik ins Wanken geraten. Nichts lag Plack ferner [1]. Erst Einstein hatte den Mut, so weit zu denken, was zu seiner Deutung des Fotoeffektes führte. Max Planck erhielt im Jahre 1918 den Nobelpreis für Physik, der ihm ein Jahr später verliehen wurde.

Eigenschaften der Wärmestrahlung

Das Spektrum der Wärmestrahlung

Plancksche Strahlungsformel

Abb.3 Spektrum der Wärmestrahlung für drei Temperaturen

Das ideale Spektrum der Wärmestrahlung eines Körpers im thermischen Gleichgewicht hat eine charakteristische Verteilung, die durch die

Plancksche Strahlungsformel $u(\nu,T)d\nu=\frac{8\pi h\nu^3}{c^3}\frac{1}{e^{\frac{h\nu}{kT}}-1} d\nu\qquad\text{(1)}$

beschrieben wird. Darin steht $u(\nu,T)d\nu$ für die spektrale Energiedichte. Das ist die Energie, die der Körper durch Strahlung im Frequenzbereich von ν bis ν + dν in ein bestimmtes Raumvolumen abstrahlt. Die Form der Kurve entspricht auch der Intensität der Strahlung.[3]

Wiensches Verschiebungsgesetz

Mit zunehmender Temperatur nimmt die Strahlung für alle Wellenlängen zu, wobei sich das Maximum des Spektrums linear mit der absoluten Temperatur zu höheren Frequenzen schiebt. Dies wird durch das

Wiensche Verschiebungsgesetz $\nu_{max}=5,88 \times 10^{10} \text{Hz/K} \cdot T\qquad\text{(2)}$

ausgedrückt. Man kann es aus der Planckschen Strahlungsformel herleiten, indem man diese nach der Frequenz ableitet und durch Nullsetzen der Ableitung die Frequenz des Maximums bestimmt. Bei einer Temperatur von 500 K liegt das Maximum bei ca. 30 THz.

Stefan-Boltzmann-Gestz

Die gesamte vom Körper auf allen Frequenzen abgegebene Strahlungsleistung nimmt mit T4 zu. Dies wird im

Stefan-Boltzmann-Gesetz oder T4-Gesetz $P=\sigma \cdot A \cdot T^4=5,67 \times 10^{-8} \frac{\text{W}}{\text {m}^2 \text{K}^4} \cdot A\cdot T^4\qquad\text{(3)}$

deutlich. Darin ist A die Oberfläche des strahlenden Körpers. Man leitet es aus der Planckschen Strahlungsformel ab, indem man die Fläche unter der Kurve bestimmt, d. h. über alle Frequenzen integriert. Außerdem integriert man über alle möglichen Strahlungsrichtungen. Das ergibt einen Raumwinkel von 2π, denn man betrachtet nur die Strahlung, die die Oberfläche des Körpers nach außen sendet.

Umrechnung in Wellenlängen

Man kann alle Zusammenhänge anstatt als Funktion der Frequenz ν auch als Funktion der Wellenlänge λ darstellen. Dabei tritt jedoch folgende Komplikation auf: Der Zusammenhang zwischen Frequenz und Wellenlänge ist $\nu = \frac c \lambda$. Die Plancksche Strahlungsformel beinhaltet einheitliche Frequenzintervalle dν (das bedeutet, alle dν haben die gleiche Breite, z.B. 1 Hz).

Zwei gleich breite Frequenzintervalle dν bei unterschiedlichen Frequenzen ν1 und ν2 ergeben jedoch unterschiedlich breite Wellenlängenintervalle dλ1 und dλ2. Wenn man die Zusammenhänge als Funktion der Wellenlänge darstellt, muss man anstatt einheitlicher Frequenzintervalle einheitliche Wellenlängenintervalle dλ einführen. Dies geschieht durch Substitution: Weil $\frac{d\nu}{d\lambda}=\frac{-c} {\lambda^2}$ ist, ergibt sich ${d\nu}=\frac{-c} {\lambda^2}{d\lambda}$. Die Substitution ergibt $u(\lambda,T)d\lambda=\frac{8\pi h c^3}{c^3\lambda^3}\frac{1}{e^{\frac{h c}{\lambda kT}}-1} (-\frac c {\lambda^2})d\lambda$. Das Vorzeichen wird in dλ hineingezogen. Kürzen von c und Zusammenfassen der Potenzen von λ ergibt die
Plancksche Strahlungsformel als Funktion der Wellenlänge $u(\lambda,T)d\lambda=\frac{8\pi hc}{\lambda^5}\frac{1}{e^{\frac{h c}{\lambda kT}}-1} d\lambda\qquad\text{(4)}$
.

Die Kurve ist gegenüber der Darstellung in Abb. 3 nicht nur gespiegelt sondern insbesondere auch verzerrt. Dadurch hat sie ihr Maximum bei einer anderen Frequenz. Man darf also nicht die Frequenz νmax von (2) einfach in eine Wellenlänge umrechnen und erwarten, dass dies das Maximum der Kurve von (4) ist. Berechnet man das Maximum von (4), erhält man das

Wiensche Verschiebungsgesetz als Funktion der Wellenlänge $\lambda_{max}=\frac{2,88 \times 10^{-3} \text{m}\cdot\text{K}} {T}\qquad\text{(5)}$

Bei 500 K liegt das Wellenlängenmaximum nach (5) bei 5,7 µm, bei 5800 K liegt es bei 500 nm. Das ist das Wellenlängenmaximum des Sonnenspektrums.

Kontrollfrage:
Stellt eines oder mehrere der Bilder rechts die Zusammenhänge der Planck'schen Strahlungsformel in etwa richtig dar? Wenn ja, welche? Wo ist der Fehler der anderen? (Antwort zeigen)

Keines! Bei A und B stimmt die Richtung der Verschiebung nicht. Würde man in beiden Bildern die x-Achsen-Beschriftung vertauschen, dann wären beide richtig. Bei C und D schneiden sich die Kurven für unterschiedliche Temperaturen. Das kann nicht sein, weil die Abstrahlung auf jeder Wellenlänge bzw. Frequenz mit T wächst.

Abb. 4

Reflexions-, Absorptions- und Emissionsvermögen

Ein schwarzer Körper ist ein Körper, der nicht reflektiert und keine Strahlung durchlässt (durchlassen = transmittieren). Er sendet nur Wärmestrahlung aus (aussenden = emittieren, aus seinem Inneren heraus abgeben). Er absorbiert die gesamte auftreffende Strahlung. Sein Absorptionsvermögen $a=A/P$ und sein Emissionsvermögen $e=E/P$ ist maximal und gleich 1: $a_S=A_S/P_S=1$ und $e_S=E_S/P_S=1$. Dabei bezeichnet A die absorbierte, E die emittierte und P die auftreffende Strahlungsleistung im thermodynamischen Gleichgewicht. Der Index S kennzeichnet den schwarzen Körper.

Jeder reale Körper reflektiert. Deshalb absorbiert und emittiert er weniger als ein schwarzer Körper. Jeder Körper, der gut absorbiert, strahlt auch gut. Diese Zusammenhänge werden als

Kirchhoffsches Strahlungsgesetz $a_{real}=\frac {A_{real}} {P_S}\qquad a_{real}= e_{real}< 1$

bezeichnet. Darin ist PS die Strahlungsleistung eines schwarzen Strahlers.

Abb.5 Der Zusammenhang zwischen Reflektion, Absorption und Emission

Abb.5 verdeutlicht, warum das so ist. Dort sind im oberen Bild zwei reale Körper 1 und 2 schematisch dargestellt. Beide Körper sind gemeinsam in einem isolierten System eingeschlossen und von der Außenwelt abgeriegelt, so dass keine Energie oder Strahlung aus dem System entweichen kann. Die Körper sollen sich im thermischen Gleichgewicht befinden. Das bedeutet, dass ihre Temperaturen gleich sind und sich nicht ändern. Beide Körper können Strahlung aussenden. Der Einfachheit halber betrachten wir nur Strahlung in einem kleinen Frequenzintervall. Die folgende Argumentation lässt sich abschließend auf den gesamten Frequenzbereich erweitern.

Die Temperatur kann nur konstant bleiben, wenn jeder Körper für sich allein betrachtet die gleiche Strahlungsleistung emittiert, die er absorbiert. Ansonsten wurde sich der Körper erwärmen oder abkühlen. Somit muss für beide Körper A = E sein, dh. $A_1 = E_1$ und $A_2=E_2$. Außerdem muss jeder der beiden Körper dem anderen die gleiche Leistung senden, die er selbst empfängt. Ansonsten würde ein Körper wärmer und der andere kälter. Die von einem Körper ausgehende Leistung ist die Summe aus reflektierter und emittierter Leistung. Wenn P1 die Leistung ist, die von Körper 1 ausgeht und die Körper 2 empfängt und analog P2 die Leistung ist, die von Körper 2 ausgeht, bedeutet das: $P_1=P_2=P$. Außerdem muss für jeden der Körper allein betrachtet die Energieerhaltung gelten. Das erfordert: Was von der auftreffenden Leistung P nicht absorbiert wird, muss reflektiert werden: P - A = R bzw. P = R + A. Weil für beide auch A = E sein muss, ergibt sich $P = A_1+R_1=E_1 + R_1 = A_2+R_2=E_2 + R_2$.

Daran kann man sehen, dass die absorbierte und emittierte Leistung zunehmen müssen, wenn die reflektierte Leistung abnimmt. Der maximale Wert von A und E wird erreicht, wenn die reflektierte Leistung null ist. Dies ist nach Definition ein schwarzer Strahler. Er absorbiert die gesamte auftreffende Leistung und sein Absorptionsvermögen ist wie sein Emissionsvermögen gleich 1 (Abb.5, unteres Bild). Die von ihm emittierte Leistung PS ist der maximale Wert, den ein Körper bei gegebener Temperatur und Frequenz emittieren kann. Sie hängt nur von seiner Temperatur ab. Die Argumentation ist für jede Frequenz und für jeden Frequenzbereich gültig.

Kontrollfrage:
Eine polierte Metallfläche und eine aufgeraute Metallfläche werden auf gleiche Temperatur erwärmt. Welche hat das größere Emissionsvermögen? (Antwort zeigen)

Die raue Metallfläche hat das kleinere Reflexionsvermögen. Also hat sie das größere Emissions- und Absorptionsvermögen.

Kontrollfrage:
Warum verspiegelt man Thermoskannen? (Antwort zeigen)

Die Verpiegelung erzeugt ein maximales Reflexionsvermögen. Für einen heißen Inhalt ist das Emissionsvermögen und damit der Wärmeverlust durch Abstrahlung minimal. Für einen kalten Inhalt ist das Absorptionsvermögen und damit die Erwärmung durch Einstrahlung minimal.

Interpretation und Anwendung

Je heißer ein Körper ist, umso stärker strahlt er, d. h. umso heller leuchtet er. Gleichzeitig ändert sich aber auch seine Farbe. Sie schlägt mit zunehmender Temperatur von rot über weiß zu blau um. Die Intensität der Strahlung nimmt bei jeder Wellenlänge mit zunehmender Temperatur zu. Berührungslose Temperaturmessgeräte nutzen das aus, indem sie die auf einer bestimmten Wellenlänge ausgesendete Strahlungsleistung messen und daraus die Temperatur bestimmen. In der Astrophysik kann man aus der Helligkeit eines Sterns und aus seinem Spektrum seinen Abstand und seine Temperatur bestimmen.

Kontrollfrage:
Im Labor wird ein Plasma bei 6000 K erzeugt. Das Maximum seiner Abstrahlung liegt bei 480 nm. Ein weiteres Plasma wird auf die Temperatur von 12.000 K erhitzt, so dass das Maximum nun im Ultravioletten bei 240 nm liegt. Sie beobachten die Plasmen mit bloßen Augen. Welches leuchtet heller? (Antwort zeigen)

Das heißere Plasma. Denn auf jeder Wellenlänge nimmt die Intensität zu. Daher wird das heißere Plasma im sichtbaren Spektralbereich heller sein als das kältere.

Schulexperiment: Strahlungswürfel nach Leslie

Ein bekanntes Schulexperiment ist der Strahlungswürfel nach Leslie. Es handelt sich um einen hohlen Metallwürfel, dessen Außenseiten unterschiedlich sind: Eine Seite besteht aus blankem Metall, eine aus mattem Metall, eine ist weiss lackiert und eine schwarz lackiert. Der Würfel wird mit kochendem Wasser gefüllt. Dann wird für jede Seite die abgegebene Wärmestrahlung mit einem empfindlichen Detektor gemessen.

Nach dem Kirchhoffschen Strahlungsgesetz erwartet man, dass das Emissionsvermögen mit zunehmendem Reflexionsvermögen abnimmt. Das größte Reflexionsvermögen hat die blanke Metallfläche, dann kommt die matte Metallfläche, danach die weisse und abschließend die schwarze Fläche.

Somit erwartet man die größte Emission für die schwarze Fläche, danach die weisse Fläche, dann die matte und abschließend die blanke Metallfläche.

Das Messergebnis ist überraschend: $P_{schwarz} = P_{weiss} > P_{matt} > P_{blank}$. Für die beiden Metallflächen ergibt sich tatsächlich die erwartete Reihenfolge. Erstaunlich ist jedoch, dass die weisse und die schwarze Fläche gleich strahlen. Der Hintergrund dafür ist der Umstand, dass sich die weisse und die schwarze Fläche nur im sichtbaren Spektralbereich in ihrem Reflexionsvermögen unterscheiden. Im infraroten Spektralbereich ist es nahezu gleich. Bei einer Temperatur von 100 °C, also 373 K, liegt das Maximum der Wärmestrahlung bei 7,7 µm, d. h. im infraroten Spektralbereich (Deshalb sieht man den Würfel auch bei 100 °C nicht glühen, er emittiert eine vernachlässigbare Menge an sichtbarem Licht). Für das Emissionsvermögken bei einer gegebenen Temperatur ist das Reflexionsvermögen im Spektralbereich der zugehörigen Wärmestrahlung ausschlaggebend. Und das ist bei der weissen und der schwarzen Seite gleich! Daher emittieren beide Seiten auch gleich!

Realisierung eines schwarzen Körpers

Aufbau

Abb. 6 Das Loch eines innen geschwärzten Hohlraumes ist in guter Näherung ein schwarzer Strahler

Ein schwarzer Körper ist eine Idealisierung. Um ihm im Labor möglichst nahe zu kommen, verwendet man einen beheizbaren Hohlraum, dessen Wände man auf eine gewünschte Temperatur einstellen kann. In eine Wand des Hohlraumes bohrt man ein kleines Loch. Die inneren Wände des Hohlraums schwärzt man. Licht, das in den Hohlraum eintritt, wird mindestens einmal an einer Wand reflektiert und zum großen Teil absorbiert, so dass es das Loch nur mit einer geringen Wahrscheinlichkeit wieder verlässt. Die Fläche des Loches bildet darum ein gutes Modell für einen schwarzen Strahler, weil sie so gut wie keine Strahlung reflektiert. Die Strahlung, die aus dem Loch austritt, ist in guter Näherung nur die Wärmestrahlung, die im Inneren des Hohlraumes erzeugt wird.

Energieaustausch zwischen Wänden und Strahlung

Sind die Wände des Hohlraums auf einer Temperatur T > 0, dann enthalten sie eine bestimmte Energiemenge, die sich auch irgendwie auf die Strahlung im Hohlraum überträgt und verteilt. Weil die Wandteilchen aus geladenen Teilchen bestehen und schwingen, strahlen sie elektromagnetische Wellen aller möglicher Frequenzen ν ab (siehe Dipolstrahlung). Eine Schwingung der Frequenz ν erzeugt eine Welle mit gleicher Frequenz ν und überträgt dadurch Energie Eν in das Strahlungsfeld. Jede Welle kann beliebig oft mit beliebiger Amplitude simultan angeregt werden, da sich elektromagnetische Wellen gegenseitig nicht stören. Alle Anregungen einer Welle mit einer bestimmten Frequenz ν überlagern sich nach dem Superpositionsprinzip zu einer Gesamtamplitude und ergeben die mittlere Gesamtenergie <Eν> dieser Welle. Die in einer Welle gespeicherte Energie hängt quadratisch mit ihrer Amplitude zusammen, genau wie die eigentliche Messgröße, die Intensität der der Strahlung.

Analogie mit einem Gas

Abb.7 Gasteilchen tauschen mit den Wänden Energie aus.

Im thermodynamischen Gleichgewicht sollte in jeder Welle mit einer bestimmten Frequenz ν eine individuelle mittlere Energie <Eν> gespeichert sein. Das funktioniert genau wie bei einem Gas, das in einen Behälter eingeschlossenen ist. Im thermodynamischen Gleichgewicht haben Gas und Behälterwand die gleiche Temperatur, da die Wandteilchen die Gasteilchen anstossen und auf diese Energie übertragen und umgekehrt. Solange z. B. die Wände heißer sind als das Gas, wird Energie von den Wänden zum Gas transportiert. Im thermischen Gleichgewicht endet der gerichtete Energietransport. Zwar tauschen Wand und Gas immer noch Energie aus, aber die Wand gibt dem Gas die gleiche Energiemenge, wie das Gas der Wand. Im thermodynamischen Gleichgewicht hat jedes Gasteilchen dann zwar eine individuelle ständig wechselnde Geschwindigkeit, doch jede Geschwindigkeit kommt bei einer Betrachtung aller Gasteilchen mit einer bestimmten Häufigkeit vor, die nur von T abhängt. Die Verteilung der Geschwindigkeiten ist die Maxwellsche Geschwindigkeitsverteilung. Sie gibt uns die Anzahl Nv der Teilchen mit einer bestimmten Geschwindigkeit v an. Daraus lässt sich dann ermitteln, welche mittlere Energie <Ev> alle Teilchen mit einer bestimmten Geschwindigkeit v gemeinsam tragen.

Genauso senden die Wände des Hohlraumes abhängig von ihrer Temperatur ständig Strahlung aus und absorbieren wieder welche und übertragen dabei Energie auf das Strahlungsfeld im Hohlraum oder nehmen Energie daraus auf. Der gerichtete Energietransport zwischen beiden kommt dann zum erliegen, wenn das Strahlungsfeld und die Wände im thermodynamischen Gleichgewicht sind. Und analog zum Gas wird dann eine Welle mit einer bestimmten Frequenz ν eine bestimmte mittlere Energiemenge <Eν> tragen. Die strenge Analogie zwischen Strahlungsfeld und Gas in einem Hohlraum wird auch in der großen Ähnlichkeit zwischen der maxwellschen Geschwindigkeitverteilung und dem Spektrum der Wärmestrahlung deutlich.

Herleitung

Zur Herleitung der Planck'schen Strahlungsformel betrachtet man einen Hohlraum wie in Abb.6 und bestimmt die im Hohlraum in Form von elektromagnetischen Wellen gespeicherte Energie. Die Verteilung der Energie auf die verschiedenen Wellenlängen sollte dann mit der Planck'schen Strahlungsformel übereinstimmen. Zuerst bestimmen wir die möglichen Wellen im Hohlraum. Danach bestimmen wir, wie sich die Energie auf die möglichen Wellen verteilt. Der Einfachheit halber nehmen wir den Hohlraum als Würfel mit der Kantenlänge a an. Später wird sich herausstellen, dass Form und Größe des Hohlraums keine Rolle spielen.

Moden des Hohlraum

Abb. 8 Dreidimensionale stehende Wellen sind schwer vorzustellen.

Zuerst suchen wir alle Wellen, die in diesem Hohlraum eine nennenswerte Intensität aufbauen können. Das sind nur stehende Wellen. Diese stehenden Wellen in einem Hohlraum nennt man seine Moden. Zwar kann man, wie auf einem Seil, jede beliebige Wellenlänge einspeisen. Eine stehende Welle mit nennenswerter Amplitude baut sich jedoch nur auf, wenn die Resonanzbedingung erfüllt ist. Und nur dann wird Energie von dem Erreger der Welle aufgenommen und in der Welle gespeichert. Wie bei stehenden Wellen auf einem Seil muss dazu eine Resonanzbedingung erfüllt sein: Die Kantenlänge a muss mit einem ganzzahligen Vielfachen der halben Wellenlänge λ übereinstimmen. Mathematisch formuliert bedeutet das $n\cdot \frac {\lambda_n} 2=a$ mit $n\in \mathbb{N}$. Wenn wir die Wellenlänge durch die Wellenzahl k ersetzen, ergibt das die Bedingung $n\cdot \frac {\lambda_n} 2=n\cdot \frac{2\pi}{2k_n}=a\ \Rightarrow \ k_n=n\cdot \frac{\pi}a$.


Abb. 9 Die Spitzen der k-Vektoren spannen ein regelmäßiges Punktgitter auf

Bisher haben wir nur eine Dimension betrachtet. Die Moden des Hohlraumes sind jedoch dreidimensionale Wellen (und schwer vorzustellen). Jede dreidimensionale Mode ergibt sich durch drei Resonanzbedingungen, je eine für die x, y, z-Richtung (Abb.9). Sie kann also durch einen Wellenvektor $\vec k_{n,m,l}=\left(\begin{matrix}k_x\\k_y\\k_z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}n\\m\\l\end{matrix}\right)\frac{\pi} a$ mit $n,m,l\in \mathbb{N}$ beschrieben werden. Die Spitzen dieser möglichen k-Vektoren erzeugen ein unendlich ausgedehntes Punktgitter, in dem alle Punkte in alle Richtungen den gleichen Abstand $\frac {\pi}a $ haben. Das macht die k-Vektoren wesentlich handlicher als die Wellenlängen, auch wenn sie unanschaulicher sind..

Die mögliche Moden haben die k-Vektoren $\vec k_{n,m,l}=\left(\begin{matrix}k_x\\k_y\\k_z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}n\\m\\l\end{matrix}\right)\frac{\pi } a$. Ihre Beträge liefern die möglichen Frequenzen der Moden $k_{n,m,l}=\frac{\pi } a\sqrt{n^2+m^2+l^2}=\frac{\omega } c=\frac{2\pi \nu } c$.

Abb.10 Moden in einem Kugelschalenachtel

Die Anzahl N der Moden in einem Hohlraum ist unendlich, weil die Wellenlänge beliebig kurz werden kann. Deshalb zählt man die endliche Zahl dN der Moden in einem festen Frequenzintervall d$\nu$. Das ist die Anzahl der k-Vektoren, deren Spitze in dem Kugelschalenachtel mit Radius k und Dicke dk liegt. Diese Anzahl dN findet man durch Berechnen des Volumens des Kugelachtels geteilt durch das Volumen eines "Modenwürfels": $V_m=(\frac{\pi}a)^3 $.

Das Volumen des Kugelachtels ist $V_8=\frac 1 8 \cdot 4\pi k^2\mathit{dk}$ $=\frac 1 8\cdot 4\pi (\frac{2\pi \nu } c)^2(\frac{2\pi } c)d\nu $ $=4\pi ^4\frac{\nu ^2}{c^3}d\nu $

Die Anzahl der Moden dN in V8 und d$\nu $ ist $\mathit{dN}=2\cdot \frac{V_8}{V_m}=2\cdot 4\pi ^4\frac{v^2}{c^3}d\nu \frac{a^3}{\pi ^3}=8\pi \frac{v^2}{c^3}d\nu \cdot a^3$. Der Faktor zwei berücksichtigt, dass jede Welle zwei Polarisationsrichtungen haben kann.

Spektrale Modendichte

Die spektrale Modendichte dn im Frequenzintervall $d\nu$ ist die Modenanzahl dN im Frequenzintervall $d\nu$ geteilt durch das Hohlraumvolumen a3: $dn =\frac{dN}{a^3}$. Dadurch hängt die Anzahl nicht mehr von der Größe des Hohlraumes ab. Für den Fall, dass die Wellenlängen viel kleiner sind als die Abmessungen des Hohlraumes, hängt sie auch nicht mehr von der Form des Hohlraumes ab [4]. Sie wird meistens geschrieben als $n_{\nu}(\nu)d\nu$. Der Index ν deutet die Ableitung nach ν an und wird oft weggelassen. Wir erhalten als wichtiges Ergebnis die

spektrale Modendichte $n_{\nu}(\nu)d\nu=\frac {dn}{dv} d\nu =8\pi \cdot \frac{\nu ^2}{c^3}d\nu $

Sie sagt uns, wie viele Moden es in dem Frequenzintervall von ν bis ν+dν pro Volumen gibt.

Oszillatoren und Energieverteilung

Als nächstes betrachten wir die Energie in den Wänden des Hohlraums. Wir nehmen an, er besteht aus eindimensionalen harmonischen Oszillatoren, die als kleine Hertzsche Dipole fungieren und positiv und negativ geladene Teilchen beinhalten. Ein Oszillator mit der Frequenz ν erzeugt dann die Mode mit der Frequenz ν. Die Gesamtenergie eines harmonischen Oszillators mit der Federkonstante D ist die Summe seiner kinetischen und potenziellen Energie $E_{\mathit{Osz}}=\frac 1 2m\dot x^2+\frac 1 2Dx^2$. Er hat zwei Freiheitsgrade der Bewegung, die Positionen der Ladungsschwerpunkte. Wir benötigen jedoch den Zusamenhang zwischen der Energie und der Frequenz eines Oszillators. Die Frequenz eines harmonisches Oszillators ist $\omega =2\pi \nu =\sqrt{\frac D m}$. Das ergibt für die Federkonstante $D=m\omega ^2=m(2\pi )^2\nu ^2$. Einsetzen liefert den gesuchten Zusammenhang: $E_{\mathit{Osz}}(\nu)=\frac 1 2m\dot x^2+\frac 1 2m(2\pi)^2\nu ^2x^2$. Nun fehlt noch eine sinnvolle Annahme dazu, welchen Wert EOsz(ν, T) bei einer gegebenen Temperatur T annimmt. Um damit die spektrale Energiedichte $u_{\nu} d\nu$ zu berechnen, müssen wir einfach den Ausdruck für $E_{Osz}(\nu, T)$ mit der spektralen Modendichte multiplizieren: Energie pro Mode mal Anzahl der Moden pro Volumen = Menge der Energie pro Volumen.

Gleichverteilung und UV-Katastrophe

Wenn die Wand die Temperatur T hat, dann enthält nach dem Gleichverteilungssatz der Thermodynamik jeder Freiheitsgrad die Energie $E=\frac {k_B} 2 T$. Darin ist kB die Boltzmann-Konstante. Ein Oszillator trägt daher die Energie $E_{Osz}(\nu,T)=k_B T$.

Diese Ausdruck bedeutet: Jede Mode bekommt gleich viel Energie, d. h. die gesamte thermische Energie ist gleichmäßig über alle Frequenzen verteilt. Die Berechnung der spektralen Energiedichte ergibt das sogenannte Rayleigh-Jeans-Gesetz: $u_{\nu} d\nu=8\pi\frac{\nu^2} {c^3}\cdot k_B T \cdot d\nu$. Da die Anzahl der Moden quadratisch mit der Frequenz zunimmt, gäbe es unendlich viel Energie bei unendlich hohen Frequenzen. Das nennt man die UV-Katastrophe. Diese Annahme ist physikalisch unsinnig und das Rayleigh-Jeans-Gesetz ist offensichtlich fehlerhaft. Die Energie muss sich anders verteilen, und zwar so, daß die Energie mit zunehmender Frequenz abnimmt. Genau das erzeugt die Annahme von Planck.

Plancks Annahme

Planck setzte nun folgende Idee um: Der Energieaustausch zwischen Wand und Strahlungsfeld ist nicht kontinuierlich möglich, sondern nur in Portionen $E= n \cdot h\nu$ mit $n\in\mathbb{N}$. Bei jedem Absorptions- oder Emissionsvorgang wird der Mode eine solche Energieportion mit einem zufälligen ganzzahligen n entzogen oder zugeführt. Das ist wie das Ziehen eines Lotterieloses. Wie bekommt man aus diesem Ansatz die mittlere Energie pro Mode, die sie im thermischen Gleichgewicht "gewinnt"?

Um das zu verstehen, betrachten wir folgende Analogie: Ein heißer Typ namens Ray spielt ein Glücksspiel. Er hat einen Eimer mit Losen. Er enthält jeweils 1000 Lose mit 1,-€, 100 Lose mit 10,-€, 10 Lose mit 100,-€ und 1 Los mit 1000,-€ Gewinn. Das sind insgesamt 1111 Lose. Er zieht ein Los aus dem Eimer und legt sein Los nach der Ziehung zurück und es wird neu gemischt. Wenn er das sehr häufig macht, wieviel Geld wird er durchschnittlich pro Ziehung gewinnen? Er kann nur gewinnen, denn es gibt keine Nieten im Eimer. Die Chancen sind bei jeder Ziehung gleich. Um den mittleren Gewinn zahlenmäßig festzulegen, müssen wir den Erwartungswert des Gewinns <g> berechnen. Das ist der mittlere Gewinn pro Ziehung. Dazu multiplizieren wir jeden möglichen Gewinn gn mit seiner Wahrscheinlichkeit Pn. Die Wahrscheinlichkeit ist die Anzahl Nn der Lose mit dem Gewinn gn geteilt durch die Gesamtzahl $N=\sum\limits_n N_n$ der Lose: $P_n=\frac{N_n}{\sum\limits_n N_n}$. Der Erwartungswert ist die Summe $<g>=\sum\limits_n g_n \cdot P_n=\sum\limits_n g_n\cdot\left( \frac {N_n}{\sum_n N_n}\right)=\frac{\sum\limits_n {g_n \cdot N_n}}{\sum\limits_n N_n}$. Für unseren Loseimer ergibt das den mageren Gewinn von 3,6 €.

Auf ähnliche Weise zieht eine Mode ihr "Los" aus dem thermischen Energietopf. Der Erwartungswert ihrer Energie <Eν> ergibt sich aus der Summe möglicher "Energie-Gewinne" $E_n^{\nu}=n\cdot h\nu$ multipliziert mit der Wahrscheinlichkeit $P_n$ des "Energie-Gewinns". Die Wahrscheinlichkeit ist durch die Boltzmann-Verteilung bestimmt: Er ist umso weniger wahrscheinlich, je höher der "Energie-Gewinn" ist. Die "Anzahl eines Gewinns" entspricht $N_n= e^{-n\cdot\frac{h\nu}{k_B T}}$. Die "Gesamtzahl der Lose" ist daher $N=\sum\limits_n^\infty e^{-n\cdot\frac{h\nu}{k_B T}}$.

So ergibt sich als Ausdruck für die mittlere Energie pro Mode $\langle E_{\nu}\rangle =\sum _{n=0}^{\infty}E_n^{\nu} \cdot P_n=\frac{\sum\limits_n^\infty n\cdot h\nu\cdot e^{n\cdot\frac{h\nu}{k_B T}}}{\sum\limits_n^\infty e^{n\cdot\frac{h\nu}{k_B T}}}$. Diesen Ausdruck kann man mit Hilfe der Summenformel für geometrische Reihen weiter auswerten. Er ergibt $\langle E_\nu\rangle=\frac{h\nu }{e^{(\frac{h\nu }{k_BT})}-1}$. Er gibt uns die mittlere Energie an, die eine Mode mit der Frequenz ν trägt. Das ist eine exponentiell fallende Funktion der Frequenz ν, die für große ν durch den exponentiellen Anteil im Nenner gegen null geht.

Die spektrale Energiedichte

Um die spektrale Energiedichte zu erhalten, müssen wir nur noch die mittlere Energie pro Mode mit der Anzahl der Moden pro Frequenzintervall multplizieren. Das ergibt die Plancksche Strahlungsformel: $u_{\nu}(\nu,T)=\langle E_\nu\rangle\cdot n_{\nu}(\nu)d\nu=\frac{h\nu }{e^{(\frac{h\nu }{k_BT})}-1}\cdot 8\pi \cdot \frac{\nu ^2}{c^3}d\nu=8\pi \cdot \frac{h\nu ^3}{c^3}\frac{1}{e^{(\frac{h\nu }{k_BT})}-1}d\nu$

Diskussion

Wie kann man die Form der Kurven verstehen?

Die spektrale Modendichte ist eine quadratisch ansteigende Funktion. Die mittlere Energie pro Mode ist eine exponentiell fallende Funktion. Das Produkt beider Funktionen muss daher eine Funktion mit einem eindeutigen Maximum sein, die für kleine Frequenzen quadratisch steigt und dem Rayleigh-Jeans-Gesetz folgt und für große Frequenzen exponentiell fällt. Die Kurve ist daher asymmetrisch.

Warum ist das Spektrum nicht von der Form des Körpers abhängig?

Bei der Herleitung der Planckschen Strahlungsformel nimmt man einen würfelförmigen Hohlraum an, in dessen Innenraum die Strahlung erzeugt wird. Tatsächlich strahlt jedoch jeder beliebig geformte Körper genauso. Um das zu verstehen, denken wir uns einen beliebig geformten Körper in den Hohlraum hinein gebracht. Dieser Körper wird irgendwann die gleiche Temperatur haben wie die Wände des Hohlraumes. Der Temperaturausgleich erfolgt über das Strahlungsfeld durch Absorptions- und Emissionsprozesse. Wenn die Temperatur angeglichen ist, muss der Körper im Inneren auf jeder Frequenz genauso strahlen wie der Hohlraum, d. h. wie der schwarze Körper. Andernfalls würde er heißer oder kälter werden und seine Temperatur könnte nicht stabil sein (Die Argumentation ist die gleiche wie zu Abb.5). Daher muss jeder Körper unabhängig von seiner Form im thermischen Gleichgewicht nach außen wie ein schwarzer Körper strahlen.

Warum hängt das Spektrum nicht vom Wandmaterial ab?

Bei einem in einen heißen Behälter eingeschlossenen Gas hängt die Verteilung der Energie auf die Gasmoleküle im thermischen Gleichgewicht nicht vom Material des Behälters, sondern nur von dessen Temperatur ab. Denn die Füllung wird irgendwann die gleiche Temperatur annehmen wie der Behälter. Und nur die Temperatur bestimmt die Energieverteilung in der Füllung.

Ebensowenig hängt die Verteilung der thermischen Energie auf die Strahlung - oder im Teilchenbild auf das Photonengas - vom Wandmateriel ab. Auch das Strahlungsfeld wird irgenwann die Temperatur des Behälters annenhmen. Und nur die Temperatur bestimmt die Energieverteilung im Strahlungsfeld.

Der Temperaturausgleich wird beim Gas durch Stöße und bei der Strahlung durch Absorption- und Emissionereignisse bewirkt. Deren Eigenschaften werden durch das Wandmaterial beeinflusst. Davon hängt zum Beispiel ab, wie schnell der Temperaturausgleich erfolgt, d.h. wie schnell sich das Spektrum der Wärmestrahlung einstellt. Wichtig ist jedoch nur, dass ein Energieaustausch zwischen Behälter und Füllung möglich ist, so dass sich die Temperaturen angleichen können. Im thermischen Gleichgewicht ist schließlich die Verteilung der Energien im Strahlungsfeld für alle Wandmaterialien gleich.

Warum ist das Spektrum kontinuierlich?

Die moderne Quantenmechanik zeigt, dass sowohl die möglichen Energien der Wandoszillatoren als auch die möglichen Energien der Strahlungsteilchen gequantelt sind. Die Energien der Oszillatoren sind $E_n=(n+\frac 1 2) h\nu$ (siehe quantenmechanischer harmonischer Oszillator). Die möglichen Energien der Strahlungsteilchen sind $E_n=n h \nu$ (siehe Fotoeffekt). Obwohl alle Energien und somit auch der Energieaustausch gequantelt ist, ergibt sich ein kontinierliches Spektrum der Strahlungsenergien ohne Lücken und ohne untere oder obere Grenzfrequenz. Das liegt zum einen daran, dass es für eine feste Frequenz ν zwar eine Quantelung gibt, die Frequenz ν selbst jedoch einen beliebigen kontinuierlichen Wert annehmen kann. Sowohl die Moden des Hohlraumes als auch die Frequenzen der Wandoszillatoren sind quasikontinuierlich verteilt. Das bedeutet, sie liegen so dicht, dass wir Lücken vernachlässigen können. Daher ist prinzipiell jede Strahlungsfrequenz und damit auch jede Strahlungsenergie möglich. Zum anderen sind auch die Energien der Wandoszillatoren nicht "scharf" auf die quantenmechanischen Werte eingeschränkt. Tatsächlich sind alle beteiligten Zustände durch ihre endliche Lebensdauer aufgrund der Energie-Zeit-Unschärfe verbreitert (siehe Unschärferelation, Energie-Zeit-Unschärfe), so dass die Energiebereiche überlappen und das Energiespektrum kontinuierlich wird.

Literatur

  1. 1,0 1,1 D. Giulini, N. Straumann: „… ich dachte mir nicht viel dabei …“ Plancks ungerader Weg zur Strahlungsformel, Physikalische Blatter, 56, Nr. 12, S. 37–42, (2000) Online-Ausgabe
  2. M. Planck: Zur Theorie des Gesetzes der Energieverteilung im Normalspectrum. Verhandlungen der Deutschen physikalischen Gesellschaft. 2, Nr. 17, S. 245,(1900)
  3. Allgemein ist der Zusammenhang zwischen der Energiedichte w einer Welle und ihrer Intensität I=wc. Darin ist c die Ausbreitungsgeschwindigkeit. Multiplikation von (1) mit c ergibt die Intensität.
  4. Wolfgang Demtröder, Experimentalphysik 3, 3. Aufl., Springer Verlag, Heidelberg (2010)