Supraleitung

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Entdeckung und Phänomen

Abb.1 links: Supraleitung, verschwindender elektrischer Widerstand
rechts: Meißner-Ochsenfeld-Effekt, verschwindendes Magnetfeld im Inneren

Die Supraleitung wurde zufällig im Sommer 1911 von Kamerlingh Onnes im niederländischen Leiden entdeckt. Etwas völlig Unerwartetes geschah, als er eine Probe mit hochreinem Quecksilber auf 4,19 Kelvin abgekühlte: Schlagartig verschwand dessen elektrischer Widerstand. Er nannte das Phänomen Supraleitung.

Zwei Jahrzehnte später kühlten Fritz Walther Meißner und Robert Ochsenfeld ihre Supraleiter in einem Magnetfeld ab und wieder geschah etwas Unerwartetes: Sobald die Supraleitung einsetzte, drängte der Supraleiter das Magnetfeld aus seinem Inneren heraus. Nach ihnen nennen wir das Phänomen Meißner-Ochsenfeld-Effekt.

Beide Phänomene sind charakteristisch für einen Supraleiter und bis heute nicht vollständig verstanden. Bei einem Supraleiter fällt der elektrische Widerstand schlagartig auf null, sobald man ihn unter eine bestimmte Temperatur TC, die sogenannte Sprungtemperatur oder kritische Temperatur, abgekühlt. Die Sprungtemperaturen normaler Supraleiter liegen sehr tief im Bereich weniger Kelvin. Supraleiter, deren Sprungtemperaturen deutlich höher liegen und mit flüssigem Stickstoff (-196 °C bzw. 77 K) zu erzielen sind, nennt man Hochtemperatur-Supraleiter.

Für jeden Supraleiter gibt es neben der Sprungtemperatur weitere kritische Größen, oberhalb derer die Supraleitung verschwindet, insbesondere das kritische Magnetfeld und der kritische Strom.

Der verschwindende Widerstand

Abb.2 oben: normalleitender Zustand
unten: supraleitender Zustand

Zur Erklärung der Supraleitung dient die BCS-Theorie[1] nach Bardeen, Cooper und Schrieffer, die 1957 publiziert wurde. Danach entsteht in einem Festkörper eine Bandlücke der Energie 2Δ um die Fermi-Energie, wenn es zwischen den Elektronen eine wie auch immer geartete anziehende Kraft gibt, durch die zwei Elektronen mit der Bindungsenergie Δ ein Paar bilden können. Ein solches Paar nennt man Cooper-Paar.

Einzelne Elektronen müssen im Grundzustand des Festkörpers die Energiezustände ihres Bandes entsprechend dem Pauli-Prinzip von unten nach oben füllen. Durch die Möglichkeit, ein Paar bilden zu können, wird dieser Grundzustand instabil und Elektronen aus den oberen Zuständen des Bandes fallen in den Cooper-Paar-Zustand. Wenn sich die Elektronen zu Cooper-Paaren binden, wird aus zwei Fermionen ein Boson. Die Cooper-Paare unterliegen nicht mehr den Beschränkungen des Pauli-Prinzips und der Fermi-Statistik. Statt dessen besetzen sie als Bosonen alle den gleichen quantenmechanischen Zustand und genügen der Bose-Einstein-Statistik. Nun müssen sie durch eine gemeinsame die ganze Probe umfassende Wellenfunktion Ψ beschrieben werden. Darin können sie sich nur noch gemeinsam bewegen. Diese Kollektivbewegung aller Cooper-Paare erzeugt die Supraleitung, d.h. einen elektrischen Strom mit R = 0. Die Breite der Bandlücke nimmt mit zunehmender Temperatur ab. Sie verschwindet für T = TC[2].

Elektrische Leitung durch Cooper-Paare

Ein elektrischer Widerstand entsteht, wenn die Periodizität der Gitteratome gestört wird, so daß Elektronen an ihnen gestreut werden. Wird ein Elektron gestreut, dann ändert sich sein individueller Impuls und seine individuelle Energie. Cooper-Paaren ist eine individuelle Impuls- oder Energieänderung nicht möglich. Sie sind in ihrem gemeinsamen Zustand dazu gezwungen, quasi "im Gleichschritt zu marschieren". Wird an einen Supraleiter ein elektrisches Feld angelegt, dann werden die Cooper-Paare alle gemeinsam und gleich beschleunigt und erzeugen den Suprastrom. Das heißt, wenn ein Suprastrom fließt, erhalten alle Cooper-Paare den gleichen zusätzlichen Impuls. Die einzige Möglichkeit zur individuellen Energieaufnahme eines Cooper-Paares ist das Verlassen des "Kollektivs" und das Aufbrechen in zwei freie Elektronen. Solange die dazu notwendige Energie nicht bereitgestellt wird (z.B. über den kritischen Strom oder das kritische Magnetfeld), können die Cooper-Paare nicht mit dem Gitter wechselwirken und folglich auch keinen elektrischen Widerstand erzeugen. Die Probe verbleibt im supraleitenden Zustand, solange nicht alle Cooper-Paare aufgebrochen sind. Im supraleitenden Zustand enthält eine Supraleiter sowohl normale Elektronen als auch Cooper-Paare. Die elektrische Leitung erfolgt dabei jedoch nur durch die Cooper-Paare.

Bindungsmechanismus der Cooper-Paare

Abb.3 Anschauliche Darstellung eines Cooper-Paares (blaue Pfeile Impuls, grüne Pfeile Spin)

Um die Bindung der Cooper-Paare zu verstehen, gibt es eine einfache Analogie. Wenn man sich eine gespannte Membran vorstellt, auf der eine kleine Kugel liegt, dann bildet sich dort, wo die Kugel liegt, eine leichte Kuhle. Legt man eine zweite Kugel dazu, wird sie in die Kuhle der ersten Kugel rollen. Beide Kugeln werden "angezogen". Etwas ähnliches geschieht im Festkörper, wenn ein Elektron an den positiven Atomrümpfen des Gitters vorbeifliegt. Die Atomrümpfe werden von dem Elektron angezogen und etwas aus ihrer Gleichgewichtslage abgelenkt. Das Elektron hinterläßt dadurch eine leicht positiv geladene Spur. In dieser Spur kann ein zweites Elektron gefangen werden (rosa Schattierung in Abb.3). Ein Cooper-Paar ist entstanden. Das ganze funktioniert nur, wenn der Kristall so kalt ist, dass die von den vorbeifliegenden Elektronen erzeugten Auslenkungen der Gitteratome kleiner als ihre themischen Schwankungen sind.

Eigenschaften der Cooper-Paare

Zwei als Cooper-Paar gebundene Elektronen haben entgegengesetzten Spin, so daß der Spin einens Cooper-Paares null ist. Auch der Gesamptimpuls eines Cooper-Paares ist null. Durch den Bindungsmechanismus sind Cooper-Paare sehr groß. Der Abstand zwischen zwei gebundenen Elektronen liegt im µm-Bereich. Denn weil die Gitteratome verglichen mit den Elektronen sehr schwer sind, reagieren sie träge und verzögert auf die Anziehung des Elektrons. Abb.3 deutet an, wie man sich ein Cooper-Paar mit diesen Eigenschaften vorstellen kann.

Der Meißner-Ochsenfeld-Effekt

Abb.4 Links: Äußeres Feld (grau) und Magnetisierung (blau) addieren sich so, dass das Innere des Supraleiters feldfrei ist (rechts).

Der Meißner-Ochsenfeld-Effekt beruht darauf, dass Supraleiter perfekte Diamagneten sind. Diamagneten schwächen das äußere Feld ab, weil ihre Magnetisierung dem äußeren Feld entgegengerichtet ist.

In einem Supraleiter ist die Magnetisierung im Inneren sogar genauso groß wie das äußere Feld. Dadurch wird es dort nicht nur geschwächt, sondern vollständig kompensiert. Das Innere eines Supraleiters ist also feldfrei. Die Magnetisierung erzeugt ein Magnetfeld, dass sich über die Abmessungen des Supraleiters hinaus erstreckt. Außerhalb des Supraleiters ist das Gesamtfeld durch die Superposition des ursprünglichen Feldes mit der Magnetisierung gegeben. Dadurch werden die Feldlinien des äußeren Feldes um den Supraleiter herum gebogen. Man sagt, der Supraleiter drängt das äußere Feld hinaus.

Eine genauere Betrachtung im Rahmen der London-Theorie zeigt, dass das Magnetfeld nicht gänzlich aus dem Supraleiter verdrängt wird, sondern in eine kleine Schicht der Oberfläche eindringen kann und dort exponentiell abfällt.

London-Gleichungen

Der Meißner-Ochsenfeld-Effekt kann phänomenologisch korrekt durch die London-Gleichungen beschrieben werden. Aus ihnen folgt, dass Magnetfelder innerhalb eines Supraleiters exponentiell abklingen müssen. Die inneren Magnetfelder haben die Form $$\vec B(x)=\vec B_0e^{-x/\lambda _L}$$ mit $\lambda _L=\sqrt{\frac{\lambda }{\mu _0}}$. Darin ist λL die sogenannte London'sche Eindringtiefe und $\lambda =\frac m{ne^2}$. m, n, e sind Masse, Dichte und Ladung der Elektronen. Diese Form des inneren Magnetfeldes stellt sich immer ein. Und zwar auch dann, wenn ein Supraleiter in einem bestehenden Magnetfeld unter die Sprungtemperatur abgekühlt wird. Dabei tritt keine zeitliche Änderung des magnetischen Flusses auf, so dass die Verdrängung nicht durch Induktion erklärbar ist. Man erhält dieses Magnetfeld aus den zwei London-Gleichungen:

  1. London-Gleichung: Sie beinhaltet, dass der elektrische Widerstand verschwindet und die Ladungen wie freie Ladungen beschleunigt werden.$$\lambda \dot{\vec j}=\vec E\qquad\qquad\text{(1)}.$$
  2. London-Gleichung: Sie gibt den Zusammenhang zwischen der Stromdichte $\vec j$ im Supraleiter und dem von ihr erzeugten Magnetfeld $\vec B$ an.$$\lambda\ \text{rot}\vec j=-\vec B\qquad\qquad\text{(2)}.$$

Herleitung

1. London-Gleichung

Statt des Ohmsches Gesetz $\vec j=\sigma \vec E$ geht man von frei beschleunigten Elektronen aus: Die Stromdichte ist $\vec j=en\vec v$. Aus ihrer zeitlichen Änderung ergibt sich unmittelbar (1): $\dot{\vec j}=en\dot{\vec v}=en\vec a=en\frac{\vec F} m=en\frac{e\vec E} m=\frac{\vec E}{\lambda }\ \Leftrightarrow \ \lambda \dot{\vec j}=\vec E$

2. London-Gleichung

Sie ergibt sich unmittelbar aus der Maxwell-Gleichung: $\text{rot}\vec E=-\dot{\vec B}$. Setzt man darin (1) ein, ergibt sich $\text{rot}\vec E=\lambda\ \text{rot}\dot{\vec j}=-\dot{\vec B}\ \underset {\text{Integration über }t}{\Rightarrow} \ \lambda\ \text{rot}\vec j=-\vec B$.

Bestimmung von B(x)

Aus der Maxwell-Gleichung $\text{rot}\vec B=\mu _0\vec j$ (Amperesches Gestz) ergibt sich durch Umstellen $\frac{\text{rot}\vec B}{\mu _0}=\vec j$. Das wird in (2)eingesetzt: $\frac{\lambda }{\mu _0}\text{rot}(\text{rot}\vec B)=-\vec B$. Mit der Beziehung $\text{rot}(\text{rot}\vec B)=(\underbrace{\text{grad}(\text{div}\vec B)}_{=0}-\Delta \vec B)=-\Delta \vec B$ erhalten wir daraus $-\frac{\lambda }{\mu _0}\Delta \vec B=-\vec B$ und nach Umstellen $\Delta \vec B=\frac{\mu _0}{\lambda }\vec B$. Diese Differentialgleichung hat als Lösung obiges $B(x)$, was man durch Einsetzen leicht überprüfen kann.

Kritisches Magnetfeld und kritischer Strom

Die notwendige Energie zum Aufbrechen der Cooper-Paare kann nicht nur thermisch durch Erhöhung von T auf TC, sondern auch durch elektrische oder magnetische Feldenergie zugeführt werden. Darüber ergeben sich der kritische Strom IC und das kritische Magnetfeld BC eines Supraleiters. Beide größen sind Materialkonstanten. Oberhalb dieser kritischen Größen bricht die Supraleitung zusammen.

Beispiel: Bei welchem kritischen Strom IC wird in einen Niob-Draht mit R = 0,1 mm sein kritisches Magnetfeld von BC = 0,2 T erreicht?
Das Magnetfeld eines langen Drahtes, durch den ein Strom I fließt, beträgt $B(r)=\mu_0 \frac I {2\pi r}$. An der Oberfläche des Drahtes, d.h. bei r = R, hat es die Stärke $B(R)=\mu_0 \frac I {2\pi R}$. Mit B(R)=BC wird I = IC. Auflösen nach IC ergibt $I_C=\frac {2\pi}{\mu_0} B_C R =\frac{2\pi \times 0,2\text{ T}\times 1,0\times 10^{-4}\text{ m}}{4\pi \times 10^{-7}\text{ N/A²}}=100\text{ A}$. Ab einem Strom IC = 100 A würde die Supraleitung zusammenbrechen.

Hochtemperatur-Supraleiter

Abb.5 Flussschläuche in einem Supraleiter 2.Art

Supraleiter mit Sprungtemperaturen oberhalb 77 K nennt man Hochtemperatur-Supraleiter. Ihre theoretischen und mikroskopischen Grundlagen sind bis heute nicht vollständig verstanden. Ihnen ist gemeinsam, dass sie bei Raumtemperatur sehr schlechte Leiter sind und ihre Kristallstruktur sehr kompliziert ist.

In der Regel handelt es sich bei ihnen um sogenannte Supraleiter 2.Art. Diese können im Vergleich zu herkömmlichen Supraleitern (1.Art) größeren Strömen und Magnetfeldern standhalten. Das liegt daran, dass sich bei ihnen neben der rein supraleitenden und der rein normalleitenden Phase noch eine Mischphase, die sogenannte Shubnikov-Phase ausbilden kann. Darin mischen sich supraleitende und normalleitende Bereiche.

Äußere Magnetfelder können den Supraleiter 2.Art in Form von Flussschläuchen durchdringen (Abb.5). Das sind schlauchförmige normalleitende Bereiche, in denen das äußere Magnetfeld gebündelt wird. Dadurch wird das Magnetfeld in den supraleitenden Bereichen geringer.


Literatur

  1. Theory of Superconductivity, J.Bardeen, L.N.Cooper, J.R. Schrieffer, Physical Review, 108, 5 (1957), Online Resource
  2. H. Ibach, H. Lüth, Festkörperphysik: Eine Einführung in die Grundlagen, Springer Verlag, Berlin Heidelberg (2013)