Symmetriebetrachtungen

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Symmetrien

Die Beachtung von Symmetrien ist eine wichtige Methode der Physik. Symmetrien geben uns an, was das Ergebnis ist, wenn wir mit einem vorhandenen Objekt z. B. in Gedanken eine bestimmte räumliche Veränderung vornehmen (eine sogenannte Symmetrieoperation). Wenn das Objekt sich durch unser Tun im Raum nicht erkennbar verändert, d. h. in sich selbst übergeht, hat es die Symmetrie, die zu unserer gedanklichen Veränderung gehört.

Symmetrie von Körpern

Am einfachsten kann man sich Symmetrien für geometrische Körper überlegen, wie z. B. Kugeln, Hanteln oder auch Ladungsverteilungen, Masseverteilungen oder auch Moleküle.

Symmetrieoperationen an einem Zylinder

Beispiel: Symmetrien eines Zylinders: Wir stellen uns einen Zylinder vor. Als räumliche Veränderung stellen wir uns eine Rotation um die Zylinderachse vor. Das Aussehen und die Orientierung des Zylinders wird dadurch nicht verändert. Er geht stets in sich selbst über. Er ist rotationssymmetrisch bezüglich seiner langen Achse.
Als eine zweite räumliche Veränderung stellen wir uns eine Rotation um eine Achse durch den Mittelpunkt senkrecht zur Zylinderachse vor. Rotieren wir um 90°, dann geht der Zylinder nicht in sich selbst über. Seine Lage im Raum ist verändert. Der Zylinder geht nur dann in sich selbst über, wenn er genau um 180° um diese Achse gedreht wird. Das nennt man wegen n = 360°/180° = 2 eine 2-zählige Rotationsachse. Der Zylinder hat eine 2-zählige Rotationssymmetrie senkrecht zur Zylinderachse.
Als dritte räumliche Veränderung stellen wir uns eine Spiegelung jedes Zylinderpunktes am Mittelpunkt des Zylinders vor. Das nennt man eine Punktsspiegelung oder Inversion. Auch hierbei geht der Zylinder in sich selbst über. Er ist symmetrisch unter Punktspiegelung an seinem Mittelpunkt. Man nennt das auch zentrosymmetrisch oder sagt: Er hat ein Inversionszentrum.

Ein Zylinder ist ein Objekt, dass noch viel mehr Symmetrien aufweist, als im Beispiel genannt. Er ist hochsymmetrisch. Weitere hochsymmetrische Objekte sind Kugeln, Würfel, Tetraeder etc.

Symmetrieoperationen

Es gibt eine Vielzahl von Symmetrieoperationen! Einige sind:

  • Rotationen um beliebige Winkel führen auf Rotationssymmetrie.
  • Rotationen um bestimmte Winkel 360°/n führen auf n-zählige Rotationssymmetrie.
  • Punktspiegelung bzw. Inversion führt zur Zentrosymmetrie.
  • Spiegelung an Ebenen führt zu Spiegelsymmetrien.
  • Spiegelung an Ebenen verbunden mit einer Rotation führt zu Drehspiegelsymmetrien.

Symmetrie von Funktionen

Nicht nur geometrische Objekte sondern auch abstrakte Gebilde wie Funktionen kann man auf ihre Symmetrie untersuchen. Dazu muss man die gedanklichen Symmetrieoperationen in mathematische Operationen umwandeln, die die jeweilige Symmetrieoperation erzeugen. Wenn die Funktion durch die mathematische Operation nicht verändert wird, ist sie symmetrisch unter der zugehörigen Symmetrieoperation.

Beispiel: Spiegelung einer Funktion an der xy-Ebene: Wir stellen uns die Funktion $f(x,y,z)=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ vor. Die Spiegelung an der xy-Ebene wird bewirkt, indem wir z durch -z ersetzen. Die Funktion geht durch diese Operation in $f_s(x,y,-z)=\sqrt{x^2+y^2+(-z)^2}=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ über. Das ist identisch mit $f(x,y,z)$. Sie geht also in sich selbst über und ist deshalb symmetrisch unter Spiegelung an der xy-Ebene.

Symmetrie und Antisymmetrie

Bei einer Funktion besteht auch die Möglichkeit, dass sie durch eine Symmetrieoperation nicht in sich selbst, sondern in ihre negative Funktion übergeht. Wenn eine Symmetrieoperation nur das Vorzeichen ändert, nennt man die Funktion antisymmetrisch unter der Symmetrieoperation.

Beispiele:

Inversion der Funktion $\vec f(\vec r)=\vec r$: Die Inversion wird bewirkt, indem wir das Argument $\vec r$ der Funktion durch $-\vec r$ ersetzen. Die Funktion geht dadurch in $\vec f_i(-\vec r)=\vec r$ über. Das ist identisch mit $\vec f_i(\vec r)=-\vec r=-\vec f(\vec r)$. Die Funktion wechselt nur ihr Vorzeichen. Sie ist also antisymmetrisch unter Inversion.
Inversion der Funktion $f(\vec r)=r^2$: Die Funktion geht durch Inversion in $f_i(-\vec r)=r^2=f(\vec r)$ in sich selbst über. Die Funktion ist also symmetrisch unter Inversion.
Inversion der Funktion $\vec f(\vec r)=\vec r+\vec a$: Die Funktion geht durch Inversion in $\vec f_i(-\vec r)=\vec r+\vec a$ über. Das ergibt $\vec f_i(\vec r)=-\vec r+\vec a$. Das ist weder identisch mit $-\vec f(\vec r)=-(\vec r+\vec a)$ noch mit $\vec f(\vec r)=+(\vec r+\vec a)$. Die Funktion ist hat keine Inversionsymmetrie.

Anwendungen

Mechanik

Um die Lage von Hauptträgheitsachsen eines Körpers zu bestimmen, muss man sich die Symmetrie des Körpers anschauen. Wenn ein Körper eine Symmetrieachse hat, wie z. B. ein Zylinder, bildet diese eine der Hauptträgheitsachsen.

Elektrostatik

Um die Richtung elektrischer Felder in der Elektrostatik zu bestimmen, muss man sich die Symmetrie der Ladungsverteilungen anschauen. Wenn eine Ladungsverteilung spiegelsymmetrisch bezüglich einer bestimmten Ebene ist, muss der elektrische Feldvektor in dieser Ebene liegen. Denn die Spiegelsymmetrie bedeutet, dass auf beiden Seiten der Ebene die gleichen Ladungen vorhanden sind. Deshalb kann es quer zur Ebene kein elektrisches Feld geben.

Atomphysik

Die Orbitale des Wasserstoff-Atoms (wir meinen damit |𝜓n,l,m|2) weisen eine hohe Symmetrie auf. Alle sind rotationssymmetrisch um die z-Achse. Zudem sind alle spiegelsymmetrisch bezüglich der xy-Ebene, der yz-Ebene und der xz-Ebene. Alle haben ein Inversionszentrum. Die Wellenfunktion selbst ist nicht ganz so symmetrisch: Sie kann auch antisymmetrisch unter Spiegelung an der xy-Ebene ebenso wie unter Raumspiegelung sein. Ihre Rotationssymmetrie wird durch den Drehimpuls festgelegt.

Parität

Das Verhalten unter Punktspiegelung (Inversion) ist eine der wichtigsten Symmetrien in der Quantenphysik. So wichtig, dass es sogar einen eigenen Namen hat: Man nennt es die Parität einer Funktion. Mehr Details im Artikel Parität.