Trigonometrie

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Was ist Trigonometrie?

Die Trigonometrie beschreibt die Beziehung zwischen Strecken und Winkeln bei Dreiecken. Hierbei wird zwischen der ebenen Trigonometrie und der sphärischen Trigonometrie unterschieden, letztere ist nur der Vollständigkeit halber erwähnt und wird an dieser Stelle nicht weiter vertieft.

ebene Trigonometrie

Bei der ebenen Trigonometrie werden die Dreiecke in einer Ebene aufgespannt, die Seiten werden dabei durch Geraden gebildet. Die Ebene kann aber frei im Raum liegen. Hier gilt der 2. Pythagoreischer Satz:

Die Summe aller Innenwinkel eines Dreiecks beträgt 180°.

sphärische Trigonometrie

Bei der sphärischen Trigonometrie werden die Dreiecke auf einer Kugeloberfläche aufgespannt, die Seiten werden dabei durch Kreisbögen gebildet. Hier gilt:

Die Summe aller Innenwinkel eines Dreiecks ist größer als 180°.

Die Winkelfunktionen (Kreisfunktionen)

Seiten und Winkel im rechtwinkligen Dreieck innerhalb des Einheitskreises
Die Graphen der Winkelfunktionen

Diese Funktionen sind für spitze Winkel in rechtwinkligen Dreiecken definiert.

Das Winkelargument

Die Winkelfunktionen erwarten den Winkel im Bogenmaß (Radiant, rad), daher sind alle Winkelangaben, sofern nicht anders bezeichnet, im Bogenmaß.

Der Winkel im Bogenmaß ergibt sich aus dem Verhältnis des Teilumfangs s zum Gesamtumfang U = 2π·R.

Aus der Definition ergibt sich Folgendes:

$$\begin{align} \left. \begin{aligned} s &= \alpha \cdot R \\ U &= 2\pi \cdot R \end {aligned} \right\} &{\Rightarrow}& {\frac sU} &=&&\frac{\alpha}{2\pi} \\ &{\Rightarrow}& {\alpha} &=&&2\pi \cdot \frac sU \end{align} $$

Umrechnung Grad-/Bogenmaß

Vom Geometrie-Unterricht her sind wir das Gradmaß gewohnt, ein Vollkreis hat 360° (degree, deg) und nicht 2π (Radiant, rad) - das macht aber das Verständnis des Winkelarguments schwieriger.

Die Umrechnung ist recht einfach:

$$\begin{align} \frac{\alpha_{deg}}{\alpha_{rad}} = \frac{360°}{2\pi} = \frac{180°}{\pi} &{\Rightarrow}& \alpha_{deg} = \frac{180°}{\pi}\cdot\alpha_{rad} \\ &{\Rightarrow}& \alpha_{rad} = \frac{\pi}{180°}\cdot\alpha_{deg} \end{align} $$

Die Sinus-Funktion

Die Sinus-Funktion beschreibt das Verhältnis von Gegenkathete b zu Hypothenuse c und dem Winkel α:

$$ \sin\alpha = \frac{b}{c}\;\;\Rightarrow\;\;b = c \cdot \sin\alpha $$

Eselsbrücke: Geht die Länge der zu berechnenden Kathete bei einem Öffnungswinkel von α = 0 ebenfalls auf Null, ist es der Sinus.

Die Cosinus-Funktion

Die Cosinus-Funktion beschreibt das Verhältnis von Ankathete a zu Hypothenuse c und dem Winkel α:

$$ \cos\alpha = \frac{a}{c}\;\;\Rightarrow\;\;a = c \cdot \cos\alpha $$

Eselsbrücke: Geht die Länge der zu berechnenden Kathete bei einem Öffnungswinkel von α = 0 auf das Maximum, ist es der Cosinus.

Die Tangens-Funktion

Die Tangens-Funktion beschreibt das Verhältnis von Gegenkathete b zu Ankathete a und dem Winkel α:

$$\begin{align} \tan\alpha = \frac{b}{a}\;\;&\Rightarrow&\;\;b =&\,a\,\cdot\,\tan\alpha \\ &\Rightarrow&\;\;a =&\,\frac{b}{\tan\alpha} \end{align} $$

Für a→0 wächst tan α über alle Grenzen, bei a=0 hat die Tangens-Funktion eine Sprungstelle.

Eselsbrücken

  • Stehen beide Strecken senkrecht aufeinander, ist es der Tangens.
  • Geht die Länge der zu berechnenden Kathete bei einem Öffnungswinkel von α = 0 ebenfalls auf Null, ist mit dem Tangenswert zu multiplizieren.

Zusammenhänge zwischen den Funktionen

Gar nicht mal so selten ist bei mathematischen Problemen, in denen Winkelfunktionen auftauchen, überhaupt kein Winkel zu erkennen. Vielmehr tritt dann ein mehr oder minder komplexer Ausdruck an die Stelle des doch recht anschaulichen Winkelarguments. Nennen wir diesen Ausdruck beliebiger Komplexität einfach "X".

Bei der Umformung von Gleichungen ist es stellenweise notwendig, z.B. einen Term sin X in einen Term mit cos X umzuwandeln. Die folgende Tabelle gibt eine Übersicht über die Beziehungen zwischen den Winkelfunktionen:

$$ \begin{align} \sin X &= \pm\sqrt{1 - \cos^2X} &&= \pm\frac{\tan X}{\sqrt{1 + tan^2 X}} &&= \cos X\cdot\tan X \\ \cos X &= \pm\sqrt{1 - \sin^2X} &&= \pm\frac{1}{\sqrt{1 + tan^2 X}} &&= \frac{\sin X}{\tan X}\\ \tan X &= \pm\frac{\sin X}{\sqrt{1 - \sin^2X}} &&= \pm\frac{\sqrt{1 - \cos^2X}}{\cos X} &&= \frac{\sin X}{\cos X} \end{align} $$ Das Vorzeichen wird durch den Quadranten bestimmt, in dem X liegt.

Kleinwinkelnäherungen

Kleinwinkelnäherung für sin X
Kleinwinkelnäherung für tan X

In Differential- und Integralrechnungen ist das fast lineare Verhalten der Sinus- und Tangens-Funktion

  • f(X) = X ≈ sin X für Werte von X sehr nahe $2n\cdot\pi; n \in \mathbb{N}$,
  • f(X) = X ≈ tan X für Werte von X sehr nahe $2n\cdot\pi; n \in \mathbb{N}$

sehr nützlich, um diese Winkelfunktionen zu eleminieren.

Weniger gebräuchlich ist die Kleinwinkelnäherung f(X) = 1 ≈ cos X sehr nahe $2n\cdot\pi; n \in \mathbb{N}$, da der Steigungsgradient der Cosinus-Funktion an den Umkehrpunkten sehr groß ist, dementsprechend klein ist das Intervall für X, in dem die Näherung überhaupt gilt.

Wie aus den Diagrammen zur Kleinwinkelnäherung ersichtlich ist, sind folgende Intervalle für die Gültigkeit ansetzbar:

  • f(X) = X ≈ sin X für $[2n\cdot\pi - 0.2, 2n\cdot\pi + 0.2]; n \in \mathbb{N}$,
  • f(X) = X ≈ tan X für $[2n\cdot\pi - 0.15, 2n\cdot\pi + 0.15]; n \in \mathbb{N}$
  • f(X) = 1 ≈ cos X für $[2n\cdot\pi - 0.001, 2n\cdot\pi + 0.001]; n \in \mathbb{N}$

Bei Differentialen geht die Intervallbreite für X gegen Null, d.h., die Kleinwinkelnäherung liefert hinreichend exakte Werte, so daß hier gilt: $$\begin{align} f(X) =& X& {= \sin X}& = \tan X \\ f(X) =& 1& {= \cos X}& \end{align} $$