Vektor

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Vom Pfeil zur Zahl: Vektoren darstellen

Eine nicht gerichtete Größe wie z. B. die Masse \(m\) ist ein Skalar. Physikalische Größen, die neben einem Zahlenwert auch eine Richtung haben, sind Vektoren. Ein Alltagsbeispiel für einen Vektor ist ein Hinweisschild. Es gibt eine Richtung und einen Zahlenwert an. Beispiele für Vektoren in der Physik sind die Geschwindigkeit \(\vec v\), die Kraft \(\vec F\) oder der Impuls \(\vec p\).
Alltagsbeispiel eines Vektors

Vektoren zeichnen

Beispiel: Ortsvektor nach Hamburg

Vektoren symbolisieren wir in Zeichnungen durch Pfeile, damit wir auch ihre Richtung angeben können. Die Orientierung des Pfeils gibt die Richtung des Vektors an, die Länge des Pfeils gibt den Betrag des Vektors an.

Beispiel: Wir zeichnen einen geraden Weg von Berlin nach Hamburg als Vektor \(\vec a\) in eine Landkarte. Er symbolisiert näherungsweise ein Hin­weisschild. Seine Richtung entspricht dem direkten Weg, seine Länge, d.h. sein Betrag entspricht der Luftlinienentfernung Berlin \(\leftrightarrow\) Hamburg. Wir messen die Länge \(l\) des Maßstabes und die Länge \(L\) des Vektorpfeils und erhalten daraus den Betrag des Vektors \(a=\frac Ll \cdot 50 \text { km}= 250 \text{ km}\). Die Ent­fernung über die Autobahn ist mit 290 km etwas länger.

Mathematische Darstellung

Abb.2 Ortsvektor im Koordinatensystem

Mathematisch symbolisieren wir Vektoren \(\vec a=\left(\matrix {a_x\\ a_y\\a_z}\right)=a_x\hat x+a_y\hat y+a_z \hat z\) durch Buchstaben mit einem Pfeil oder durch eine Klammer mit ihren Komponenten oder als Summe ihrer Vektorkomponenten. Ihren Betrag \(|\vec a|=a\) symbolisieren wir entweder durch senkrechte Striche oder Weglassen des Pfeils.

Wir können einen Vektor auch über seinen Betrag und Winkel zu den Koordinatenachsen angeben. Bei einem zweidimensionalen Vektor genügt neben dem Betrag ein Winkel, z. B. der Winkel \(\alpha\) zur positiven x-Achse, wobei \(\alpha\) im Gegenuhrzeigersinn gemessen wird. Ein zweidimensionaler Vektor enthält zwei Informationen, also benötigen wir zwei Angaben, um ihn darzustellen: Entweder seine beiden Kompo­nenten oder seine Länge und einen Winkel. Bei einem dreidimensionalen Vektor sind es drei Angaben: Entweder seine drei Komponenten oder seinen Betrag und zwei Winkel. Für einen dreidimensionalen Vektor sind \(\alpha,~ \beta,~ \gamma\) die Winkel zu den jeweiligen Koordi­na­ten­achsen \(x,~y,~z\). Für sie gilt der Zusammenhang \(cos^2(\alpha)+cos^2(\beta)+cos^2(\gamma)=1\). Den Kosinus des jeweiligen Winkels nennt man Richtungskosinus.

Wenn wir Vektoren durch ihre Komponenten darstellen wol­len, müssen wir sie in ein Koordinatensystem legen. Vek­to­ren, die auf Orte zeigen, nennen wir Orts­vek­to­ren und be­zeich­nen sie mit dem Buch­staben \(\vec r\). Sie be­gin­nen im Ursprung des Koordi­na­ten­sys­tems, ihre Spitze markiert einen Ort.

Unser Bei­spiel­vektor beginnt in Ber­lin, seine Spitze markiert Ham­burg. Wir nennen ihn nun \(\vec r\) und wählen ein x,y-Koordinaten­system mit dem Ur­sprung in Ber­lin. Die Achsen unter­teilen wir mit dem Maß­stab in 50-km-Einheiten.

Komponenten bestimmen

Zeichnen

Um den Vektor \(\vec r\) in diesem Koordinatensystem quantitativ darzustellen, müssen wir seine Komponenten bestimmen. Die Komponenten eines Vektors sind die Projektionen seines Vektorpfeils auf die Koordinatenachsen. Man findet sie zeichnerisch, indem man von beiden Enden des Vektors das Lot auf die Achse fällt, sofern es nicht schon auf der Achse liegt. Man konstruiert also den senkrechten „Schatten­wurf“. Der durch den „Schatten“ auf die Achse markierte Abschnitt entspricht seiner Komponente \(a_i\). Die Pfeilrichtung bestimmt das Vorzeichen.

Beispiel: Wir bestimmen die skalaren Komponenten in x- und y-Richtung zeichnerisch. Westen ist die negative x-Richtung, Norden ist die positive y‑Richtung und senkrecht zur x-Richtung. Der Vektor beginnt auf beiden Achsen, wir fällen daher nur jeweils das Lot von der Spitze auf die Achsen und lesen die Längen der Projektionen ab: Nach Westen sind es etwa 220 km, nach Norden etwa 110 km. Die skalaren Komponenten des Vektors sind: \(a_x\) = − 220 km, \(a_y\) = 110 km. Die Kompo­nen­ten­dar­stel­lung des Vektors in diesem Koor­dina­ten­system ist \(\vec r=\left(\matrix {a_x\\ a_y}\right)=\left(\matrix{ -220\text{ km}\\110\text{ km}}\right)\).
Abb.3 Bestimmung der Komponenten

Berechnen

Die Komponenten \(a_i\) eines Vektors \(\vec a\) parallel und senkrecht zu einer Koordinatenachse \(i\) sind seine senkrechten Projektionen auf die Achsen. Man kann die \(a_i\) rechnerisch bestimmen, wenn der Winkel \(\alpha\) zur Achse \(i\) und der Betrag \(a\) gegeben sind. Dann sind seine Komponenten

  • parallel zu \(i\):
  • senkrecht zu \(i\):
\(a_{||} = a \cdot cos (\alpha)\)
\(a_{\bot} = a \cdot sin (\alpha)\)
(1)
(2)

Genauso kann man jeden Vektor durch zwei senkrechte Komponenten bezüglich einer beliebigen Richtung ausdrücken.

Beispiel: Wir lesen aus Abb.3 den Winkel α zur positive x-Achse gegen den Uhrzeigersinn mit dem Geo­drei­eck ab und erhalten α = 153°. Das entspricht in Radiant umgerechnet dem Winkel α = 2,67 rad.

Mit dem Betrag \(r = 250 \text{ km}\) (Luftlinienentfernung) erhalten wir

  • parallel zu \(x\):
  • senkrecht zu \(x\):
\(r_x = 250 \text{ km}\cdot cos(2,67)=223 \text{ km}\)
\(r_y = 250 \text{ km}\cdot sin(2,67)=113 \text{ km}\)
Das stimmt im Rahmen der Ablesegenauigkeit mit den zeichnerisch bestimmten Komponenten überein.
Im dreidimensonalen Raum kann man die Komponenten eines Vektors aus seinem Winkel θ zur z-Achse und dem Winkel \(\varphi\), den seine Projektion auf die xy-Ebene zur x-Achse einnimmt, bestimmen:
  • x-Komponente: \(a_x=a\,sin(\theta)\,cos(\varphi)\)
  • y-Komponente: \(a_y=a\,sin(\theta)\,sin(\varphi)\)
  • z-Komponente: \(a_z=a\,cos(\theta)\).
Die kartesischen Komponenten eines Vektors

Betrag berechnen

Den Betrag eines Vektors, d. h. die Länge des Vektorpfeils im gewählten Koordinatensystem, ermitteln wir aus seinen Komponenten durch \(a=\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}\).

Beispiel: Wir bestimmen die Luftlinien­entfernung Berlin ↔ Hamburg, also die Länge des Vektors \(\vec r\): \(r=\sqrt{(-223\text{ km})^2+(113\text{ km})^2}=250\text{ km}\).

Außerdem kann man den Betrag auch mit (1) oder (2) aus einer Komponente berechnen, wenn der Winkel α bekannt ist.

Beispiel: Wir bestimmen die Luftlinien­entfernung Berlin ↔ Hamburg aus der x-Komponente: \(r=\frac{r_x}{cos(\alpha)}=\frac{-223\text{ km}}{cos(2,67)}=250\text{ km}\).

Winkelberechnungen

Aus dem Betrag eines Vektors und einer Kompo­nente kann man den Winkel α zur Koordinatenachse berechnen. Dabei sollte man Fol­gen­des be­ach­ten: Winkelberechnungen sind nicht ein­deutig, denn es ist

a)

   \( cos(α) = cos(− α)\)    \( cos(α) = cos(2π − α)\)

b)

\( sin(α) =− sin(− α)\) \( sin(π − α) = sin(α)\)

c)

\(-tan(α)=tan(−α)\) \(tan(π + α) = tan(α)\)

Um Winkel eindeutig zu berech­nen, muss bekannt sein, in welchem Quadranten der Vektor liegt. Das erkennt man an den Vorzeichen der Komponenten oder durch eine Zeichnung.

Beispiel: Wir berechnen für unseren Ortsvektor den Winkel \(\alpha\) zur x-Achse. Der Vektor liegt im 2. Quadranten, folglich muss \(\alpha\) zwischen \(\frac{\pi}2=1,57\) und \(\pi=3,14\) liegen. Wir rechnen:

a)

  

\( \alpha = arccos(\frac {r_x} {r}) = arccos(\frac{− 223\text{ km}}{250\text{ km}}) = 2,68 \text{ rad (153°)}\)

b)

\( \alpha = arcsin(\frac {r_y} {r}) = arcsin(\frac{113\text{ km}}{250\text{ km}}) = 0,464 \text{ rad (27°)}\)

c)

\( \alpha = arctan(\frac {r_y} {r_x}) = arctan(\frac{113\text{ km}}{-223\text{ km}}) = -0,464 \text{ rad (-27°)}\)

Drei Rechnungen, drei Werte! In allen Fällen ist der Winkel zweideutig. Bei a) liefern \(\pm\alpha\) und \(2\pi-\alpha\) das gleiche \(x\), bei b) liefern \(\alpha\) bzw. \(\pi-\alpha\) das gleiche \(y\) und bei c) liefern \(\alpha\) und \(\pi+\alpha\) das gleiche \(\frac yx\). Zum 2. Quadranten passt nur das Ergebnis von a), bei b) müssen wir \(\pi-\alpha\) und bei c) \(\pi+\alpha\) wählen, damit der Winkel im 2.Quadranten liegt. Dann ergeben alle Rechnungen \(\alpha = 2,68\text{ rad (153°)}\).

Tipp:: Bei trigonometrischen Funktionen sollten Winkel möglichst in „rad“ verwenden werden, weil ein Ver­hältnis wie z. B. \(\frac yx\) die Einheit „rad“ hat. Die Ein­heit rad = m/m ist dimensionslos und kann immer durch 1 er­setzt werden.

Multiplikation und Division mit einem Skalar

Ein Vektor \(\vec a\) wird mit einem Skalar \(c\) multipliziert, indem man jede Komponente mit dem Skalar multipliziert: \( c \vec a = \left(\matrix{c a_x\\ c a_y\\c a_z}\right)\).

Analog dividiert man durch einen Skalar, indem man jede Komponente mit \(\frac 1c \) multipliziert: \(\frac {\vec a}{c} =\left(\matrix{\frac {a_x}{c}\\ \frac{a_y}{c}\\ \frac{a_z}{c}}\right)\).

Das ändert die Länge und/oder die Einheit des Vektors, jedoch nicht seine Richtung.

Einheitsvektoren

Wenn man einem Vektor nur seine Information „Richtung“ entnehmen will, muss man ihn in seinen Einheitsvektor umwandeln. Das ist ein einheitenloser Vektor mit dem Betrag 1, der in die gleich Richtung zeigt wie der ursprüngliche Vektor. Man erzeugt einen Einheitsvektor, indem man einen Vektor durch seinen Betrag dividiiert: \(\hat a=\frac {\vec a}{a} =\left(\matrix{\frac {a_x}{a}\\ \frac{a_y}{a}\\ \frac{a_z}{a}}\right)\). Im PhysKi werden Einheitsvektoren abweichend von der üblichen Notation (Pfeil) mit einem Dach (^) bezeichnt, um sie besser von anderen Vektoren unterscheiden zu können. Beispielsweise werden die Einheitsvektoren entlang der Koordinatenachsen folgendermaßen bezeichnet: \(\hat x, \hat y,\hat z\).

Beispiel: Der Betrag eines Einheitsvektors ist \(\left|\frac {\vec a}{a}\right| =\sqrt{(\frac {a_x}{a})^2 +(\frac{a_y}{a})^2+(\frac{a_z}{a})^2}=\frac {1}{a} \sqrt{a_x^2 +a_y^2+a_z^2}=\frac aa =1\).
Beispiel: Der Einheitsvektor von \(\vec r\) ist \(\hat r=\frac {\vec r}{r} =\left(\matrix{\frac {-223\text{ km}}{250\text{ km}}\\ \frac{113\text{ km}}{250\text{ km}}}\right)=\left(\matrix{-0,89\\0,45}\right)\). Probe: \(|\hat r|= \sqrt{(-0,89)^2 +0,45^2}=1\)

Häufig benötigen wir auch die vektorielle Komponente eines Vektors in eine bestimmte Richtung. Wir müssen also aus der skalaren Komponente eines Vektors in eine bestimmte Richtung einen Vektor machen. Dazu multiplizieren wir die skalare Komponente mit dem Einheitsvektor der Richtung, z.B. : \({\vec a}_x=a_x \hat x\). So ergibt sich ein Vektor als Summe seiner vektoriellen Komponenten: \(\vec a=a_x \hat x+a_y \hat y+ a_z \hat z\).

Rechenoperationen mit Vektoren

Das Rechnen mit Vektoren ist sehr anschaulich. Jede Rechenoperation hat eine anschauliche grafi­sche Bedeutung. Die grafische Bedeutung einer Rechnung ermöglicht es, aus zeichnerisch gegebenen Situa­tio­nen vektorielle Zusammenhänge abzulesen.

Division

Die Division durch Vektoren ist verboten!

Addition und Subtraktion

Addition und Subtraktion

Addition/Subtraktion Vektoren werden komponenten­weise addiert und subtrahiert: \( \begin{equation} \vec a\pm \vec b=\vec c=\left(\begin{matrix}a_1\pm b_1\\a_2\pm b_2\\a_3\pm b_3\end{matrix}\right) \end{equation}\).

Zur grafischen Addition oder Subtraktion zweier Vektoren und müssen sie sich passend berühren. Dazu darf man die Vektoren parallel verschieben, d. h. ohne sie zu ver­drehen. Bei der Summe verschiebt man so, dass der Anfang des einen Vektorpfeils an der Spitze des anderen liegt, die Pfeile werden also hintereinander verkettet. Der Summen­vektor ist die Verbindung vom Anfang bis zum Ende der Kette. Schiebt man z. B. \(\vec b\) an das Ende von \(\vec a\), dann ist der Summenvektor die Verbindung vom Anfang von \(\vec a\) zur Spitze von \(\vec b\).

Bei der Differenz müssen sich dagegen die Anfänge der Vektoren berühren, sie werden also neben­einander gelegt. Der Differenzvektor ist die Verbindung der Spitzen. Hier muss man das Vorzeichen beachten, denn \(\vec a -\vec b=-\vec b -\vec a\). Für \(\vec a -\vec b\) verbinden wir von \(\vec b\) nach \(\vec a\), andernfalls anders­her­um.

Ortsvektoren sind gebundene, nicht verschiebbare Vektoren, sie beginnen immer im Ursprung. Dadurch liegen aber ihre Anfänge immer beisammen und man kann ihre Differenzen bilden, wodurch man beliebige Vektoren darstellen kann..

Multiplikation

Es gibt zwei unterschiedliche Produkte zwischen Vektoren: das Skalarproduktund das Vektorprodukt. Am Multiplikationszeichen erkennt man, welches gemeint ist. Das Vektor­produkt heißt deshalb auch „Kreuzprodukt“. Der Name benennt den Typ des Ergebnisses: Es ist ein Skalar beim Skalarprodukt und ein Vektor beim Vektorprodukt. Die Produkte werden unter­schied­lich gebildet und haben unterschiedliche Eigenschaften.

Skalarprodukt

Das Skalarprodukt ist die Multiplikation zweier Vektoren \(\vec a \cdot \vec b\), gekennzeichnet durch den Punkt „\(\cdot\)“. Das Ergebnis ist ein Skalar \(c\).

Man kann es auf zwei Arten berechnen: Entweder durch die Summe der Komponenten­produkte oder als Produkt der Be­trä­ge mal dem Kosinus des Winkels \(\alpha\) zwischen \(\vec a\) und \(\vec b\):\(\begin{equation} c=\vec a\cdot \vec b=a_x b_x+a_y b_y+a_z b_z=ab\cos (\alpha ) \end{equation}\)

Es entspricht der Komponete von \(\vec a\) in Richtung von \(\vec b\) multipliziert mit dem Betrag \(b\). Oder umge­kehrt, denn es gilt das Kommutativgesetz: \(\vec a \cdot \vec b=\vec b \cdot \vec a\). Ist einer der Vektoren ein Einheitsvektor, dann ist c die Komponente des anderen Vektors in die Richtung des Einheitsvektors.

  • Das Skalarprodukt ist null, wenn \(\vec a\) und \(\vec b\) senk­recht auf­einander stehen.
  • Es ist maximal und hat den Wert \(c = ab\), wenn \(\vec a\) und \(\vec b\) parallel zueinander sind.
  • Es ist minimal mit \(c = −ab\), wenn \(\vec a\) und \(\vec b\) anti­parallel zueinander sind.

Vektorprodukt

Bedeutung des Vektorprodukts
Rechte-Hand-Regel

Das Vektorprodukt ist die Multiplikation zweier Vektoren \(\vec a\times \vec b\) , gekennzeichnet durch das Kreuz „\(\times\)“. Das Ergebnis ist ein Vektor \(\vec c\).

Er wird komponentenweise durch Bildung von Produktdifferenzen berechnet: \(\vec c=\vec a\times \vec b=\left(\begin{matrix}a_2b_3-a_3b_2\\a_3b_1-a_1b_3\\a_1b_2-a_2b_1\end{matrix}\right)\).

Den Betrag von \(\vec c\) erhält man aus dem Produkt der Beträge mal dem Sinus des Winkels \(\alpha\) zwischen \(\vec a\) und \(\vec b\): \(|\vec c|=|\vec a\times \vec b|=ab\sin (\alpha )\).

Das Ergebnis \(\vec c\) ist ein Vektor, der senkrecht auf der durch \(\vec a\) und \(\vec b\) aufge­spann­ten Ebene steht und dessen Länge gleich dem Flächeninhalt der durch \(\vec a\) und \(\vec b\) aufgespannten Paralellogrammfläche ist. Die Richtung \(\vec c\) von findet man durch die „Rechte-Hand-Regel“: Zeigt der Daumen die Rich­tung von \(\vec a\) und der Zeige­finger die Rich­tung von \(\vec b\), dann zeigt der ange­win­kelte Mittelfinger die Rich­tung von \(\vec c\) an.

  • Das Vektorprodukt ist null, wenn zwei Vektoren \(\vec a\) parallel zuein­ander sind.
  • Es ist maximal und hat den Betrag \(ab\), wenn zwei Vektoren \(\vec a\) senkrecht aufeinander stehen.
  • Das Kommutativgesetz gilt nicht, sondern \(\vec a\times \vec b=-(\vec b\times \vec a)\).

Integrieren und Differenzieren

Vektoren werden komponentenweise differenziert und integriert:

Ableitung: \( \frac d{dt}{\vec f(t)}=\left(\begin{matrix}\frac {df_x(t)}{dt}\\ \frac {df_y(t)}{dt}\\ \frac {df_z(t)}{dt}\end{matrix}\right)\)

    

Integral \( \int \vec f(t)\mathit{dt}=\left(\begin{matrix}\int f_x(t)\mathit{dt}\\\int f_y(t)\mathit{dt}\\\int f_z(t)\mathit{dt}\end{matrix}\right)\)

Beispiel:

Funktion \( \vec f(t)=\vec r(t)=\left(\begin{matrix}x(t)\\y(t)\\z(t)\end{matrix}\right)\)

    

Ableitung: \( \dot{\vec r}(t)=\left(\begin{matrix}\dot x(t)\\ \dot y(t)\\ \dot z(t)\end{matrix}\right)\)

    

Integral \( \int \vec f(t)\mathit{dt}=\left(\begin{matrix}\int x(t)\mathit{dt}\\\int y(t)\mathit{dt}\\\int z(t)\mathit{dt}\end{matrix}\right)\)

Partielle Ableitungen

Der Nabla-Operator \(\vec{\nabla }=\left(\begin{matrix}\frac{\partial }{\partial x}\\\frac{\partial }{\partial y}\\\frac{\partial }{\partial z}\end{matrix}\right)\) erzeugt die partielle Ableitung nach dem Ort. Wenn man nach einer Koordinate partiell ableitet, betrachtet man die anderen Koordinaten als Konstanten.

Gradient \(\vec b=\vec{\nabla }a\)

Die Anwendung von \(\vec{\nabla }\) auf eine skalare Funktion nennt man Gradient. Das Ergebnis ist ein Vektor.

Beispiel: Gradient des Betrags von einem Ortsvektor $\vec r=\left(\begin{matrix}x\\y\\z\end{matrix}\right)$; Gradient: $\vec{\nabla }r=\text{grad}\, r=\vec{\nabla }\sqrt{x^2+y^2+z^2}=\left(\begin{matrix}\frac{\partial }{\partial x}\sqrt{x^2+y^2+z^2}\\\frac{\partial }{\partial y}\sqrt{x^2+y^2+z^2}\\\frac{\partial }{\partial z}\sqrt{x^2+y^2+z^2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}x/\sqrt{x^2+y^2+z^2}\\y/\sqrt{x^2+y^2+z^2}\\z/\sqrt{x^2+y^2+z^2}\end{matrix}\right)=\frac{\vec r} r$
Divergenz $b=\vec{\nabla }\cdot \vec a$

Das Skalarprodukt von $\vec{\nabla }$ mit einem Vektor nennt man Divergenz. Das Ergebnis ist ein Skalar.

Beispiel: Divergenz des Vektors $\vec r=\left(\begin{matrix}x\\y\\z\end{matrix}\right)$; Divergenz: $\vec{\nabla }\cdot \vec r=\text{div}\vec r=\frac{\partial }{\partial x}x+\frac{\partial }{\partial y}y+\frac{\partial }{\partial z}z=1+1+1=3$
Rotation \(\vec b=\vec{\nabla }\times \vec a\)

Das Vektorprodukt von \(\vec{\nabla }\) mit einem Vektor nennt man Rotation. Das Ergebnis ist ein Vektor.

Beispiel: Rotation des Vektors $\vec r=\left(\begin{matrix}x\\y\\z\end{matrix}\right)$ Rotation: $\vec{\nabla }\times \vec r=\text{rot}\vec r=\left(\begin{matrix}\frac{\partial z}{\partial y}-\frac{\partial y}{\partial z}\\\frac{\partial x}{\partial z}-\frac{\partial z}{\partial x}\\\frac{\partial y}{\partial x}-\frac{\partial x}{\partial y}\end{matrix}\right)=0$