Vektoren

Aus PhysKi
Wechseln zu: Navigation, Suche

Von einer Zahl zum Pfeil: Vektoren darstellen

Abb.1 Alltagsbeispiel eines Vektors

Eine nicht gerichtete Größe wie z. B. die Masse m ist ein Skalar. Physikalische Größen wie z.B. der Weg, die neben einem Zahlenwert (wie lang?) auch eine Richtung (wo lang?) haben, sind Vektoren. Ein Alltagsbeispiel für einen Weg-Vektor ist ein Hinweisschild. Es gibt einen Zahlenwert und eine Richtung an. Den Zahlenwert eines Vektors nennen wir seinen Betrag. Der Betrag eines Vektors ist wieder ein Skalar.

Kontrollfrage 1: Welche der folgenden Beispiele sind ebenfalls Vektoren? A) Südost-Wind der Stärke 6, B) Regenmenge 45 l auf 1 m2, C) Steigung von 13%, D) Begabung.
A) und D)! Der Wind hat eine Windstärke (Betrag des Vektors) und kommt aus Südost (Richtung des Vektors). D) Ein Schüler mit den Noten Deutsch 4 und Physik 1 hat an der Durchschnittsnote (Betrag des Vektors) gemessen die gleiche Begabung wie einer mit Deutsch 1 und Physik 4. Die Begabungen liegen aber auf unterschiedlichen Gebieten (Richtung des Vektors). Beide sind jedoch weniger begabt als ein Schüler mit Deutsch 1 und Physik 1. Man sollte sich dennoch als Lehrender davor hüten, die Begabung eines Schülers in eine einzige Zahl pressen zu wollen, denn Begabung ist ein Vektor und kann in ungeahnte Richtung weisen!


Symbole für Vektoren

Vektoren symbolisieren wir in der Regel durch Buchstaben mit einem Pfeil wie bei \(\vec a\). Eine von zwei Ausnahme bildet das Symbol "^" wie bei \(\hat x\). Es steht im PhysKi ebenfalls für einen Vektor, ist allerdings für eine besondere Vektorsorte reserviert, nämlich für Einheitsvektoren[1]. Die zweite Ausnahme bildet der Nullvektor $\vec 0$. Es wird häufig, wie auch im PhysKi, einfach "Null" genannt und als "0" geschrieben, weil es einfacher und kürzer ist und eine Verwechselung mit einem Vektor wie $\vec O$ oder $\vec o$ ausschließt. In vielen Lehrbüchern (wie auch in [2]) werden Vektoren anstatt durch einen Pfeil über dem Buchstaben durch Fettdruck symbolisiert. Da dies an der Tafel oder handschriftlich nicht gut darstellbar ist, sollten Lehrende ausschließlich den Pfeil und optional den "Hut" für Einheitsvektoren verwenden. Im PhysKi wird diese Notation durchgehend verwendet. Die Anwendung einer dieser Notationen für Vektoren ist zwingend! Vektoren dürfen nicht wie Skalare ohne Pfeil bzw. "Hut" geschrieben werden. Ebensowenig dürfen Skalare mit einem Pfeil oder "Hut" verziert werden. Beispiele für Vektoren in der Physik sind die Geschwindigkeit \(\vec v\), die Kraft \(\vec F\), die Beschleunigung \(\vec a\) oder der Impuls \(\vec p\). Beispiele für Einheitsvektoren sind die der kartesischen Koordinaten \(\hat x\), \(\hat y\) und \(\hat z\).

Beispiel: Ein Ortsvektor muss mit Pfeil als \(\vec r\) geschrieben werden. Wenn statt dessen nur r geschrieben wird, ist der Betrag des Vektors gemeint, der ein Skalar ist. Und weil der Betrag des Vektors \(\vec r\) ein Skalar ist, muss er ohne Pfeil, also als r geschrieben werden.
Kontrollfrage 2: Sind alle Pfeile richtig gesetzt? Finde alle überflüssigen oder fehlenden Pfeile in diesem Satz: "Den Betrag F der Kraft F, die auf eine Masse $\vec m$ wirkt und sie beschleunigt, kann man aus $\vec F = m \vec a$ berechnen, wenn die Beschleunigung a und die Masse m bekannt sind."!
Richtig ist:"Den Betrag F der Kraft $\vec F$, die auf eine Masse m wirkt und sie beschleunigt, kann man aus $\vec F = m \vec a$ berechnen, wenn die Beschleunigung $\vec a$ und die Masse m bekannt sind!". Denn die Kraft $\vec F$ ist ein Vektor und ihr Betrag F ist ein Skalar. Gleiches gilt für die Beschleunigung $\vec a$. Die Masse m ist dagegen immer ein Skalar.


Grafische Darstellung von Vektoren

Vektoren symbolisieren wir in Zeichnungen durch Pfeile, damit wir auch ihre Richtung angeben können. Die Orientierung des Pfeils gibt die Richtung des Vektors an, die Länge des Pfeils gibt den Zahlenwert des Vektors an, d.h. seinen Betrag.

Abb.2 Ortsvektor nach Hamburg
Beispiel: Wir zeichnen einen geraden Weg von Berlin nach Hamburg als Vektor \(\vec s\) in eine Landkarte (Abb.2). Er symbolisiert näherungsweise ein Hin­weisschild. Seine Richtung entspricht dem direkten Weg, seine Länge entspricht dem Zahlenwert der Luftlinienentfernung Berlin ↔ Hamburg. Wir messen die Länge l des Maßstabes und die Länge L des Vektorpfeils und erhalten daraus den Betrag des Vektors \(s=\frac Ll \cdot 50 \text { km}= 250 \text{ km} \). Die Ent­fernung über die Autobahn ist mit 290 km etwas länger.
Abb. F3
Kontrollfrage 3a: Abb. F3 zeigt vier Kraftvektoren und einen Maßstab (in Newton). Welchen Betrag hat der Vektor $\vec F_a$?
Der Betrag von $\vec F_a$ ist Fa = 4 N.
Kontrollfrage 3b: Abb. F3 zeigt vier Kraftvektoren und einen Maßstab (in Newton). Sortiere alle Vektoren nach ihrem Betrag in aufsteigender Reihenfolge!
Der Betrag von $\vec F_a$ ist Fa = 4 N. Die übrigen Beträge sind Fb = Fc = 5 N und Fd = 2 N. Die Reihenfolge ist daher Fd < Fa  < Fb = Fc.


Komponenten eines Vektors

Um die zwei Angaben eines Vektors, nämlich Zahlenwert und Richtung, mathematisch auszudrücken, muss man irgendwie angeben, wieviel vom Zahlenwert auf welche Richtung entfällt. Den Weg von Berlin nach Hamburg, könnten wir auch so beschreiben: "Gehe von Berlin aus 223 km nach Westen und dabei auch 113 km nach Norden." Diese Art, den Weg zu beschreiben, besteht aus Angaben der Form "Wie weit oder wieviel in eine bestimmte Richtung". Eine Angabe darüber, welcher Anteil auf eine bestimmte Richtung entfällt, nennt man eine Komponente eines Vektors. Vektoren werden häufig mittels ihrer Komponenten angegeben. Den Komponenten kann man den Zahlenwert des Vektors, d.h. seinen Betrag, nicht mehr unmittelbar ablesen, sondern muss ihn aus den Komponenten berechnen. Auch den Zahlenangaben "223 km nach Westen und dabei 113 km nach Norden" können wir die Länge des direkten Weges von Berlin nach Hamburg nicht mehr unmittelbar entnehmen, sondern müssen sie daraus berechnen.

Wenn wir Vektoren durch ihre Komponenten darstellen wol­len, müssen wir sie in ein Koordinatensystem legen. Die Koordinatenachsen geben dann die "bestimmten Richtungen" für die Komponenten vor. Wenn wir ein kartesisches Koordinatensystem mit den Richtungen x, y und z wählen, dann gibt die x-Komponente an, "wie weit in x-Richtung", die y-Komponente "wie weit in y-Richtung" und die z-Komponente "wie weit in z-Richtung". Wenn man gegen eine der Koordinatenrichtungen gehen muss, wird die Komponente negativ. Komponenten bezeichnet man mit dem gleichen Buchstaben wie den Vektor plus einem Index für die Richtung. Die y-Komponente eines Vektors $\vec a$ ist beispielsweise ay.

Abb.3 Ortsvektor im Koordinatensystem
Beispiel: Unser Bei­spiel­vektor $\vec s$ für den Weg von Berlin nach Hamburg beginnt in Ber­lin und seine Spitze markiert Ham­burg. Wir wählen nun ein x-y-Koordinaten­system mit dem Ur­sprung in Ber­lin wie in Abb.3. Die x-Achse zeigt nach Osten, die y-Achse nach Norden. Die Achsen unter­teilen wir mit dem Maß­stab in 50-km-Einheiten. Jetzt könnten wir dem Vektor bzw. seinen Komponenten auch Zahlen zuordnen. Die Spitze des Vektors befindet sich am Punkt P = (−223 km|113 km). Um dahin zu gelangen, müssen wir 223 km gegen die x-Richtung und 113 km in y-Richtung gehen. Darum ist die x-Komponente unseres Vektors sx =  −223 km und seine y-Komponente sy = 113 km.
Abb. F4
Kontrollfrage 4: Abb. F4 zeigt vier Vektoren in einem Koordinatensystem. Gebe die Komponenten aller Vektoren an!
$\vec F_a$: Fa,x = 4 N und Fa,y = 0 N. $\vec F_b$: Fb,x = −3 N und Fb,y =−4 N. $\vec F_c$: Fc,x = 4 N und Fc,y =−3 N. $\vec F_d$: Fd,x = 0 N und Fd,y =−2 N.



Betrag eines Vektors aus den Komponenten berechnen

Den Betrag eines Vektors, d. h. die Länge des Vektorpfeils im gewählten Koordinatensystem, berechnet man aus seinen Komponenten durch:

Betrag $|\vec a|=a$ eines Vektors aus seinen Komponenten: $|\vec a|=a=\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}$
Beispiel: Wir berechnen die Luftlinien­entfernung Berlin ↔ Hamburg, also den Betrag \(|\vec s|\) des Vektors \(\vec s\): $s=\sqrt{(-223\text{ km})^2+(113\text{ km})^2}=250\text{ km}$.
Kontrollfrage 5a: Welchen Betrag hat ein Geschwindigkeitsvektor $\vec v$ mit den Komponenten $v_x=3,0\text{ m/s}$ und $v_y=4,0\text{ m/s}$?
Der Betrag des Geschwindigkeitsvektors, d.h. das Tempo, ist $v= \sqrt{(3,0\text{ m/s})^2+(4,0\text{ m/s})^2}=\sqrt{25\ {\rm m^2/s^2} }=5,0\text{ m/s}$.
Kontrollfrage 5b: Berechne für alle Vektoren in Abb. F4 den Betrag aus ihren Komponenten!
$\vec F_a$: $F_a=\sqrt{(4\text{ N})^2+(0\text{ N})^2}=\sqrt{16\text{ N}^2}=4\text{ N}$. $\vec F_b$: $F_b=\sqrt{(-3\text{ N})^2+(-4\text{ N})^2}=\sqrt{25\text{ N}^2}=5\text{ N}$. $\vec F_c$: $F_c=\sqrt{(4\text{ N})^2+(-3\text{ N})^2}=\sqrt{25\text{ N}^2}=5\text{ N}$. $\vec F_d$: $F_d=\sqrt{(0\text{ N})^2+(-2\text{ N})^2}=\sqrt{4\text{ N}^2}=2\text{ N}$.


Winkelangaben

Abb.4 Komponenten und Azimutalwinkel φ eines 2D-Vektors

Ein Vektor kann auch über seinen Betrag und seine Winkel relativ zu einer bekannten Richtung wie z.B. Osten angegeben werden. Eine weitere Möglichkeit, den Weg von Berlin nach Hamburg zu beschreiben, wäre: "Schaue nach Osten. Drehe dich nun um den Winkel φ = 153° gegen den Uhrzeigersinn. Fahre 250 km in deine neue Blickrichtung."

Im allgemeinen wählt man zur Beschreibung von Vektoren ein Koordinatensystem und gibt Winkel relativ zu den Koordinatenachsen an. Bei einem zweidimensionalen Vektor genügt neben dem Betrag ein Winkel. Ein zweidimensionaler Vektor enthält zwei Informationen, also benötigen wir zwei Angaben, um ihn darzustellen: Entweder seine beiden Kompo­nenten oder seine Länge und einen Winkel. Grundsätzlich ist es egal, welchen Winkel man angibt. Meist ist es jedoch der Winkel φ, den der Vektor zur positiven x-Achse einschließt, wobei φ im Gegenuhrzeigersinn gemessen wird. Dieser Winkel entspricht dem Azimutalwinkel φ in Polarkoordinaten (Kreiskoordinaten).

Die Komponenten eines 2D-Vektors aus Betrag und Winkel berechnen

Für einen zweidimensionalen Vektor, der einen Winkel φ zur x-Achse einschließt, ergeben sich seine Komponenten folgendermaßen:

Komponenten eines Vektors $\vec a$ aus Betrag a und Azimutalwinkel φ:   $a_x=a\ \cos(\varphi)$ und $a_y=a\ \sin(\varphi)$
Abb.5 Vektor mit Azimutalwinkel
Beispiel: Wir lesen aus Abb.5 den Winkel φ zur positive x-Achse gegen den Uhrzeigersinn mit dem Geo­drei­eck ab und erhalten φ = 153°. Das entspricht in Radiant umgerechnet dem Winkel φ = 2,67 rad[3].

Mit dem Betrag $s = 250 \text{ km}$ (Luftlinienentfernung) erhalten wir $s_x = 250 \text{ km}\cdot \cos(2,67)=223 \text{ km}$ und $s_y = 250 \text{ km}\cdot \sin(2,67)=113 \text{ km}$.

Kontrollfrage 6: Ein Weg $\vec s$ hat die Länge s = 15,00 m und liegt unter dem Winkel φ = 15,00° zur x-Achse. Wie weit führt er in x- und wie weit in y-Richtung?
Der Winkel φ = 15,00° entspricht $\varphi = 15,00° \times \dfrac{\pi\ {\rm rad} }{180°}=0,2618 \text{ rad}$. Daraus ergeben sich die Komponeneten von $\vec s$ zu $s_x =15,00\ \text m \times \cos(0,2618)=14,48\ \text m$ und $s_y =15,00\ \text m \times \sin(0,2618)=3,882\ \text m$. Der Weg führt 14,48 m in x-Richtung und dabei 3,882 m in y-Richtung.


Die Komponenten eines 3D-Vektors aus Betrag und Winkeln berechnen

Abb.6 Komponenten und Winkel eines 3D-Vektors

Bei einem dreidimensionalen Vektor sind drei Angaben erforderlich: Entweder seine drei Komponenten oder seinen Betrag und zwei Winkel. Für einen dreidimensionalen Vektor sind α, β und γ die Winkel zu den jeweiligen Koordi­na­ten­achsen x, y und z. Für sie gilt der Zusammenhang $\cos^2(\alpha)+\cos^2(\beta)+\cos^2(\gamma)=1$. Den Kosinus des jeweiligen Winkels nennt man Richtungskosinus. Häufiger verwendet man jedoch andere Winkel, nämlich den Azimutalwinkel φ der Projektion des Vektors auf die x-y-Ebene zur x-Achse sowie den Winkel θ, des Vektors selbst zur z-Achse (identisch mit γ). Diese Winkel entsprechen dem Azimutalwinkel φ und dem Polarwinkel θ in Kugelkoordinaten. Alle Winkel sind in Abb.6 gezeigt. Die Komponenten berechnet man folgendermaßen:

Komponenten eines Vektors $\vec a$ aus Betrag a und den Winkeln α, β und γ zu den Koordinatenachsen:
  • x-Komponente: $a_x=a\,\cos(\alpha)$
  • y-Komponente: $a_y=a\,\cos(\beta)$
  • z-Komponente: $a_z=a\,\cos(\gamma)$

Komponenten eines Vektors $\vec a$ aus Betrag a und den Azimutalwinkel φ und dem Polarwinkeln θ in Kugelkoordinate:

  • x-Komponente: $a_x=a\,\sin(\theta)\,\cos(\varphi)$
  • y-Komponente: $a_y=a\,\sin(\theta)\,\sin(\varphi)$
  • z-Komponente: $a_z=a\,\cos(\theta)$

Winkel aus Betrag und Komponente berechnen

Aus dem Betrag eines Vektors und einer Kompo­nente kann man umgekehrt auch den Winkel zur Koordinatenachse berechnen. Dabei sollte man be­ach­ten, dass Winkelberechnungen nicht ein­deutig sind, denn es ist

  1. $\ \cos(\varphi) = \cos(−\varphi)$ und $\cos(\varphi) = \cos(2\pi−\varphi)$
  2. $\ \sin(\varphi) =− \sin(−\varphi)$ und $\sin(\pi − \varphi) = \sin(\varphi)$
  3. $-\tan(\varphi)=\tan(−\varphi)$ und $\tan(\pi + \varphi) = \tan(\varphi)$

Um Winkel eindeutig zu berech­nen, muss bekannt sein, in welchem Quadranten der Vektor liegt. Das erkennt man an den Vorzeichen der Komponenten oder durch eine Zeichnung.

Beispiel: Wir berechnen für unseren Beispielvektor $\vec s$ den Winkel φ zur x-Achse. Der Vektor liegt im 2. Quadranten, folglich muss φ zwischen $\dfrac{\pi}2=1,57$ und $\pi=3,14$ liegen[3]. Wir rechnen:
  1. $\varphi = \arccos(\dfrac {s_x} {s}) = \arccos(\dfrac{− 223\text{ km}}{250\text{ km}}) = 2,68 \text{ rad (153°)}$
  2. $\varphi = \arcsin(\dfrac {s_y} {s}) = \arcsin(\dfrac{113\text{ km}}{250\text{ km}}) = 0,464 \text{ rad (27°)}$
  3. $\varphi = \arctan(\dfrac {s_y} {s_x}) = \arctan(\dfrac{113\text{ km}}{-223\text{ km}}) = -0,464 \text{ rad (-27°)}$
Drei Rechnungen, drei Werte! In allen Fällen ist der Winkel zweideutig. Bei 1. liefern $\pm\varphi$ und $2\pi-\varphi$ das gleiche x, bei 2. liefern $\varphi$ bzw. $\pi-\varphi$ das gleiche y und bei 3. liefern $\varphi$ und $\pi+\varphi$ das gleiche $\frac yx$. Zum 2. Quadranten passt nur das Ergebnis von 1., bei 2. müssen wir $\pi-\alpha$ und bei 3. $\pi+\alpha$ wählen, damit der Winkel im 2.Quadranten liegt. Dann ergeben alle Rechnungen $\alpha = 2,68\text{ rad (153°)}$.

Mathematische Darstellung von Vektoren

Mathematisch schreibt man Vektoren als Klammer, zwischen denen die Komponenten in der Reihenfolge x, y, z von oben nach unten vertikal angeordnet sind, oder als Summe ihrer vektoriellen Komponenten.

Schreibweise für Vektoren: $\vec a=\left(\matrix {a_x\\ a_y\\a_z}\right)=a_x\hat x+a_y\hat y+a_z \hat z$

Die Komponenten ax, ay und az des Vektors sind wie sein Betrag Skalare. Wenn man jedoch die Komponenten des Vektors mit ihren zugehörigen Einheitsvektoren $\hat x,\,\hat y$ oder $\hat z$ multipliziert, werden sie zu Vektoren. Diese Vektoren werden häufig doppeldeutig ebenfalls als Komponenten bezeichnet. Um sie gegen die skalaren Komponenten abzugrenzen, kann man sie als vektorielle Komponenten oder Komponentenvektoren bezeichnen.

Beispiel: Ein Geschwindigkeitsvektor sei $\vec v=\left(\matrix {2,0 \text{ m/s}\\ 1,0 \text{ m/s}\\-2,0 \text{ m/s}}\right)$. Seine Komponenten $v_x=2,0 \text{ m/s}$, $v_y=1,0 \text{ m/s}$ und $v_z=-2,0 \text{ m/s}$ sind Skalare. Seine vektoriellen Komponenten bzw. Komponentenvektoren sind $\vec v_x=2,0 \text{ m/s}\ \hat x$, $\vec v_y=1,0 \text{ m/s}\ \hat y$ und $\vec v_z=-2,0 \text{ m/s}\ \hat z$. Man kann den Vektor auch als $\vec v =2,0 \text{ m/s}\ \hat x+1,0 \text{ m/s}\ \hat y+(-2,0) \text{ m/s}\ \hat z$ schreiben.
Unser Beispielvektor für den Weg von Berlin nach Hamburg ist $\vec s=\left(\matrix{ -223\text{ km}\\113\text{ km}}\right)$ oder auch $\vec s= -223\text{ km}\ \hat x + 113\text{ km}\ \hat y$.
Kontrollfrage 7: Welche der Vektoren sind richtig geschrieben? Welche Bedeutung haben die falschen Schreibweisen? $\vec a=(5\vert 4)$, $\vec b=(5,4)$, $\vec c=\left(\matrix{5\\4}\right)$, $\vec d=4\,\hat y+5\,\hat x$.
Richtig geschrieben sind $\vec c$ und $\vec d$. In der Klammerschreibweise ist die Reihenfolge der Komponenten festgelegt, in der Summenschreibweise ist sie egal. Gewöhlich gibt man die Komponeten in alphabetischer Reihenfolge an. Falsch sind $\vec a$ und $\vec b$. $\vec a$ verwendet die Notation für Punkte und eine Punkt ist kein Vektor. $\vec b$ gibt statt eines Vektors nur die Zahl 5,4 an.


Ungebundene und gebundene Vektoren

Abb.7 Vektoren sind frei verschiebbar

Vektoren enthalten Informationen über ihren Betrag und ihre Richtung. Sie enthalten jedoch nicht die Information "Von wo aus wohin", also über ihren Start- und Endpunkt. Das lässt sich unmittelbar einsehen: Für 2D-Vektoren benötigen wir zwei Zahlenangaben, für 3D-Vektoren sind es drei. Um einen Start- und Endpunkt anzugebenen, würden wir jedoch 2 × 2 (in 2D) bzw. 2 × 3 (in 3D) Zahlen benötigen. Vektoren dürfen deshalb nicht als Verbindung zwischen zwei Punkten aufgefasst werden. Tatsächlich ist es sogar so, dass Vektoren in der Regel frei verschiebbar sind, weil ihr Startpunkt bzw. Endpunkt unbestimmt ist. Frei verschiebbare Vektoren nennt man ungebundene Vektoren. Das ist der Normalfall.

Komponenten eines ungebundenen Vektors

Ein ungebundener Vektor darf beliebig verschoben werden, ohne dass sich seine Komponenten dabei ändern. Die Angabe "Wie weit in eine bestimmte Richtung" ist ja unabhängig davon, von wo aus man startet. Abb.7 zeigt einen Vektor $\vec a$, der an verschiedene Positionen geschoben wurde. Seine Komponenten (rot x-Komponente ax, grün y-Komponente ay) sind stets gleich. Abb.7 verdeutlicht auch, wie man die Komponenten eines gezeichnetn Vekors bestimmt: Man liest für jede Achse ab, über welche Länge in Achseneinheiten sich der Vektor erstreckt. Dabei muss man natürlich die Pfeilrichtung beachten, damit die Komponenten das richtige Vorzeichen bekommen. Wir können das ganze auch etwas abstrakter und allgmeiner formulieren:

Die Komponente eines Vektors in eine bestimmte Achsenrichtung ist seine senkrechte Projektion auf die Koordinatenachse. Zeigt die Pfeilspitze der Projektion in Achsenrichtung, ist die Komponente positiv, zeigt sie gegen die Achsenrichtung, ist die Komponente negativ.

Man konstruiert sie zeichnerisch, indem man von beiden Enden des Vektors das Lot auf die Achse fällt (sofern das Ende nicht schon auf der Achse liegt). Man konstruiert also den senkrechten „Vektorschatten­“. Der „Vektorschatten“ auf die Achse entspricht der Komponente des Vektors für diese Achse.

Beispiel: Die Komponenten des Vektors in Abb. 7 sind $a_x=3$ und $a_y=2$, der Vektor lautet daher $\vec a=\left(\matrix{ 3\\2}\right)$.
Abb. F8
Kontrollfrage 8: Gebe die Komponenten der drei Vektoren in Abb. F8 an!
Abb. F8b
$a_x=4$ und $a_y=-3$, der Vektor lautet daher $\vec a=\left(\matrix{4\\-3}\right)$.
$b_x=0$ und $y_y=-3$, der Vektor lautet daher $\vec b=\left(\matrix{0\\-3}\right)$.
$c_x=-5$ und $a_y=2$, der Vektor lautet daher $\vec a=\left(\matrix{-5\\2}\right)$.


Gebundene Vektoren und Ortsvektoren

Nun kommt es aber durchaus vor, dass man einen Vektor benötigt, der einen festgelegten Startpunkt hat. Hierzu hat man per Konvention eine spezielle Sorte von Vektoren eingeführt, die Ortsvektoren, die meistens mit $\vec r$ bezeichnet werden. Manchmal werden sie auch als Zeigervektoren bezeichnet, weil sie auf einen definierten Punkt P zeigen. Für sie gilt:

Ortsvektoren: Ortsvektoren beginnen immer im Koordinatenursprung und sind nicht frei verschiebbar. Ein Ortsvektor $\vec r =\left(\matrix {x\\y\\z}\right)$ in kartesischen Koordinaten zeigt auf den Punkt P = (x|y|z).

Mit Hilfe von Ortsvektoren lässt sich die Position beliebiger anderer Vektoren im Raum festlegen. Wenn ein Vektor $\vec a$ genau an einem bestimmten Punkt P im Raum beginnen soll, dann lässt man einen Ortsvektor $\vec r$ auf diesen Punkt zeigen und schreibt für den Vektor $\vec a(\vec r)$.

Gebundene Vektoren: Die Notation $\vec a(\vec r)$ bedeutet, dass der Vektor $\vec a$ gebunden ist. Sein Startpunkt liegt an dem Punkt P, auf den der Ortsvekot $\vec r$ zeigt.

Diese Notation ist vor allem dann wichtig, wenn man Vektorfelder wie das Gravitationsfeld $\vec G(\vec r)$ oder das elektrische Feld $\vec E(\vec r)$ beschreibt.

Abb.9 Gebundene Vektoren (schwarz) und ihre Ortsvektoren (rot)
Beispiel: Ein einfaches Vektorfeld ist $\vec a(\vec r)=\vec r$ mit $\vec r=\left(\matrix {x\\y}\right)$. Es ist in Abb.9 anhand einiger seiner Vektoren gezeigt. An jeden Punkt P = (x|y) des Raumes gehört derjenige Vektor mit den Komponenten ax = x und ay = y. Jeder der Vektoren ist einzigartig, hat seinen genau definierten Startpunkt und darf nicht verschoben werden.

Rechnen mit Vektoren

Das Rechnen mit Vektoren ist sehr anschaulich. Jede Rechenoperation hat eine geometrische grafi­sche Bedeutung. Die grafische Bedeutung einer Rechnung ermöglicht es, aus zeichnerisch gegebenen Situa­tio­nen vektorielle Zusammenhänge abzulesen.

Multiplikation und Division eines Vektors mit einem Skalar

Es genügt, die Multiplikation zu betrachten, denn eine Division durch einen Skalar c ist ja nichts anderes als eine Multiplikation mit dem Faktor 1/c. Eine Multiplikation mit einen Skalar ändert den Betrag eines Vektors. Die Richtung bleib gleich, wenn der Faktor positiv ist, andernfalls kehrt sich die Richtung des Vektors um. Wenn der Vektor als Pfeil gezeichnet ist, ändert sich bei einem positiven Faktor nur die Länge des Pfeils, bei einem negativen Faktor muss auch die Pfeilspitze an das andere Ende des Pfeils gesetzt werden.

Multiplikation: Ein Vektor $\vec a$ wird mit einem Skalar c multipliziert, indem man jede Komponente mit dem Skalar multipliziert: $ c\ \vec a = \left(\matrix{c\ a_x\\ c\ a_y\\c\ a_z}\right)=c\ {a_x}\ \hat x+c\ {a_y}\ \hat y+ c\ {a_z}\ \hat z$.

Division: Ein Vektor $\vec a$ wird durch einen Skalar c dividiert, indem man ihn mit dem Faktor 1/c multipliziert.

Wenn der Vektor einer physikalischen Größe mit einer skalaren physikalischen Größe multipliziert wird, ändert sich in der Regel auch die Einheit des Vektors. Die Richtung des Vektors bleibt gleich.

Beispiel: Für den Zusammenhang zwischen Ort $\vec r(t)$ und Beschleunigung $\vec a$ bei einer gleichförmig beschleunigten Bewegung ohne Anfangsgeschwindigkeit gilt $\vec r(t)= \frac 12 \vec a t^2$. Für $\vec a = 2,0 \text{ m/s}^2 \hat x + 4,0 \text{ m/s}^2 \hat y$ und t = 5,0 s ist $\vec r(t)= (\frac 12 \times 2,0 \text{ m/s}^2\times 25\ \text s^2)\, \hat x + (\frac 12 \times 4,0 \text{ m/s}^2 \times 25\ \text s^2)\,\hat y=25\ \text m\, \hat x + 50\ \text m\, \hat y$.
Kontrollfrage 9: Überprüfe, ob unter den folgenden Vektoren welche sind, die in die gleiche Richtung zeigen: $\vec r_1=2\ \text m\, \hat x + 3\ \text m\, \hat y$, $\vec r_2=1\ \text m\, \hat x + 1,5\ \text m\, \hat y$, $\vec r_3=-1\ \text m\, \hat x + (-1,5)\ \text m\, \hat y$, $\vec r_4=-0,2\ \text m\, \hat x + 0,3\ \text m\, \hat y$!
Bis auf $\vec r_3$, der in die entgegengesetzte Richtung zeigt, zeigen alle übrigen in die gleiche Richtung, denn sie unterscheiden sich nur durch einen skalaren Faktor.


Berechnung von Einheitsvektoren

Abb.10 Die Einheitsvektoren der kartesischen Koordinaten

Wenn man einem Vektor nur seine Information „Richtung“ entnehmen will, muss man ihn in seinen Einheitsvektor umwandeln. Das ist ein einheitenloser Vektor mit dem Betrag 1, der in die gleich Richtung zeigt wie der ursprüngliche Vektor. Man erzeugt den Einheitsvektor $\hat a$ eines Vektors $\vec a$, indem man den Vektor durch seinen Betrag a dividiert.

Einheitsvektor: Einheitsvektoren sind einheitenlose Vektoren mit dem Betrag 1. Sie geben nur eine Richtung an. Der Einheitsvektors eines beliebigen Vektors $\vec a$ ist $\hat a=\dfrac {\vec a}{a} =\left(\matrix{\frac {a_x}{a}\\ \frac{a_y}{a}\\ \frac{a_z}{a}}\right)=\dfrac{a_x}{a} \hat x+\dfrac{a_y}{a} \hat y+ \dfrac{a_z}{a} \hat z$.

Im PhysKi werden Einheitsvektoren abweichend von der üblichen Notation (Pfeil) mit einem Dach (^) bezeichnt, um sie besser von anderen Vektoren unterscheiden zu können. Beispielsweise werden die Einheitsvektoren entlang der Koordinatenachsen folgendermaßen bezeichnet: \(\hat x, \hat y,\hat z\).

Beispiele: Die Einheitsvektoren in kartesichen Koordinaten sind $\hat x = \left(\matrix {1\\ 0\\0}\right)$, $\hat y = \left(\matrix {0\\ 1\\0}\right)$ und $\hat z = \left(\matrix {0\\ 0\\1}\right)$.

Der Betrag eines Einheitsvektors ist $\left|\frac {\vec a}{a}\right| =\sqrt{(\frac {a_x}{a})^2 +(\frac{a_y}{a})^2+(\frac{a_z}{a})^2}=\frac {1}{a} \sqrt{a_x^2 +a_y^2+a_z^2}=\frac aa =1$.

Der Einheitsvektor von $\vec s$ ist $\hat s=\dfrac {\vec s}{s} =\left(\matrix{\frac {-223\text{ km}}{250\text{ km}}\\ \frac{113\text{ km}}{250\text{ km}}}\right)=\left(\matrix{-0,89\\0,45}\right)$. Probe: $|\hat s|= \sqrt{(-0,89)^2 +0,45^2}=1$.
Kontrollfrage 10a: Bestimme den Einheitsvektor von $\vec r=1 \text{ m} \, \hat x+1 \text{ m} \, \hat y+ 1 \text{ m} \, \hat z$!
Der Betrag von $\vec r$ ist $r =\sqrt 3 \text{ m}$, daher ist der Einheitsvektor $\hat r=\frac{1}{\sqrt 3}\, \hat x+\frac{1}{\sqrt 3}\, \hat y+ \frac{1}{\sqrt 3}\, \hat z$.
Kontrollfrage 10b: Welche der folgenden Vektoren sind Einheitsvektoren? $\hat a=1 \text{ m} \, \hat x+0 \text{ m} \, \hat y+ 0 \text{ m} \, \hat z$, $\hat b=1 \, \hat x+1 \, \hat y$, $\hat c=\left(\matrix{1\\1}\right)$, $\hat d=\left(\matrix{\sqrt 2\\\sqrt 2}\right)$!
Keiner! $\hat a$ trägt eine Einheit, $\vert \hat b\vert =\sqrt 2$, $\vert \hat c\vert =\sqrt 2$, $\vert \hat d\vert =2$.


Addition und Subtraktion von Vektoren

Abb.11a Addition und Subtraktion

Die Addition oder Subtraktion zweier Vektoren entspricht anschaulich einer Verbindung bzw. Verkettung der Vektoren. Dazu verschiebt man einen oder bede Vektoren ohne sie zu ver­drehen, bis sie sich auf bestimmte Art und Weise berühren. Anschließend zieht man einen Pfeil zwischen den beiden verbliebenen "Enden". Er entspricht dem Ergebnis der Addition bzw. Subtraktion.

Bei der Addition verschiebt man so, dass der Startpunkt des einen Vektorpfeils an der Spitze des anderen liegt, die Pfeile werden also hintereinander verkettet (Abb.11a links). Die Reihenfolge ist dabei beliebig. Der Summen­vektor ist die Verbindung vom Startpunkt der Kette bis zum Endpunkt der Kette. Schiebt man z. B. $\vec b$ an das Ende von $\vec a$, dann ist der Summenvektor $\vec c$ die Verbindung vom Startpunkt von $\vec a$ zur Spitze von $\vec b$. Andersherum wäre es genauso möglich.

Bei der Differenz müssen sich dagegen die beiden Startpunkte der Vektoren berühren, sie werden also neben­einander gelegt (Abb.11a rechts). Der Differenzvektor $\vec c$ ist die Verbindung der Spitzen. Hier muss man das Vorzeichen beachten, denn $\vec a -\vec b=-(\vec b -\vec a)$. Für $\vec a -\vec b$ verbinden wir von $\vec b$ nach $\vec a$, andernfalls anders­her­um.

Mathematisch berechnte man Summen und Differenzen, indem man die Komponenten addiert bzw. subtrahiert.

Addition/Subtraktion: Vektoren werden komponenten­weise addiert und subtrahiert: $ \vec a\pm \vec b=\vec c=\left(\begin{matrix}a_1\pm b_1\\a_2\pm b_2\\a_3\pm b_3\end{matrix}\right)$.

Ortsvektoren sind gebundene, nicht verschiebbare Vektoren, sie beginnen immer im Ursprung. Dadurch liegen aber ihre Anfänge immer beisammen und man kann ihre Differenzen bilden, wodurch man beliebige Vektoren darstellen kann.

Abb.11b
Beispiel: Abb. 11b zeigt vier Vektoren: $\vec a=\left(\matrix{-3\\-4}\right)$, $\vec b=\left(\matrix{4\\0}\right)$, $\vec c=\left(\matrix{4\\-3}\right)$ und $\vec d=\left(\matrix{0\\-2}\right)$. Wir bestimmen die Summe $\vec e =\vec a + \vec b$ und die Differenz $\vec f = \vec c-\vec d$.

Grafische Lösung: Für die Summe schieben wir $\vec b$ an $\vec a$ und verbinden vom Start- zum Endpunkt der Kette. Der Vektor $\vec e$ hat die Komponenten $\vec e = \left(\matrix{1\\-4}\right)$. Für die Differenz schieben wir $\vec d$ an $\vec c$ und verbinden von $\vec d$ nach $\vec c$. Der Vektor $\vec f$ hat die Komponenten $\vec f = \left(\matrix{4\\-1}\right)$.
Rechnerische Lösung: Die Summe ist $\vec e = \vec a+\vec b=\left(\matrix{-3\\-4}\right)+\left(\matrix{4\\0}\right)=\left(\matrix{-3+4\\-4+0}\right)=\left(\matrix{1\\-4}\right)$. Die Differenz ist $\vec f = \vec c-\vec d=\left(\matrix{4\\-3}\right)-\left(\matrix{0\\-2}\right)=\left(\matrix{4-0\\-3-(-2)}\right)=\left(\matrix{4\\-1}\right)$.

Abb. F11
Kontrollfrage 11a: Abb. F11 zeigt zwei Vektoren. Bestimme die Summe $\vec g=\vec e + \vec f$ und die Differenz $\vec h =\vec e-\vec f$!
Abb. F12b
Die Vektoren sind $\vec e=\left(\matrix{1\\-4}\right)$ und $\vec f=\left(\matrix{4\\-1}\right)$.

Grafische Lösung: Für die Summe schieben wir $\vec e$ an $\vec f$ und verbinden vom Start- zum Endpunkt der Kette. Der Vektor $\vec g$ hat die Komponenten $\vec g = \left(\matrix{5\\-5}\right)$. Für die Differenz schieben wir $\vec f$ an $\vec e$ und verbinden von $\vec f$ nach $\vec e$. Der Vektor $\vec h$ hat die Komponenten $\vec f = \left(\matrix{-3\\-3}\right)$.

Rechnerische Lösung: Die Summe ist $\vec g = \vec e+\vec f=\left(\matrix{1\\-4}\right)+\left(\matrix{4\\-1}\right)=\left(\matrix{1+4\\-4+(-1)}\right)=\left(\matrix{5\\-5}\right)$. Die Differenz ist $\vec h = \vec e-\vec f=\left(\matrix{1\\-4}\right)-\left(\matrix{4\\-1}\right)=\left(\matrix{1-4\\-4-(-1)}\right)=\left(\matrix{-3\\-3}\right)$.
Kontrollfrage 11b: Welche Aussagen treffen zu? Der Betrag der Summe zweier Vektoren ist ... a) stets größer als der Betrag des größeren Vektors, b) maximal so groß wie die Summe der Beträge beider Vektoren, c) stets größer als der Betrag des kleineren Vektors.
Nur b)! Die Summe zweier entgegengesetzt gerichteter Vektoren mit dem gleichen Betrag ist null! Nur wenn beide Vektoren in die gleiche Richtung zeigen, ist der Betrag ihrer Summe gleich der Summe der Beträge. Der Betrag einer Vektorsumme kann also von null bis zur Summe der Beträge reichen.
Kontrollfrage 11c: Welche Aussagen treffen zu? Der Betrag der Differenz zweier Vektoren ist ... a) stets kleiner als der Betrag des größeren Vektors, b) maximal so groß wie die Summe der Beträge beider Vektoren, c) stets kleiner als der Betrag des kleineren Vektors.
Nur b)! Der Betrag der Differenz zweier entgegengesetzt gerichteter Vektoren ist gleich der Summe ihrer Beträge! Die Differenz zweier gleicher Vektoren ist null[4]! Auch der Betrag einer Vektordifferenz kann von null bis zur Summe der Beträge reichen.
Kontrollfrage 11d: Erkläre, ob es möglich ist, und wenn ja, unter welcher Bedingung, dass für zwei Vektoren gilt $\vec a + \vec b=\vec c$ und $a^2+b^2=c^2$
Es ist möglich und gilt immer dann, wenn die beiden Vektoren senkrecht zueinander gerichtet sind.
Kontrollfrage 11e: Erkläre, ob es möglich ist, und wenn ja, unter welcher Bedingung, dass für zwei Vektoren gilt $\vec a + \vec b=\vec a -\vec b$!
Es ist nur möglich, wenn einer oder beide Vektoren null[4] sind.


Multiplikation von Vektoren

Es gibt zwei unterschiedliche Produkte zwischen Vektoren: das Skalarprodukt $\vec a\cdot\vec b$ und das Vektorprodukt $\vec a\times\vec b$. Am Multiplikationszeichen erkennt man, welches Produkt gemeint ist. Das Skalarprodukt wird durch das Zeichen "·" (zentrierter Punkt) angezeigt. Das Vektor­produkt wird durch das Zeichen "×" (Kreuz) angezeigt und heißt deshalb auch „Kreuzprodukt“. Der Name benennt den Typ des Ergebnisses: Das Skalarprodukt ergibt einen Skalar und das Vektorprodukt ergibt einen Vektor. Die Produkte werden unter­schied­lich gebildet und haben unterschiedliche Eigenschaften.

Skalarprodukt

Das Skalarprodukt $\vec a\cdot\vec b$ zweier Vektoren kann auf zwei Arten berechnet werden. Entweder durch die Summe der Komponenten­produkte oder als Produkt der Be­trä­ge mal dem Kosinus des Winkels α zwischen den beiden Vektoren. Aufgrund der Symmetrie und Periodizität der Kosinus-Funktion, spielt es keine Rolle, welchen der Winkel zwischen den Vektoren man wählt. Wenn z.B. zwei Vektoren einen Winkel von 30° einschließen, ergibt der Winkel 360° − 30° = 330° das gleiche Ergebnis.

Das Skalarprodukt ist die Multiplikation zweier Vektoren $\vec a$ und $\vec b$, gekennzeichnet durch den Punkt "·". Das Ergebnis ist ein Skalar c.
Berechnung: $c=\vec a\cdot \vec b=a_x b_x+a_y b_y+a_z b_z=a\,b\,\cos (\alpha )$. Darin ist α der Winkel zwischen $\vec a$ und $\vec b$.

Anschaulich betrachtet, entspricht das Skalarprodukt dem Produkt der Beträge beider Vektoren gewichtet mit der Übereinstimmung ihrer Richtungen durch den Faktor cos(α). Gleichheit der Richtungen bewirkt den Faktor 1, entgegengesetzt gleiche Richtungen bewirken den Faktor −1 und maximal ungleiche Richtungen liegen vor, wenn die Vektoren senkrecht aufeinander stehen. Das ergibt den Faktor 0. Weil der Faktor cos(α) positive und negative Werte zwischen −1 und 1 annehmen kann, kann auch das Skalarprodunkt positive und negative Werte annehmen, die zwsichen −ab und ab liegen. Für das Skalarprodukt gilt das Kommutativgesetz: $\vec a \cdot \vec b=\vec b \cdot \vec a$. Ist einer der Vektoren ein Einheitsvektor, dann ist c die Komponente des anderen Vektors in die Richtung des Einheitsvektors. Über das Skalarprodukt lässt sich bequem der Winkel zwischen zwei Vektoren berechnen, die durch ihre Komponenten angegeben sind. Das Skalarprodunkt kommt in der Physik häufig vor. Beispielsweise ist die Arbeit ein Skalarprodukt ebenso wie jeder Fluss oder die potentielle Energie eines magnetischen Dipols im Magnetfeld.

  • Das Skalarprodukt ist null, wenn $\vec a$ und $\vec b$ senk­recht auf­einander stehen.
  • Es ist maximal und hat den Wert $c = ab$, wenn $\vec a$ und $\vec b$ parallel zueinander sind.
  • Es ist minimal hat den Wert $c = −ab$, wenn $\vec a$ und $\vec b$ entgegengesetzt zueinander gerichtet sind.
Beispiel: Wir berechnen das Skalarprodukt der beiden Vektoren $\vec e=\left(\matrix{1\\-4}\right)$ und $\vec f=\left(\matrix{4\\-1}\right)$ aus Abb.11b. Es ergibt $\vec k =\vec e\cdot\vec f=\left(\matrix{1\\-4}\right)\cdot\left(\matrix{4\\-1}\right)=(1)(4) + (-4)(-1)=4+4=8$. Der Betrag beider Vektoren ist $e=f=\sqrt{1^2+4^2}=\sqrt{17}=4,123$. Den Winkel α zwischen den beiden Vektoren erhalten wir aus $\alpha= \arccos\left(\dfrac{\vec e \cdot \vec f}{e f}\right) =\arccos \left(\frac{8}{4,123^2}\right)=1,081$. Das entspricht 62°. Als Probe bestimmen wir α auch aus der Differenz ihrer Azimutalwinkel φ zur x-Achse: $\alpha=\varphi_e-\varphi_f=\arccos(e_x/e)-\arccos(f_x/f)=\arccos(1/4,123)-\arccos(4/4,123)=1,081$. Wenn wir damit das Skalrprodukt berechnen, ergibt sich ebenfalls $\vec k =\vec e\cdot\vec f=e\,f\cos(\alpha)=4,123\times 4,123 \cos(1,081)=8$.
Abb. F12b
Abb. F12a
Kontrollfrage 12a: Abb. F13a zeigt einen blauen Vektor $\vec a$ und vier grüne Vektoren $\vec b_1$ bis $\vec b_4$ mit dem gleichen Betrag. Welche der vier grünen Vektoren erzeugen das gleiche Skalarprodukt mit $\vec a$?
$\vec b_1$ und $\vec b_4$ haben das gleiche positive Skalarprodukt mit $\vec a$. $\vec b_2$ und $\vec b_3$ haben das gleiche negative Skalarprodukt mit $\vec a$.
Kontrollfrage 12b: Abb. F12b zeigt einen blauen Vektor $\vec a$ und neun grüne Vektoren $\vec b$ bis $\vec h$. Sortiere die grünen Vektoren ohne Rechnung nach ihrem Skalarprodukt mit $\vec a$ in aufsteigender Reihenfolge!
Abb. F13b Lösung
Für die Sortierung müssen wir die Längen der Projektionen der grünen Vektoren auf den blauen Vektor betrachten und das Vorzeichen beachten. Das ergibt $\vec e < \vec f < \vec d < \vec g < \vec h < \vec b < \vec c$.
Kontrollfrage 12c: Welche Aussagen treffen zu? Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist ... a) negativ, wenn der Winkel α zwischen den Vektoren stumpf ist, b) maximal so groß wie das Produkt der Beträge beider Vektoren, c) minimal, wenn die Vektoren senkrecht aufeinander stehen.
a) und b) treffen zu. Das Skalarprodukt ist negativ, wenn der Winkel zwischen den Vektoren im Bereich 90° < α < 270° liegt. Das umfasst auch stumpfe Winkel (zwischen 90° und 180°). b) gibt gerade den Fall an, dass die Vektoren parallel sind. c) ist falsch, denn das Skalarprodukt ist minimal, wenn die Vektoren entgegengesetzt gerichtet sind.


Vektorprodukt

Das Vektor- oder Kreuzprodukt $\vec a\times\vec b$ zweier Vektoren kann auf zwei Arten berechnet werden. Entweder durch die komponentenweise gebildete Differenz von Komponenten­produkten oder als Produkt der Be­trä­ge mal dem Sinus des Winkels α zwischen den beiden Vektoren mal einem Einheitsvektor $\hat n$. Aufgrund der Symmetrie und Periodizität der Sinus-Funktion, spielt es nur eine Rolle für das Vorzeichen, welchen der Winkel zwischen den Vektoren man wählt. Wenn z.B. zwei Vektoren einen Winkel von 30° einschließen, ergibt der Winkel 360° − 30° = 330° den gleichen Betrag.

Das Vektorprodukt ist die Multiplikation zweier Vektoren $\vec a\times \vec b$, gekennzeichnet durch das Kreuz "×". Das Ergebnis ist ein Vektor $\vec c$.

Berechnung: $\vec c=\vec a\times \vec b=\left(\matrix{a_2b_3-a_3b_2\\a_3b_1-a_1b_3\\a_1b_2-a_2b_1}\right)=ab\,\sin (\alpha )\,\hat n$. Darin ist α der Winkel zwischen $\vec a$ und $\vec b$ und $\hat n$ der zu $\vec a$ und $\vec b$ senkrechte Einheitsvektor, der mit beiden Vektoren in der Reihenfolge $\vec a,\vec b,\hat n$ ein Rechtssystem bildet.

Betrag: $|\vec c|=|\vec a\times \vec b|=|ab\,\sin (\alpha )|$.
Abb.13b Rechte-Hand-Regel
Abb.13a Bedeutung des Vektorprodukts

Anschaulich ist das Ergebnis $\vec c$ der Flächenvektor der Parallelogrammfläche, die von den beiden Vektoren $\vec a$ und $\vec b$ aufgespannt wird, wenn man sie an ihren Startpunkten verbindet (Abb.14a links). Das bedeutet, der Vektor $\vec c$ steht senkrecht auf der Parallelogrammfläche und sein Betrag $c=|\vec a\times \vec b|=|ab\,\sin (\alpha )|$ ist gleich dem Flächeninhalt des Parallelogramms. Der Flächeninhalt des Parallelogramms hängt vom Winkel α zwischen den beiden Vektoren ab. Er ist gleich der Fläche des Rechtecks mit den Seitenlängen a und b sin(α) (oder b und a sin(α)), wie in Abb. 14a rechts oben gezeigt. Wenn die beiden Vektoren $\vec a$ und $\vec b$ parallel (α = 0) oder entgegengesetzt gerichtet sind (α = 180°), liegen sie auf einer Linie und spannen keine Fläche auf. Dann ist das Vektorprodukt null[4]. Wenn sie dagegen senkrecht aufeinander stehen (α = 90°), spannen sie die maximal mögliche Fläche c = ab auf. In allen übrigen Fällen liegt der Flächeninhalt c zwischen diesen Grenzen (0 < c < ab) und berechnet sich mit dem Betrag der Sinus-Funktion (Abb.14a rechts unten).

Das Vektorprodukt ist nicht kommutativ, vielmer gilt $\vec a\times\vec b=-\vec b\times\vec a$. Das bedeutet anschaulich: Wenn man in Abb.14 $\vec a$ und $\vec b$ vertauscht, dann zeigt $\vec c$ nach unten. Bei Vektorprodukten ist also die Reihenfolge der Faktoren wichtig. Die drei Vektoren $\vec a$, $\vec b$, $\vec c$ bilden in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem. Darum findet man die Richtung von $\vec c$ durch die "Rechte-Hand-Regel": Daumen und Zeigefinger werden parallel zur Handfläche ausgestreckt. Zeigt der Daumen in die Rich­tung von $\vec a$ und der Zeige­finger in die Rich­tung von $\vec b$, dann zeigt der senkrecht zur Handfläche ange­win­kelte Mittelfinger in die Rich­tung von $\vec c$ (Abb.14b).

Für das Vektorprodukt gilt jedoch das Distributivgesetz: $\vec a \times (\vec b+\vec c)=\vec a\times\vec b+\vec a\times \vec c$. Daraus können wir eine wichtige Eigenschaft des Kreuzproduktes ableiten: Wenn wir das Kreuzprodukt $\vec a \times \vec b$ berechnen wollen, können wir den Vektor $\vec b$ in zwei vektorielle Komponenten zerlegen und zwar in eine Komponente $\vec b_{\parallel}$, die parallel zu $\vec a$ liegt, und eine Komponente $\vec b_{\perp}$, die senkrecht zu $\vec a$ liegt. Damit ist $\vec b=\vec b_{\parallel}+\vec b_{\perp}$. Die Anwendung des Distributivgesetzes ergibt $\vec a \times (\vec b_{\parallel}+\vec b_{\perp})=\underbrace{\vec a \times \vec b_{\parallel}}_{=0}+\vec a \times\vec b_{\perp}=\vec a \times\vec b_{\perp}$, denn das Vektorprodukt von parallelen Vektoren ist null[4].
Das bedeutet: In das Vektorprodukt $\vec a\times \vec b$ geht nur die Komponente $\vec b_{\perp}$ mit dem Betrag $b_{\perp}=b\,\sin(\alpha)$ ein. Darum finden wir auch nur diesen Faktor in der Parallelogrammfläche wieder. Die Komponente $\vec b_{\parallel}$ mit dem Betrag $b_{\parallel}=b\,\cos(\alpha)$ hat keinen Einfluss. Das ist eine außerordentlich wichtige Eigenschaft, die häufig in der Physik zum tragen kommt. Beipielsweise bei der Bestimmung von Drehmomenten und im Zusammenhang mit der Drehimpulserhaltung.

Vektorprodukte sind eminent wichtig im Zusammenhang mit Drehungen und Rotationen. Die dabei vorkommenden Größen wie Drehimpuls, Drehmoment, Winkelgeschwindigkeit, Bahngeschwindigkeit sind über Vektorprodukte definiert und miteinander verknüpft.

  • Das Vektorprodukt ist null, wenn zwei Vektoren $\vec a$ parallel zuein­ander sind.
  • Es ist maximal und hat den Betrag \(ab\), wenn zwei Vektoren \(\vec a\) senkrecht aufeinander stehen.
  • Das Kommutativgesetz gilt nicht, sondern \(\vec a\times \vec b=-(\vec b\times \vec a)\).
Abb.13c
Beispiel: Wir berechnen die Vektorprodukte des Vektors $\vec a=\left(\matrix{2\\0\\0}\right)$ mit den Vektoren $\vec b_1=\left(\matrix{-2\\2\\0}\right)$ und $\vec b_2=\left(\matrix{-2\\-2\\0}\right)$.

$\vec c_1=\left(\matrix{2\\0\\0}\right)\times \left(\matrix{-2\\2\\0}\right)=\left(\matrix{(0)(0)-(0)(2)\\(0)(-2)-(2)(0)\\(2)(2)-(0)(-2)}\right)=\left(\matrix{0\\0\\4}\right)$ bzw. $\vec c_2=\left(\matrix{2\\0\\0}\right)\times \left(\matrix{-2\\-2\\0}\right)=\left(\matrix{(0)(0)-(0)(-2)\\(0)(-2)-(2)(0)\\(2)(-2)-(0)(-2)}\right)=\left(\matrix{0\\0\\-4}\right)$.

Die Vektoren sind in Abb.13c gezeigt. Dort sind auch die Parallelogrammflächen markiert. Ihr Flächeninhalt entspricht in beiden Fällen 4 Kästchen wie die Ergebnisse der Rechnungen. Für die Ergebnisse sind die x-Komponenten von $\vec b_1$ und $\vec b_2$ ohne Bedeutung, denn diese liegen parallel zu $\vec a$. Der Vektor $\vec b_1'=\left(\matrix{20\\2\\0}\right)$ liefert das gleiche Ergebnis wie $\vec b_1$, wie sich leicht anhand der gezeigten Rechnung für $\vec c_1$ überprüfen lässt. Mann muss darin nur (−2) durch 20 ersetzen.

Abb.13c zeigt auch, wie für beide Produkte die Rechte-Hand-Regel anzuwenden ist: Für $\vec c_1$ müssen wir die Hand so biegen, dass die Handfläche oben ist. Der Daumen gibt die Richtung von $\vec a$ an. Das ist hier die x-Richtung. Den Zeigefinger bekäme man nur noch mit Gewalt in Richtung $\vec b_1$ gebogen. Das ist jedoch nicht nötig, denn wesentlich ist nur, wohin die Komponente von $\vec b_1$ zeigt, die senkrecht auf $\vec a$ steht. Das ist für $\vec b_1$ die y-Richtung. Darum darf der Zeigefinger ersatzweise in die y-Richtung zeigen. Daumen, Zeigefinger und Handfläche geben jetzt die Ebene an, in der $\vec a$ und $\vec b_1$ liegen. Darum zeigt uns der senkrecht zur Handfläche gekrümmte Zeigefinger die Richtung von $\vec c_1$ und das ist in diesem Fall die z-Richtung.

Für $\vec c_2$ ist es deutlich einfacher. Wieder zeigt der Daumen die Richtung von $\vec a$ bzw. die x-Richtung an. Die Komponente von $\vec b_2$, die senkrecht auf $\vec a$ steht, zeigt in die negtive y-Richtung. Damit der Zeigefinger die Richtung von $\vec b_2$ zeigen kann, müssen wir die Hand so drehen, dass der Handrücken oben ist. Wieder haben wir mit Daumen und Zeigefinger die Ebene gebildet, in der $\vec a$ und $\vec b$ liegen. Nun zeigt der senkrecht zur Handfläche gekrümmte Zeigefinger nach unten. Das ist die Richtung von $\vec c_2$ und der Vektor zeigt nun in die negative z-Richtung, d.h. entgegengesetzt zur z-Richtung.
Abb.F13
Kontrollfrage 13a: Betrachte in Abb.F14 a) und sortiere die Vektoren $\vec b$ bis $\vec f$ nach dem Betrag ihres Vektorproduktes mit $\vec a$ in aufsteigender Reihenfolge! Die Aufgabe kann man durch "scharfes Hinsehen" lösen!
$\vert\vec e\times\vec a\vert=0$ < $\vert\vec b\times\vec a\vert$ = $\vert\vec c\times\vec a\vert$ = $\vert\vec d\times\vec a\vert$ = $\vert\vec f\times\vec a\vert$ = $\vert\vec h\times\vec a\vert$ < $\vert\vec g\times\vec a\vert$, die Reihenfolge ergibt sich nach dem Betrag ihrer Komponenten senkrecht zu $\vec a$ (siehe Abb. 14a)
Kontrollfrage 13b: Betrachte in Abb.F14 b) und gebe die Richtungen der Ergebnisse folgender Vektorprodukte an: a) $\vec a\times\vec b$, b) $\vec c\times\vec b$, c) $\vec a\times\vec c$
a) +z, b) +y, c) −x
Kontrollfrage 13c: Wenn $\vec a\times\vec b=\vec a\times\vec c$ ist, muss dann $\vec b = \vec c$ sein? Begründe!
Nein, denn es gibt immer einen zweiten Vektor, der das gleiche Kreuzprodukt liefert. Er liegt in der von $\vec a$ und $\vec b$ aufgespannten Ebene unter dem Winkel π − α zu $\vec a$.
Kontrollfrage 13d: Ist es möglich, die Gleichung $\vert\vec a\times\vec b\vert=\vert\vec a\cdot\vec b\vert$ zu erfüllen, wenn beide Vektoren nicht null[4] sind? Begründe!
Natürlich, denn das verlangt nur $\vert\sin(\alpha)\vert=\vert\cos(\alpha)\vert$ und das ist erfüllt für α = π/4 (45°)


Verbotene Rechenoperationen

  1. Die Addition und Subtraktion eines Skalars mit einem Vektor ist verboten!
  2. Die Division durch Vektoren ist verboten!

Vektoranalysis

Ableiten und Integrieren von Vektoren

Vektoren werden komponentenweise differenziert und integriert:

Ableitung: \( \frac d{dt}{\vec f(t)}=\left(\begin{matrix}\frac {df_x(t)}{dt}\\ \frac {df_y(t)}{dt}\\ \frac {df_z(t)}{dt}\end{matrix}\right)\)

    

Integral \( \int \vec f(t)\mathit{dt}=\left(\begin{matrix}\int f_x(t)\mathit{dt}\\\int f_y(t)\mathit{dt}\\\int f_z(t)\mathit{dt}\end{matrix}\right)\)

Beispiel:

Funktion \( \vec f(t)=\vec r(t)=\left(\begin{matrix}x(t)\\y(t)\\z(t)\end{matrix}\right)\)

    

Ableitung: \( \dot{\vec r}(t)=\left(\begin{matrix}\dot x(t)\\ \dot y(t)\\ \dot z(t)\end{matrix}\right)\)

    

Integral \( \int \vec f(t)\mathit{dt}=\left(\begin{matrix}\int x(t)\mathit{dt}\\\int y(t)\mathit{dt}\\\int z(t)\mathit{dt}\end{matrix}\right)\)

Nabla-Operator und partielle Ableitungen

Der Nabla-Operator $\vec{\nabla }=\left(\matrix{\dfrac{\partial }{\partial x}\\\dfrac{\partial }{\partial y}\\\dfrac{\partial }{\partial z}}\right)$ erzeugt die partielle Ableitung nach dem Ort. Wenn man nach einer Koordinate partiell ableitet, betrachtet man die anderen Koordinaten als Konstanten.

Gradient

Der Gradient einer skalaren Funktion f(x,y,z) ist der Vektor, dessen Komponenten die partiellen Ableitungen der Funktion nach den Koordinaten x,y und z sind. Man schreibt dies als $\text{grad}\,f$ oder als $\vec{\nabla} f$.

Gradient: Die Anwendung von $\vec{\nabla}$ auf eine skalare Funktion f(x,y,z) nennt man Gradient. Der Gradient ist ein Vektor: $\text{grad}\, f=\vec{\nabla }f=\left(\matrix{\frac{\partial f}{\partial x}\\\frac{\partial f}{\partial y}\\\frac{\partial f}{\partial z}}\right)$.
Beispiel: Wir berechnen den Gradienten des Betrags $r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ eines Ortsvektors $\vec r=\left(\begin{matrix}x\\y\\z\end{matrix}\right)$.
Berechnung: $\text{grad}\, r=\vec{\nabla }r=\vec{\nabla }\sqrt{x^2+y^2+z^2}=\left(\begin{matrix}\frac{\partial }{\partial x}\sqrt{x^2+y^2+z^2}\\\frac{\partial }{\partial y}\sqrt{x^2+y^2+z^2}\\\frac{\partial }{\partial z}\sqrt{x^2+y^2+z^2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}x/\sqrt{x^2+y^2+z^2}\\y/\sqrt{x^2+y^2+z^2}\\z/\sqrt{x^2+y^2+z^2}\end{matrix}\right)=\dfrac{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2} }\left(\matrix{x\\y\\z}\right)=\dfrac{\vec r} r$. Das Ergebnis ist der Einheitsvektor $\hat r=\dfrac{\vec r} r$.
Divergenz

Die Divergenz einer Vektorfunktion $\vec f(x,y,z)$ ist der Skalar, der sich aus der Summe der partiellen Ableitungen der Komponenten der Funktion nach den Koordinaten x,y und z ergibt. Sie ist das Skalarprodukt von $\vec{\nabla }$ mit dem Vektor $\vec f$. Man schreibt dies als $\text{div}\,\vec f$ oder als $\vec{\nabla}\cdot\vec f$.

Divergenz: Die Divergenz ist das Skalarprodukt von $\vec{\nabla}\cdot \vec f$. Das Ergebnis ist ein Skalar: $\text{div}\, \vec f=\vec{\nabla }\cdot \vec f=\frac{\partial f_x}{\partial x}+\frac{\partial f_y}{\partial y}+\frac{\partial f_z}{\partial z}$.
Beispiel: Wir berechnen die Divergenz des Vektors $\vec r=\left(\begin{matrix}x\\y\\z\end{matrix}\right)$.
Berechnung: $\vec{\nabla }\cdot \vec r=\text{div}\vec r=\frac{\partial }{\partial x}x+\frac{\partial }{\partial y}y+\frac{\partial }{\partial z}z=1+1+1=3$. Die Divergenz ist in diesem Fall eine skalare Konstante.
Rotation

Die Rotation einer Vektorfunktion $\vec f(x,y,z)$ ist ein Vektor, dessen Komponenten sich aus Differenzen der partiellen Ableitungen der Komponenten der Funktion ergeben. Sie ist das Vektorprodukt von $\vec{\nabla }$ mit dem Vektor $\vec f$. Man schreibt dies als $\text{rot}\, \vec f$ oder als $\vec{\nabla}\times\vec f$.

Rotation: Die Rotation ist das Vektorprodukt $\vec{\nabla }\times\vec f$. Das Ergebnis ist ein Vektor: $\vec{\nabla }\times \vec f=\text{rot}\vec f=\left(\matrix{\frac{\partial f_z}{\partial y}-\frac{\partial f_y}{\partial z}\\ \frac{\partial f_x}{\partial z}-\frac{\partial f_z}{\partial x}\\ \frac{\partial f_y}{\partial x}-\frac{\partial f_x}{\partial y} }\right)$.
Beispiel: Wir berechnen die Rotation des Vektors $\vec r=\left(\begin{matrix}x\\y\\z\end{matrix}\right)$.
Berechnung: $\vec{\nabla }\times \vec r=\text{rot}\vec r=\left(\matrix{\frac{\partial z}{\partial y}-\frac{\partial y}{\partial z}\\\frac{\partial x}{\partial z}-\frac{\partial z}{\partial x}\\\frac{\partial y}{\partial x}-\frac{\partial x}{\partial y}}\right)=0$. Die Rotation ist in diesem Fall null.

  1. Diese Notation für Einheitsvektoren ist eine mögliche Variante. Häufig werden Einheitsvektoren auch durch das Zeichen \(\vec e\) symbolisiert. In der Quantenphysik hat das Zeichen "^" eine andere Bedeutung, dort steht es für einen Operator, beispielsweise bezeichnet $\hat H$ den Hamilton-Operator.
  2. Douglas C. Giancoli, Physik, 3. Auflage, Pearson Deutschland GmbH, München (2010)
  3. 3,0 3,1 Bei trigonometrischen Funktionen sollten Winkel möglichst in „rad“ verwenden werden, weil ein Ver­hältnis wie z. B. $\frac yx$ die Einheit „rad“ hat. Die Ein­heit rad = m/m ist dimensionslos und kann immer durch 1 er­setzt werden.
  4. 4,0 4,1 4,2 4,3 4,4 genaugenommen der Nullvektor