Wegintegral

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Anwendung

Wegintegrale kommen in der Physik z.B. zur Berechnung der Arbeit vor.

Interpretation

Bei Wegintegralen entlang eines Weges \(\vec s\) durch ein Kraftfeld \(\vec F\) muss man sich gedank­lich auf den Anfang des Weges (\(i\) = initial) setzen und von dort den Weg bis zum Ende (\(f\) = final) durchlaufen. Unterwegs denkt man sich den Weg  \(\vec s\) zerlegt in kleine gerade Wegstücke \(d\vec s\), die tangential am Weg liegen. Sie werden mit der dort wirken­den Kraft  \(\vec F\) skalar multipliziert. Diese vielen Skalarprodukte  \(\vec F\cdot d\vec s\) summiert man auf. Sie bilden das Weg­inte­gral. Deshalb ist das Wegintegral immer positiv, wenn Kraft und Weg überall gleich gerichtet sind, und immer negativ, wenn sie überall entgegen­gesetzt gerichtet sind, egal welche Vorzeichen  \(\vec F\) und  \(\vec s\) jeweils haben.
Wegintegral

Berechnung

Viele Wege kann man mit Hilfe eines Laufparameters \(t\) als  \(\vec r(t)\) ausdrücken. (Achtung: Hier steht $t$ nicht für die Zeit!). Das Wegelement $d\vec s$ ist identisch mit der Änderung $d\vec r$ des Ortsvektors $\vec r$, dessen Spitze den Weg durchläuft. Deshalb ersetzt man $d\vec s$ durch $d\vec r$ und substituiert $d\vec r$ durch $dt$ und die Integrationsgrenzen durch die Start- und Endwerte von $t$. Das Integral berechnet sich dann durch

$\int\limits_{Weg \vec s}^{}\vec F(\vec r)\cdot d\vec r=\int\limits_{t_i}^{t_f}\vec F(\vec r(t))\cdot \frac{d\vec r}{dt}dt$.

Das sieht komplizierter aus, als es eigentlich ist. In vielen Fällen kann man das Integral auch skalar berechnen, z. B. wenn $\vec F$ und $\vec s$ entlang des Weges einen konstanten Winkel $\gamma $ zueinander haben.

Beispiel: Berechne das Wegintegral für eine Kraft $\mid\vec F\mid = konst.$ entlang eines gegen den Uhrzeigesinn durchlaufenen halbkreisförmigen Weges mit dem Radius $R$. $\vec F$ sei überall tangential zum Weg.
Weil $\vec F$ und $\vec s$ überall parallel sind, kann man skalar rechnen, denn das Skalarprodukt wird zum Produkt der Beträge: $\vec F \cdot \vec s = F \cdot s$.

Parametrisierung: Für einen Kreisbogen mit Radius $R$ gilt $s=R\varphi$. Der Laufparameter ist $t=\varphi $, also ist auch $r=Rt$ und die Ableitung ergibt $\frac{dr}{dt}=R$. Für einen Halbkreis läuft $t$ von 0 bis π.

Integration: Wir setzen $ds = \frac{dr}{dt} dt=R dt$, $i=0$ und $f=\pi$. Damit ist das Wegintegral $\int\limits_{0^\pi }F\cdot R dt=F\cdot R[t]_0^\pi=F R\pi$. Es ergibt einfach $F$ mal der Weglänge $s$. Ein analoges Ergebnis, d. h. Wegintegral = Vektorfeld × Weglänge, erhält man immer, wenn der Betrag des Vektorfeldes entlang des Weges konstant und die Richtung parallel zum Weg ist.