Zeeman-Effekt

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Was ist der Zeeman-Effekt?

Als Zeeman-Effekt werden Phänomene bezeichnet, die zu beobachten sind, wenn leuchtende Atome oder Moleküle in ein äußeres homogenes Magnetfeld gebracht werden. Das führt zur Aufspaltung einer Spektrallinie in mehrere Spektrallinien. Sowohl die Anzahl der neu erkennbaren Spektrallinien als auch ihre individuelle Polarisation sind von der Blickrichtung relativ zum Magnetfeld abhängig.

Klassifizierung des Zeeman-Effektes

Longitudinaler und transversaler Zeeman-Effekt

Schaut man aus einer Richtung parall zur Richtung von B, beobachtet man etwas anderes, als wenn man aus einer Richtung senkrecht zu B schaut. Daher muss man den Zeeman-Effekt entsprechend der Blickrichtung unterscheiden in den

  • transversalen Zeeman-Effekt, wenn man senkrecht zu B, d.h. transversal zu B schaut.
  • longitudinalen Zeeman-Effekt, wenn man parallel zu B, d. h. longitudinal zu B schaut.

Normaler und anormaler Zeeman-Effekt

Der normale Zeeman-Effekt tritt auf, wenn der Gesamtspin S des Atoms null ist und somit der Gesamtdrehimpuls J = L ist. Der anormale Zeeman-Effekt tritt auf, wenn S ≠ 0 ist und somit der Gesamtdrehimpuls J = L +S ist. Wir beschränken uns vorerst auf die

Phänomene beim normalen Zeeman-Effekt

Dann beobachtet man

  • transversal:
    • eine symmetrische Aufspaltung in drei Linien proportional zu B, wobei die Ausgangslinie sich nicht verschiebt.
    • die verschobenen Linien sind senkrecht zu B linear polarisiert
    • die unverschobene Linie ist parallel zu B linear polarisiert
  • longitudinal:
    • eine symmetrische Aufspaltung in zwei verschobene Linien, wobei die Ausgangslinie verschwindet.
    • die verschobenen Linien sind zirkular polarisiert
    • die zirkulare Polarisation ist für die eine Linie linksdrehend, für die andere rechtsdrehend.
Interaktive Animation/Java-Applet
Das Applet zeigt die Phänomene beim Zeeman-Effekt an Cadmium. Dabei wird das Licht von leuchtenden Cd-Atomen in einem äußeren homogenen Magnetfeld $\vec B$ untersucht. Über einen Drehknopf kann die Magnetfeldstärke reguliert werden. Das Licht wird als Ringsystem hinter einem Fabry-Perot-Interferometer beobachtet. Die Polarisation des Lichtes kann mit Hilfe eines Polarisators und einer λ/4-Platte analysiert werden. Die Änderung der atomaren Energieniveaus, die Orientierung der Übergangsdipolmomente und die Präzession der Drehimpulse und zugehörigen magnetischen Momente im Magnetfeld werden animiert (Autorin: Elke Heinecke, erzeugt mit EjsS, Probleme mit dem Applet?, Neuer Firefox ab Version 52?).
Bitte hier klicken, wenn die Simulation nicht startet (Download Jar-File)

Aufspaltung der Spektrallinie

Die Aufspaltung der Spektrallinie läßt sich sowohl klassisch als auch quantenmechanisch erklären.

Klassische Betrachtung

Sobald die atomaren Elektronen einen Drehimpuls besitzen, ist damit auch ein Kreisstrom und folglich ein magnetisches Moment $\vec \mu=-\frac{\mu_B}{\hbar}\vec L$ verknüpft. Da die Elektronen negativ geladen sind, zeigt das magnetische Moment $\vec \mu$ immer in die engegengesetzte Richtung von $\vec L$. Ein äußeres Magnetfeld $\vec B$ erzeugt ein Drehmoment auf den Kreistrom $\vec M=\vec \mu \times \vec B$. Aufgrund des Drehmomentes enthält das System aus Kreisstrom und Magnetfeld nun eine innere Wechselwirkung, so dass ihm eine potenzielle Energie $E_{pot}=-\vec \mu \cdot \vec B$ zugeordnet werden kann. Eine normale Stromschleife würde sich aufgrund des Drehmomentes so ausrichten, dass ihr magnetisches Moment parallel zu $\vec B$ zeigt. Dann ist das Drehmoment null und die potenzielle Energie minimal.

In einer Stromschleife bewegen sich die Elektronen aufgrund der Stöße mit den Atomrümpfen sehr langsam, etwa mit Uhrzeigergeschwindigkeit. Im Atom ist das anders. Das Elektron bewegt sich sehr schnell um den Kern und der Kreisstrom des Elektrons muss als Kreisel mit dem Drehimpuls $\vec L$ aufgefasst werden. Und ein Kreisel, auf den ein Drehmoment senkrecht zu $\vec L$ wirkt, richtet sich nicht aus, sondern beginnt mit der Frequenz $\omega_p =\frac {M}{L_\perp}$ zu präzedieren. Analog ändert sich im Atom die Orientierung von $\vec \mu$ bzw. $\vec L$ zum Magnetfeld nicht! Statt dessen beginnen beide Vektoren um die Magnetfeldrichtung zu präzedieren. Genau hier liegt der entscheidende Punkt: Dadurch, dass die Orientierung zu $\vec B$ unverändert bleibt, gehört zu einer bestimmten Orientierung von $\vec \mu$ auch eine bestimmte potenzielle Energie, die von B abhängt.

Koordinatensystem und Orientierungen von $\vec L$ und $\vec \mu$

Aufgrund der Richtungsquantelung des Drehimpulses sind nun nur ganz bestimmte Orientierungen von $\vec \mu$ zu $\vec B$ möglich. Und damit auch nur ganz bestimmte potenzielle Energien. Für die weitere Analyse müssen wir ein Koordinatensystem festlegen. Wir wählen es so, dass die Richtung von $\vec B$ die z-Richtung vorgibt: $\vec B = B \hat z$. In diesem Koordinatensystem sind die Richtungen von $\vec L$ durch $L_z= m \hbar$ festgelegt, worin m die Magnetquantenzahl ist (oder treffender Richtungsquantenzahl). Daher sind die möglichen Orientierungen von $\vec \mu$ analog durch $\mu_z=-\frac{\mu_B}{\hbar} l_z =-\frac{\mu_B}{\hbar} m \hbar=-\mu_B m $ festgelegt. Für die potenziellen Energien ergibt das Skalarprodukt dann einfach $E_{pot}=-\mu_z B=\mu_B m B$, also ganzzahlige Vielfache von μB B. Diese potenziellen Energien addieren sich zur "normalen" feldfreien Gesamtenergie. Dadurch wird die Energie eines Elektrons von der Richtung seines Drehimpulses zum Magnetfeld abhängig: Elektronen mit unterschiedlichem Drehimpuls oder unterschiedlicher Orientierung des Drehimpulses, die ja ohne Feld alle die gleiche Energie haben!, bekommen im Magnetfeld unterschiedliche Energien. Und weil m ganzzahlig von -l bis +l läuft, ergibt sich eine symmetrische Verteilung der Energien um die feldfreie Energie.

Die potenzielle Energie hängt nicht von l sondern nur von m ab. Daher ändert sich die Energie einer Spektrallinie durch das Magnetfeld nicht, wenn ein Übergang zwischen Zuständen mit gleichem m stattfindet, denn beide Zustände verschieben sich gleich! Diese Übergänge mit Δm = 0 ergeben die unverschobene Spektrallinie. Die Energie der Spektrallinie ändert sich nur, wenn sich m um ±1 ändert (andere Änderungen sind durch die Auswahlregeln verboten). Diese Übergänge mit Δm=±1 ergeben die beiden um ±μBB verschobenen Spektrallinien.

Dagegen ist die Präzessionsfrequenz für alle Elektronen gleich, denn $\omega_p=\frac M {L_\perp} =\frac{\mu B\sin(\theta)}{L \sin(\theta)}=\frac{\mu_B L}{\hbar L}B=\frac{\mu_B}{\hbar}B$.

Quantenmechanische Betrachtung

Zum Hamilton-Operator der Schrödingergleichung des Atoms muss als zusätzliche Energie die potenzielle Energie im Magnetfeld hinzugefügt werden. Im vorherigen Abschnitt wurde gezeigt, dass die Energie durch den klassischen Ausdruck $E_{pot}=-\mu_z B=\frac{\mu_B}{\hbar} l_z B$ gegeben ist. Aus diesem Ausdruck mit $l_z=r_x p_y-r_y p_x$ lässt sich mit Hilfe der Ersetzungsregel der zugehörige Energieoperator erzeugen: $\hat E_{pot}=\frac{\mu_B}{\hbar} B\hat l_z$. Die Schrödingergleichung lautet nun also $(\hat H_0 +\frac{\mu_B}{\hbar} B \hat l_z)\psi=E\psi$, worin $\hat H_0$ der Hamilton-Operetor ohne Magnetfeld ist. Die Lösungen für $\hat H_0$ und $\hat l_z$ sind bereits vom Wasserstoff-Atom bekannt, insbesondere sind $\hat H_0\psi_{nlm}=E_n \psi_{nlm}$ und $\hat l_z \psi_{nlm}=m \hbar \psi_{nlm}$ mit der Magnetquantenzahl m. Daher sind die Energien im Magnetfeld einfach $E=E_n+m \mu_B B$.[1]

Übergänge und Übergangsdipolmomente

Ein quantenmechanischer Übergang zwischen zwei Zuständen findet entgegen dem von Bohr geprägten Wort "Quantensprung" nicht sprunghaft statt, sondern ist ein Prozess, der eine gewisse Zeit benötigt. Während der Dauer des Übergangs muss die Wellenfunktion 𝜓if(t) eine zeitlich variable Linearkombination aus Ausgangszustand 𝜓i und Endzustand 𝜓f sein: $\psi_{if}(t)=c_i\psi_i e^{-i\frac{E_i}{\hbar} t}+c_f\psi_f e^{-i\frac{E_f}{\hbar} t}$. Tatsächlich oszilliert 𝜓if(t) zwischen den beiden verbundenen Zuständen 𝜓i und 𝜓f hin und her, wobei der Anteil ci des Ausgangszustandes mit der Zeit ab und der Anteil cf des Endzustandes mit der Zeit zunimmt. Die Aufenthalswahrscheinlichkeit kann vereinfacht durch $$|\psi_{if}(t)|^2=|c_i \psi_i|^2+|c_f \psi_f|^2+c_i \psi_i^*\, c_f \psi_f e^{-i\frac{(E_f-E_i)}{\hbar}t}+c_i \psi_i c_f \psi_f ^* e^{i\frac{(E_f-E_i)}{\hbar}t}\text{ (1)}$$ ausgedrückt werden [2]. Weil $e^{ix}+e^{-ix}=2 \cos(x)$ ist und $\omega_{if}=\frac{(E_f-E_i)}{\hbar}$ ist, oszilliert die Aufenthaltswahrscheinlichkeit mit der Frequenz ωif, die sich aus der Energiedifferenz ergibt. Diesen Zusammenhang hat bereits das schlichte Bohrsche Atommodell vorhergesagt. Wenn bei dieser Oszillation eine periodische Verschiebung des "Orbitalschwerpunkts" gegen das Proton stattfindet, bewirkt das auch eine periodische Verschiebung des negativen Ladungsschwerpunkts des Elektrons gegen das Proton. Es ensteht ein oszillierndes elektrisches Dipolmoment und damit elektrische Dipolstrahlung. Dieses während des Übergangs temporär entstehende oszillierende elektrische Dipolmoment nennt man elektrisches Übergangsdipolmoment oder kurz Übergangsdipolmoment. Immer, wenn bei einem Übergang ein solches Übergangsdipolmoment entsteht, spricht man von einem elektrischen Dipolübergang.

Vertiefung: Um Herauszufinden, ob bei einem Übergang ein elektrisches Dipolmoment entsteht, berechnet man den Erwartungswert $\langle p\rangle$ des Operators $\hat p = e \vec r$ des elektrischen Dipolmomentes $\langle p\rangle=\int \psi_i^* \hat p \psi_f dV =e\int \psi_i^* \vec r \psi_f dV$ bei der Mischung beider Zustände. Nur dann, wenn dieses Integral nicht verschwindet, entsteht ein Übergangsdipolmoment. Daher wird auch dieses Integral als Übergangsdipolmoment oder Übergangsmatrixelement bezeichnet. Allein schon aus Symmetrieüberlegungen, d.h. ohne irgendeine Berechnung, lässt sich entscheiden, ob das Integral verschwindet oder nicht. Da es sich über den gesamten Raum erstreckt, muss es immer dann Null sein, wenn der Integrand eine ungerade Funktion von $\vec r$ ist, d.h., wenn für ihn gilt $f(-\vec r)=-f(\vec r)$. Wenn wir $\vec r$ durch $-\vec r$ ersetzen, führen wir eine Raumspiegelung durch. Die Symmetrie einer Wellenfunktion unter Raumspiegelung nennt man ihre Parität. Ungerade Funktionen haben eine negative Parität (-1), gerade Funktionen, für die $f(-\vec r)=(+1)f(\vec r)$ ist, haben eine positive Parität (+1). Man sieht sofort, dass sich bei einem Produkt von Funktionen ihre Paritäten multiplizieren: $g(-\vec r)u(-\vec r)=(+1)g(\vec r)(-1)u(\vec r)=-g(\vec r)u(\vec r)$. Damit das Integral nicht verschwindet, darf der Integrand keine negative Parität haben, d.h. das Produkt aller Paritäten muss positiv sein. Da der Dipoloperator eine Multiplikation mit $\vec r$ bewirkt, und somit eine negtive Parität einbringt, muss das Produkt der Paritäten beider Wellenfunktionen ebenfalls eine negative Parität ergeben, damit die Gesamtparität positiv ist. Untersucht man nun die Paritäten der Wellenfunktionen des H-Atoms, so findet man heraus, dass diese nur von der Bahndrehimpulsquantenzahl l abhängt und (-1)l ist. Daher entstehen nur dann Übergangsdipolmomente, wenn sich die Bahndrehimpulse beider Zustände um 1 unterscheiden, also Δl = ± 1 ist.

Auswahlregeln und erlaubte und verbotene Übergänge

Nur elektrische Dipolübergänge werden als "erlaubt" bezeichnet. Alle anderen Übergänge werden als "dipolverboten" oder kurz als "verboten" bezeichnet. Eine Analyse der Symmetrie der Wellenfunktionen zeigt, dass elektrische Dipolmomente nur dann entstehen können, wenn sich die Bahndrehimpulsquantenzahlen l um 1 und die Magnetquantenzahlen m um 0 oder 1 unterscheiden. Alle anderen Fälle erzeugen kein elektrisches Übergangsdipolmoment. Das führt auf die

Auswahlregeln für elektrische Dipolübergänge: $\Delta l = \pm 1$ und $\Delta m = 0, \pm 1$.

Dabei erzeugt der Fall Δm = 0 stets ein in z-Richtung oszilliernedes Übergangsdipolmoment. Im Fall Δm = ± 1 entsteht dagegen ein in der xy-Ebene kreisendes Übergangsdipolmoment. Das läßt sich anschaulich verstehen: Für den Fall m ≠ 0 enthält die Wellenfunktion einen Phasenfaktor $e^{i m \varphi}$. Wenn m für beide Wellenfunktionen gleich ist, wird der Phasenfaktor $e^{i(m_f-m_i)\varphi}=e^{i\Delta m\,\varphi}=e^{i \cdot 0} = 1$. Wenn sich dagegen mi und mf unterscheiden, wird der Phasenfaktor zu $e^{i\Delta m\,\varphi}$ und die Zeitabhängigkeit in (1) zu $e^{\pm i\frac{(E_f-E_i)}{\hbar}t\pm\Delta m\,\varphi}$. Dadurch wird $|\psi_{if}(t)|^2$ vom Winkel φ abhängig und ist nicht mehr rotationssymetrisch um die z-Achse.

Verbotene Übergänge können - anders als die Bezeichnung suggeriert - ebenfalls auftreten. Sie erzeugen ihre Strahlung jedoch nicht als elektrische Dipolstrahlung sondern über magnetische Dipole oder elektrische Quadrupole. Solche Übergänge sind jedoch stets sehr schwach und für sie gelten andere Auswahlregeln.

Lichtemission und Polarisation

Die entstehenden Übergangsdipolmomente erzeugen die vom Atom oder Molekül ausgesendetet Strahlung. Ihre Art und Orientierung bestimmen somit auch die Emissionsrichtung und Polarisation der Strahlung. Die Art der Emission unterscheidet man in der Atom- und Molekülphysik in π-Licht oder π-Polarisation (Δm = 0) und σ-Licht oder σ-Polarisation (Δm = ± 1):

  • π-Polarisation entsteht, wenn das Übergangsdipolmoment in z-Richtung oszilliert. Es strahlt dann nicht in z-Richtung. Die Strahlung, die in x, und y-Richtung gesendet wird, ist parallel zur z-Richtung linear polarisiert. Schwenkt man die Blickrichtung aus der x,y-Ebene heraus zur z-Richtung, wird die Strahlung schwächer, bis sie in z-Richtung ganz verschwindet.
  • σ-Polarisation entsteht, wenn das Übergangsdipolmoment in der x,y-Ebene kreist. Es emittiert dann Strahlung in alle Richtungen. In die z-Richtung schickt es zirkular polarisiertes Licht. Das Licht kann linksdrehend (σ-)oder rechtsdrehend (σ+) sein, je nachdem, wie der Dipol kreist. Die Strahlung, die in x- und y-Richtung gesendet wird, ist senkrecht zur z-Richtung linear polarisiert. Schwenkt man die Blickrichtung aus der x,y-Ebene heraus zur z-Richtung, wird die Strahlung zunehmend elliptisch polarisiert, bis sie in z-Richtung schließlich ganz kreisförmig, also zirkular polarisiert ist.
Interaktive Animation/Java-Applet Atomare Übergänge
Das Applet zeigt die ersten 10 Wellenfunktionen und mögliche Übergänge des Wasserstoff-Atoms. Die Wellenfunktionen werden als Oberflächen des Winkelanteils dargestellt. Die Größenverhältnisse der Orbitale sind aus darstellerischen Gründen nicht maßstabsgerecht, sondern werden mit n skaliert. Das Proton befindet sich im Koordinatenursprung bei x,y,z = 0,0,0. Das Applet zeigt alle möglichen Übergänge. Es ermöglicht, anschaulich zu verstehen, wann elektrische Übergangsdipolmomente entstehen (Autorin: Elke Heinecke, erzeugt mit EjsS, Probleme mit dem Applet?, Neuer Firefox ab Version 52?).
Bitte hier klicken, wenn die Simulation nicht startet (Download jar-File)

  1. Wolfgang Demtröder, Experimentalphysik 3, 3. Aufl., Springer Verlag, Heidelberg (2010)
  2. Randy Harris, Moderne Physik, Pearson Deutschland GmbH, München (2013)